On demande le 10* terme de la progression
On trouve dans ce cas , / = 1 2 x ( - ) .
Or le cube de 2 est 8 ; le cube de 8 , qui n'est évidemment autre chose que la 9* puissance de 2, est égal à 5i2 ; donc
iV. B. — Si le rang du terme était un peu éloigné , le calcul deviendrait assez laborieux ; mais on n'en parviendrait pas moins à l'expression de ce terme par des multiplications successives. Toutefois, on peut juger, par le premier exemple, avec quelle rapidité les puissances d'un nombre augmentent de valeur lorsque le degré de la puissance est un peu considérable, puisque dans la progression -HalGliS:...., on obtient 354294 pour le 1 2' terme seulement.
246. Conséquence de la propriété précédente. — Insérer entre deux nombres donnés ,dLet\y un nombre quelconque m de MOYENS PROPORTIONNELS. (On appelle ainsi d'autres nombres formant, avec les deux nombres donnés, une progression par quotient.)
Solution, — Il est évident que pour former la progression , il suffit d'obtenir la raison.
Or, de la formule / = «y"^* , on déduit , en divisant les deux membres par û,
- = î"-; d'où ? = ^-.
D'ailleurs, n exprimant le nombre total des termes, on a nécessairement 71= m -|- 2, et par conséquent, n — i ;:i= m + 1 .
Donc enfin , ^ = 1/ - ,
34 O FKOCUESSlOiNS
D'où l'on voit que, pour obtenir la raison, iljautéCahorà diviser le second nombre donné par le premier, puis extraire du quotient , une racine d'un degré marqué par le nombre des termes à insérer plus un.
Connaissant la raison de la progression , il est facile d'en oli> tenir les différents termes; il suffit de multiplier successivement le premier terme, a, par la i", par la 2«, par la 3*. . . puis-
sance de y ou de 1/ - •
Ainsi, par exemple, le 4' uxoyen proportionnel, qui n'est autre chose que le 5* terme de la progression, aurait pour va*
leur, a X ( \/") > ^' ^^^^^ ^^^ autres.
N. B. — Nous ne connaissons encore aucun procède' pour extraire une racine d'un degré' supérieur au 3*. Mais notre objet principal est d'obtenir pour les progressions par quotient, des formules analogues à celles qui ont été établies pour les progressions par différence. Nous donnerons d'ailleurs bientôt un moyen très-expéditif d'effectuer ces sortes d'opérations.
947. On démontre , comme pcmr les progressions par différence, que si^ entre tous les termes d'une progression par quolient, considérés deux à deux, on insère un même nombre de moyens proportionnels , les progressions partielles ainsi for^ mées constituent une progression unique.
Soit ^ a l b l c \ d . , . Adi progression proposée.
La raison , pour la première progression partielle , serait
I /-; pour la seconde, t/j-;
Or on a, par hypothèse, -=t = ~
abc
donc, les nombres i/-» v//» >* * • sont égaux, etc.
PAR QUOTIENT. 34l
Î48. Seconde propriété. — Dans toute progression par quotient, le produit de deux termes quelconques également dis^ tants des deux extrêmes , est égal au produit des extrêmes.
Soient en effet x eX jr deux termes dont l'un en ait {p — i) avant lui , et Vautre {p — i) après lui.
Le terme x est e'gal au premier a multiplié par ^''"~' ; et l'on a ar=:aX 7'*"*.
Le dernier terme /est égal au terme jr multiplié par g''"''; et l'on a /=j" X q^"^ ; d'où l'on voit que les termes a, x^jr^ et /, forment une proportion ....a : x \l jr : /.
Donc (n* 208) . .xX ^ = a X /. ...C.Q.F.D.
249. Désignons enfin par P le produit de tous les termes de la progression r^ a \ b \ c l \ i \ k \ ly multipliés entre eux, en sorte que l'on ait
P=ûAc ikl,
ou F z=lki cba y
ou en déduit P*^a^c i^/X Iki. . .cba^
ou bien encore , en intervertissant l'ordre des facteurs,
P»=û/X AArXctX. . . . iV?X^*X la,
mais on vient de voir que al=bk = ci. . . . *, et le nombre de ces produits partiels est égal à n , nombre des termes de la progression proposée ;
ainsi , P" = (a/)*;
et par conséquent , "
ce qui démontre que le produit de tous les termes d'une pro" gression par quotient est égal à la racine carrée de la u"^*' puissance du produit des deux extrêmes.
Cette fornrule correspond à celle qui donne la somme des
