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progression évidente.

Nous ferons bientôt usage de cette remarque, qui est très importante.

948. Seconde propriété. — Dans toute progression par différence , la somme de deux termes quelconques pris à égale distance des deux termes extrêmes , c'est-à-dire du premier et du dernier, est égale à la somme des deux extrêmes.

Ainsi y dans la progression

7 1 •4*7* lo. i3. 16.19.22.25.28.31 .34*37, ona 1 + 37 = 4 + 34=7+31=10 + 28. . . .

PAR DIFFf^:RENCE. 335

Pour nous rendre compte de cette propriété d'une manière générale , appelons aeil les deux termes extrêmes, x un terme qui occupe le /?'""' rang, c'est-à-dire qui en a (/>— i) avant lui , el^ un terme qui en a (/?— i) après lui.

Gela posé, Toii a d'abord, en vertu de la formule dun^'SSO,

Actuellement , si l'on ne considère que la partie de la progression , comprise depuis le terme jr inclusivement jusqu'au terme / aussi inclusivement, le nombre total des termes de cette progression partielle estj!;, et l'on a encore

D'où l'on voit que/ surpasse jr de la même quantité que x surpasse a. Donc les quatre nombres a, x, j*, /, forment une équi-différence. Or, dans toute équi-différence , la somme des mqxens est égale à la somme des extrêmes (n° 20i) ; ainsi, l'on a

x + jrz=za+l; C.Q.F.D.

N. B. — Lorsque la progression est composée d'un nombre impair de termes , celui du milieu forme avec les deux extrêmes une équi-différence continue; et par conséquent (n® 805) // est égal à la demi-^omme des deux extrêmes.

Ainsi , dans la progression ci-dessus ? i . 4 • 7 • • • • qui se compose de i3 termes , le 7"*' terme , ou 19, est égal à ^ ,

qui est évident.

S43. Conséquence. — Cette propriété fournit un moyen trèssimple d*oblenir l'expression de la somme de tous les termes dune progression par différence.

Soit en effet la progression . . . . 7 a.b^c i,k,l;

ei désignons par S la somme inconnue de tous ces termes , n étant d'ailleurs le nombre des ternies. Concevons que l'on ait écrit cette progression au-dessous d'elle-même, dans un or- (ire inverse , ce qui donne r l-k,L .... c.b,a\

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