PAR DIFFÉRENCE

veut insérer un nombre m de mojrens différentiels; si Ton désigne d'ailleurs par n le ncmibre tolal des termes , on aura R=m-f-2; d'où n-^ is=:m-{-i; et les deux formules du numéro 239 deviennent

De la première on tire , en retranchant a des deux mem« *

bres,

/ — fl = (m + i) r, d'où r = — ^^^^ — .

Pour la seconde , il faut ajouter aux deux membres, (m-^ i)ry puis en retrancher /, ce qui donne

(jn + i)r = a — /, d'oà r= — ^H—,

Donc , pour insérer entre deux nombres donnés , autant de mojrens différentiels que ton veut , il faut retrancher le plus petit nombre du plus grand, et diviser la différence par le nombre total des termes à insérer, plusvs.

Le résultat ainsi obtenu exprime la raison de la progression , qui peut , d'ailleurs y être croissante ou décroissante» •

Soit proposé , pour second exemple, d* insérer entre ^ et 29, 35 mojrens différentiels.

Ici, l'onaasa, /=a9, m5=35-, donc r = -^5g — =7 ; ci la progression demandée est

; 2*2*7*d — .il. "7.0.0"7 • 2Q.

4 îï 4 4 ^

Le 20"*' terme de cette progression, ouïe 19^"* moyen diffé-

'"entiel , a pour valeur (n° 259) /=2 + 19 X 7 = ib 7.

Le 37"" terme, ou le dernier terme de la progression , est

' = 2 -|- 36 X 7 = 29i ce qui doit être.

24i. Remarque. — Si, entre les termes consécutifs d'une progression par différence , considérés deux à deux, on in^

334 PROGRCSSrOfTS

^re un même nombre de moyens différentiels , toutes les progressions partielles ainsi formées composent une seule et même progression.

En effet, soit Is^ progression \a.b , c^d,e ,f, , ; et soit m le nombre des moyens qu'on veut insérer entre a et b^ puis entre ^ et c, puis entre c et </. . . ; les raisons des progressions partielles seront, diaprés ce qui vient d'être dit, expri-

mees respectivement par , — - — , ; — . . .; or, toutes

ces quantités sont égales, puisque a^b^c. . étant en progression , ou a b — a z:=C'-^b's=:d'~^c, , . ; ainsi , la raison est la même pour toutes ces progressions partielles. Comme d'ailleurs , le dernier terme de chacune d'elles est en même temps le premier terme de la suivante , on peut conclure que toutes ces progressions partielles constituent une progression unique.

Soit, par exemple , proposé d^ insérer lo moyens différentiels entre deux tennes consécutifs quelconques de la progression

La raison est ici , , , -= , . . . ou bien — .

Il 11 11 II

On a donc M., ^., 1. ,l...a-9. 3.3^.3!. . .49.5.5I.. . . . . ,