II ; 11.14 i i4*i

que chaque terme de la progression proposée est à la fois conscfqiîent et antécédent, à l'exception du premier terme qui n'est qu'antécédent, et du dernier des termes que l'on considère, lequel n'est que conséquent.

ÎÏ39. Première propriété. — Evaluation d'un terme de rang quelconque au moyen du premier icrm^.

PAA OméREIICE. 33 1

Il résulte de la définilîon d'une prognession ptr différence, que , dans une progression croissante y

Le dettxièwne ternie est ^al au premier plus la raison;

Le troisième est égal au deuxième plus la raison , ou bien , est égal au premier plus deux fois la raison ;

Le quatrième est égal au troisième plus la raison ; ou au premier plus trois fois la raison.

£n général , un terme de rang quelconque est égal aupre-' mier, plus autant de fois la raison qu'il y a de termes avant celui que F on considère.

Pour fixer les idées sur cette propriété , et en présenter un énoncé plus concis , considérons la suite des nombres

T a»b,c»d,e.f,g,, . . .i.lcly

que nous supposons former une progression croissante ; et désignons par r la raison de la progression.

On a évidemment , d'après ]a nature de la progression ,

A = fl -f- r,

c=:^-|-r = û4- r + rzn a -^ ar,

Donc, si n désigne le rang d'un terme quelconque /, auquel cas {n — 1} exprime le nombre des termes qui précèdent, on a

évidemment l=za + (n — i)r (i) ,

expression qui , traduite en langage ordinaire , revient à l'é^ nonce ci-dessus.

Si la progression était décroissante , on aurait au contraire,

é = II — r,

c=:ô — r=fl — r '^ r sss a — ar,

rf=ic— r=fl — ar— rarsa — 3r,

et par conséquent, l =z a — (n — i)r. . . (2).

Les deux formules (1) cl (a) servent à déterminer un tenne

332 FROGRESSIOlfS

quelconque de la série , sans qu'on soit obligé de calculer tous ceux qui précèdent , puisqu'il suffit de connaître le premier terme , la raison, et le nombre des termes compris depuis le premier jusqu'à celui que l'on veut former.

Soit, par exemple, la progression 7 a.S.S.ii...» dont on demande le^o'"*' terme.

On a ici, a=:2,r=3,et n=ao;donc la formule (i) devient

/=fc2 4" '9 X 3 = 5g.

On trouverait de même pour le 60'"*' terme ,

Soit encore la progression r 80.74* ^'^^^ •• > dont on demande le 12'"*' terme.

On a dans ce cas , ass8o , r = 6. n = 12 ; donc la for«mule (2) donne / = 80— 11X6=1 4*

Ô40. Conséquence de la propriété précédente, — Ces mêmes formules conduisent à la résolution d'une question très importante qui a pour objet éCinsérer entre deux nombres donnés , autant que l'on veut de moyens différentiels , c'est-à-dire d'autres nombres formant avec les deux nombres donnés, une progression par différence.

Proposons-nous, pour premier exemple , A^insérer entre Z

et S*], HUIT MOYENS DIFFÉRENTIELS.

Puisque la progression que l'on veut former, doit , y coni' pris les deux nombres donnés , être composée de 8 + 2 ou de I o termes , il s'ensuit {n? 889 ) que le dernier terme 57 est égal au premier 3, plus 9 fois la raison ; donc , si de 67 on retranche 3, la différence 54 sera égale à 9 fois la raison ; et par conséquent, le 9^*"' de 54 9 ou 6, sera l'expression de la raison qui doit régner dans la progression.

Connaissant la raison , il est facile d'en déduire la progression , qui est alors

Soient, en général, a et / les deux nombres entre lesquels 011