oo :: 7 \ x (i
DE hA REGLE d'iNTÉRÊT. 29^
Ensuite, es intérêts d^un même capital ^oni directement proportionnels aux temps pendant lesquels il est placé ; donc, si Ton désigne par X l'intérêt de 45oo/ pour i ans 5 mois , ou l'intérêt demandé , on aura cette nouvelle proportion
,«« : ^ans^moU - x t X... (2);
d'où, multipliant terme à terme les proportions (i) et (2),
1 00 : 45oo X a*"" 5"»«" : : 7 : X,
etparconsequent,X=:-2^ ~— -i =3I5X2''"'5'"""- Ioo
Eifectuant l'opération marquée par 3i5
3i5x2*"' 5*", d'après les règles con- 2^*"' S"***'^
nues, et comme on le voit à côté, ^^ '
on trouve pour résultat, 761 francs ,^ ^
25 centimes. Ainsi , Y intérêt demandé ' ^ £.
s ^ n r tr * — î^o,25
monte a 701 fr. 20 centimes,^ ,
Soit , en général , un capital a placé pendant un temps ex-
primé par t , à raison de i p, 1 00 par an.
En raisonnant comme ci-dessus , on sera conduit aux deux
fioo proportions j
d'où l'on déduit 1 00
et par conséquent,
X = ^ ^ ' ^ ' — fit
Cette formule X == indique sous une forme facile à
retenir, la manière de déterminer l'intérêt d'une somme quelconque placée pendant un certain temps , et d'après un certain taux.
En langage ordinaire , elle signifie qu'il faut multiplier la somme proposée par le taux 'd'intérêt pour un an, puis par le temps pendant lequel la somme est placée, et diviser le résultai par 100. C'est dans cette opération que consiste la règle d'intérêt simple.
a :: i : x\ < :: ar :xj ' «x^ :: « : x,
3oO DE LA RÈGLE D'l!«TéRÊT.
282. On peut d'ailleurs parvenir à cette formule sassle cours des proportions , et par un moyeu qu'il est boo de connaître.
Puisque loo francs rapportent, dans Tunité de temps ou dans un an , un nombre de francs marque' par i\ il est ctaîr
qu'un seul franc doit rapporter . Donc une somme quel—
. / ai
conque rapportera „ dans un an, X^. ou — ^ ; et celte
^ ■^'^ 100 lOO
même somme, au bout de t années , devra rapporter — (*).
N, B,'^ La fraction qui ex prime l'intérêt d'un franc pour
un an, se présente, dans certains cas particuliers, sous une
forme t^iès simple. .
Soit, par exemple, i = 5 (ce qui veut dire qu'une somme 1
est placée à 5 p. i oo par an) ; il en résulte = = — ,
d'où — = — : d'où l'on voit que l'intérêt d'un capital
lOO 20 ^ ^
placé à 5 p. 1 00 par an , est égal au ^vingtième du capital. Soit encore i=io; il en résulte — = = — .. Donc
= — ; c'est-à-dire que Fintérêt d'un capital placé à lo
100 lO ^ r r
p. 100, est égal au dixième de ce capital.
On dit que le capital est placé , dans le premier cas , au de^ nier ao, et, dans le second , au denier lo.
(^) Le moyen que nous venons d'^indiqucr pour arriver à. l'expression
— y et que Ton désigne sons le nom dé méthode de réduction à Vunitéy est
applicable à tons les problèmes qui dépendent de la théorie des proportions \ et Tundenos meilleurs au tears, M. Retràud. a cm devoir en faire exclusivement usage dans son Traité d* Arithmétique, Mais si cette méthode a Tavantage d*étre plus analytique que la nôtre, elle a , suivant nous , l'inconvénient dVtre plus prolixe dans ses détails. Toutefois , nous sommes loin de vouloir la déprécier : au contraire , nous ne saurions trop la recoramaiulcr ^ MM. les ProiVîi*cur<. cootmr un escoUcni cxenice au tihleau
RÈGLE U*INTÉRLT. 3ui
Ëufin 9 dire qu^ine pei^sonne a placé ses fonds au denier ^o y c'est supposer qu'elle retire par an , en inte'rct , le 40"*' de sou capital ; ou, en d'autres termes, que le taux d'intérêt est de 2 ^ p. 100 par an ; car on a *
3±=:JL — 1- d'où — = — -^ = — .
Ces dénominations sont usitées dans le commerce.
225. Quelquefois^ le taux d'intérêt est donné, non pour un an , mais pour 1 mois ou 3o jours. {Vojez n® 281.) Dans ce cas , on prend le mois pour unité de temps ; mais la manière d'opérer est toujours la même.
Second exemple. — On demande V intérêt de 5ooo francs
pour 3i 5 Jours , ou 10 mois iS jours , à raison de-j p. 100 par
mois ?
Faisant, dans la formule X= , fl=:5ooo, 1 = lo"*!»
et / = ~j on obtient
^^5oooXio^x4^g^^2i^3 3i5o^3 ^ 100 24^
Ainsi, l'intérêt demandé est 3g3 francs '^5 centimes.
Troisxâme exemple. — - Une somme de 3 760 francs a rapporter}! g francs 26 centimes, en intérêt, au bout de 2 ans 6 mois; on demande le taux d^ intérêt auquel la somme a été placée ?
En raisonnant comme dans le premier exemple , on par-
j , (3'75o : 100 :: •710,25 : .ri
viendra aux deux proportions <J^,^. ^ :: x : X \
d'où l'on déduit 3760 X 2 ^ : 100 :: 719,25 : X.
n V 7iQ,25xioo 71025 y, * » ^ . j-
Donc X = ' J^V r--= >r V = 1 >672 : *c est-à-dire
que le taux d'intérêt est 7', 67 p. 100 par an, à 1 centime
près.
5o2 REGLE D*1NTÉKÉT.
On peul i'acileiiient vérifier «ce résultat en déterminant rintérêt du capital 3760 francs, pendant 2 ans 6 mois, à raison de 7' 67* p. 100 par au. Toutefois il est nécessaire , pour plus d'exactitude, de prendre pour taux le nombre 79672 tel qu'on l'a obtenu ci-dessus.
La formule X= est également propre à faire connaître
ce taux. En effet, elle donne évidemment looX =a X < X ^
,, , looX d ou t = .
Or, on a az=375o, < =2 ans 6 mois, X= 719,26;
donc * = t • 7 = ^ f^ , comme on 1 a déjà trouve.
ôn^o •v 2 j 9*57
SS4. Considérée en général , cette formule contient qualité quantités , a, 1,1 et X, dont chacune peut être supposée inconnue, les trois autres étant données ; et il sera toujours facile d'en déduire la quantité inconnue.
On peut ainsi se proposer quatre questions essentiellement différentes dont voici les énoncés , avec les résultats qui y sont relatifs.
1®. Déterminer f intérêt d'un capital pour un certain temps, à raison ifun certain taux d'intérêt?
Soit X Tintérêt demandé, on a X = .
(Les deux premiers exemples se rapportent à cette question.}
2^. Déterminer le taux d'intérêt auquel une somme doit être
placée pour remporter ^ au bout dun certain temps, une autre
somme connue?
l^ formule est, dans ce cas. i = .
' at
(Le troisième exemple se rapporte à cette question. )
3*. Déterminer le temps pendant lequel une certaine somme
doit être placée pour rapporter, à raison dTun certain taux
connu, une autre somme aussi connue?
La formule est alors 1= : —
at
RÈGLE d'escompte. 3o3
Celle vakur de t doit être d'ailleurs calculée en unités de même espèce que celle pour laquelle on a d'abord fixé le taux, soit en années , soit en mois.
4**. Déterminer le capital qu il faudrait placer pendant un temps connu y pour rapporter, à raison et un certain taux donné, une somnte aussi connue?
On a pour la formule , a= — ; — .
Voici- de nouveaux exemples sur lesquels on peut s'exercer.
Quatrième exemple. — Un certain capital placé pendant
27 mois, à raison de -p, 100 par mois , a rapporté i3ia'65*
à' intérêt; on demande la valeur du capital?
[Rép. 9723' 33^]
Cinquième exemple. — Une somme de 7400^ ^ rapporté pendant ^7 mois y 832^ 5o* ; on demande combien une autre somme de 85oo' doit rapporter, au même taux d^ intérêt, pendant 45 mois y et quel est le taux ^intérêt ?
[Rép, 1593^76*^ et 5 p. 100 par an. ]
DE LA RÈGLE d'eSCOMPTE.
22l(. L'escompte est une retenue faite sur le montant d'un billet qui n'est payable qu'au bout d'un certain temps, et dont on voudrait se faire payer avant son échéance.
Pour fixer les idées, supposons <\\Si* une personne possédant un billet de Zooo francs , payable dans i an, se présente chez un banquier pour le faire escompter. On demande la retenue que doit faire le banquier, ou bien la somme qu*il doit compter actuellement à la personne? On sait d'ailleurs que le taux d'intérêt est de 6 pour 100.
Analyse. — Il est clair que la personne doit recevoir actuellement une somme qui, réunie à son intérêt pondant i an, produise 3ooo fr., montant du billet.
Or, puisque 100 fr. rapportent 6 fr. d'intérêt par an, il s'ensuit que 100 fr. vaudront dans un an , 106 fr., y compris le ca-
3u4 BÈCLE U'ESCOMWE.
pîul ; OU, ce qui revient au luèine , qu'un billet de 106 francs, payable daus 1 an, ^uivaut à luo fr. payables actuellement. Donc, pour trouver la valeur actuetU du billet de 3ooo francs, il suffit d'établir la proporlioD
