PAR QUOTIENT

244. Des progressions par quotient (ou géométriques). — On nomme ainsi une suite de termes dont chacun est égal à celui qui le précède, multiplié par un nombre constant qui est encore appelé LA RAISON de la progression.

La progression est dite croissante ou décroissante , suivant que la raison, on le nombre constant qui exprime le rapport d'un terme à celui qui le préclède , est plus grand ou plus petit que l'unité'.

Une progression par quotient s'écrit en plaçant deux points après chacun des termes , et le signe fr en tête , parce que , d'après la définition , Ton peut regarder ces nombres comme formant une série de proportions continues.

Par exemple , soient les deux suites de nombres

Dans la première y cbaque terme est égal à celui qui le précède multiplié par 3 ; ainsi, c'est une progression par quotient dont la raison est; 3.

Dans la seconde , chaque terme est la ii^oitié de celui qui le précède , ou bien , est égal à celui qui le précède multiplié par

la fraction ~ ; donc , c'est une progression par quotient dont la rauon e^t -,

On énonce d'ailleurs ces progressions de la même manière que les progressions par différence, savoir,

2 est à 6, est à i8, est à 54, est à 162 , . . . ;

et 12 est à &, est à 3 f est à - y est à -T. . . .

Si l'on envisage chaque progression comme une suite de proportions continues , il en résulte que chaque terme de la progression est à la fois conséquent et antécédent ^ à l'exception

Arith. B, 22

338 PA0GKLSS10i>S

du premier qui n'est qu'antécédent , et du dernier qui n'est que conséquent.

Les progressions par quotient jouissent de propriétés analop,ues à celles des progressions par différence.

945. PaEBfiÈEB PROPRIÉTÉ.— j^f^o/ua/ic^n dun terme de rang quelconque dans une progression par quotient.

Soit la progression par quotient, générale,

Ti a: ô : c : d : e :f: g : h ,

et désignons par q la raison , qui peut d'ailleurs être ]> ou <i On aura évidemment les égalités suivantes

b=aq,

cc=zlfq =zaq Xq:=zaq*, d = cq ss aq* X ^ = aq^ , e :=! dqr= aq^ X 7 ^= ^^ >

d'où Ton voit qu'en général, un terme de rang quelconque est égal au premier terme multiplié par une puissance de la raison, dont V exposant est marqué par le nombre des termes qui précèdent celui que Von considère.

Ainsi 9 désignant par n le nombre des ternies compris inclusivement depuis le premier jusqu'au tenne /, on obtient la formule

au moyen de laquelle on peut aisément trouver la valeur d'un terme , sans être obligé de former tous ceux qui le précèdent. Applications. — i^. On demande la valeur du 1 2* terme delà progression ....TTa:6:i8:

La formule devient /=a X 3".

D*abord, la 4* puissancede3est3x3x3x3,ou8i ; multipliant 81 par 81, on obtient 656i pour la 8* puissance.Multipliant 656i par 27, 3* puissance de 3, on trouve 1771^7 pour la 1 1* puissance.

PAR QUOTIENT. 33g

Donc enfin, / = 2 X 17714? ==354294-