LOGARITHMES

leurs logarithmes, que nous dcsigncrous , pour abréger , par o, log. <z, log. ày log. c (la notation log. signifiant logarithme de).

Gela posé, il résulte d'abord delà propriété du n^ 24tf , que les quatre nombres i^ a^b ^ c^ forment une proportion , puisque a, ùy sont deux termes pris à égale distance des extrêmes^ dans une progression arrêtée au terme c.

Ainsi , Ton a iX<? = ûX^,ouc =a X à.

IVun autre côté , les quatre termes o , log. a , log. b, log. r,

forment aussi (n^ 859) une équi-différence.

Ainsi , Ton a : o + log» e = log. 'a + log^. b^

ou simplement log. c = log. a + log. b.

Donc , en mettant à la place de c sa valeur a :<, b,

log. (« X ^) = log. a + log. b.

D'où l'on voit que le logarithme du produit de deux nombres de la progression (A) est égal à la somme des logarithmes de ces deux nombres.

D'après cela, pour obtenir le produit de deux nombres quelconques de la progression (A) , il sujffit de prendre leurs logarithmes dans la progression (B), de les ajouter, puis de chercher à quel nombre correspond cette somme; le nombre correspondant est \e produit demandé.

Ainsi y soient les deux nombres 64 ^^ ^^> dont il faut ob tenir le produit.

Je prends leurs logarithmes 18 et 24 dans la progression (B' ; je les ajoute, ce qui donne ^7, ; puis je cherche à quel nombre correspond 4^; et je trouve i6384 pour le produit demande.

On trouve de même que 12 -f- 27, ou 89, somme des logarithmes de 16 et 5i2, correspond h 8192, produit des deux nombres 16 et 5 12.

2^5. Conséquence, — Soient a, b^ c, d,.. plusieurs nombres de)apro{>res6ion (A); il résulte de ce qui vicut d'être dit, ^\i2

' I-N GÉPfÉllAL. 345

log. <ïôc = log. ab + \og» cr=log. a+log. Z>-f log. c; log. abcdz=:\oQ,abc+ log. é/=:log. û + ^og.ô4- log.c+log. Jj

et ainsi de suite.

Donc , en général , le logarithme du produit d'un nombre quelconque de facteurs est égal à la somme des logarithmes de tous ces /acteurs.

Ainsi, pour obtenir le produit de plusieurs nombres de la progression (A) , il suffit d'ajouter leurs logarithmes jms dans la progression (B) , et de déterminer à quel nombre correspond la somme; le nombre correspondant est \e produit demandé,

254. Remarque, — Les deux égalités cz= aX b et . . . log. c = log. a + log. b , desquelles on a déduit la propriété précédente, supposent évidemment que le premier terme de la progression (Â) est égal à i , et que le premier terme de la progression (B) est égal à o.

Voyons ce qui aurait lieu si les premiers termes étaient des nombres quelconques, k pour la première, et log. k pour la seconde.

On aurait , en vertu de ce qui a été dit (n*' 21>2) ^

1". Pour la progression (A) , . ...... *Xc=ûX^,

doii ^^ir*'

2®. Pour la progression (B) ,.,. log. Ar+log.c =:log.a+log.^,

d'où log. c=rlog.a-f-lo4*.^ — ^log. A";

c'est-à-dire que la somme des logarithmes de deux nombres a el b de la progression (A) , diminuée du premier terme de la progression (B) , serait égale au logarithme du quotient de la division du produit des deux nombres a et h , par le premier terme de la progression (A).

Ainsi, pour faire usage de cette propriété, il faudrait, 1°. faire la somme des logarithmes ; 2**. retrancher de cette somme le premier terme de la progression (B) , et rhcrrluîr a quel nombre

Z:\b DES LOGAiUTJiMES

lie la progression (A) correspondrait la ditrcrencc; 3", niuluplier le nombre correspondant ,. par le {Xieniier terme de la progression (A) ; et l'on obtiendrait le produit demandé.

On serait donc conduit à faire une addition, une soustraction et une multiplication , pour trouver le résultat d'une multiplication.

Dans rii^potbèse des premiers termes égaux à i et à o, la soustraction et la multiplication disparaissent; cette hypothèse est donc indispensable (vojrez n? 21S1).

255. Deuxième propriété. -—Puisque, dans la division, le dividende peut être regardé comme un produit dont le diviseur et le quotient sont les deux facteurs, il s'ensuit que le lo^^aritliine du <lividende est égal à la somme des logarithmes respectifs du diviseur et du quotient; ainsi, retranchant le logarithme du diviseur de celui du dividende, on obtiendra le loj^arithme du quotient.

Donc, le logarithme du quotient de la division de deux nomùres de la progression (A), est égal à r excès du logarithme du dividende sur celui du diviseur.

D'après cela, pour effectuer une division sur deux nombres qui appartiennent à la progression (A), il suffit de prendre dans la progression (fi) y le logarithme du dividende et celui du diviseur, de retrancher le second du premier, et de déterminer à quel nombre de la progression (A) correspond cette différence; on obtiendra ainsi le quotient demandé.

Soit proposé de diviser i6384 par 256.

Je prends dans la progression (B) , les logarithmes , 4^ et2/j) de ces deux nombres; je retranche 24 de42 , ce qui me donne 18. Je cherche le nombre correspondant à 18, et je trouve 64 ponr le t]uotient demandé.

La propriété relative à la division s'exprime ainsi d'une

manière abrégée : log. y^=z log, a — log. b.

256. Troisième propriété. — Une puissance de degré quelconque d'un nombre étant (n° 108 , «j®.) le produit d'autant de facteurs égaux à ce nombre, qu'il y a d'unités dans V exposant àc

EIV GÉNÉRAL. 347

la puissance , il s'ensuit évidemment (n° 255) que le logarithme (Tune puissance de degré quelconque , et un nombre de la pro^ pression (A), est égal au logarithme du nombre , multiplié par l'exposant de la puissance.

Ainsi, log. a^, ou log. a.a.a.a.a = 5 log a;

log. a^ = 7 log. a ;

et en général, log. a^srsm X log. a.

DonC) pour obtenir le résultat de la formation d'une puissance d'un certain nombre de la progression (Â) , il suffit de prendre dans la progression (B) le logarithme, de ce nombre, de le multiplier par r exposant de la puissance, et de déterminer à quel nombre de la progression (A) correspond ce produit ; le nombre correspondant sera \a. puissance demandée.

Par exemple, soU à élever Zt. àla Z^^* puissance.

Je prends iS, logarithme de 32 ; je le multiplie par 3 , exposant de la puissance, ce qui me donne 4^ ; je cherche à quel nombre correspond 4^ > 6t je trouve 3^768 pour la V^' puissance de 32.

257. Quatrième et dernière propriété. — On sait que deux nombres expriiiiés Tun par a et l'autre par a^ sont liés entre eux de telle manière que , le second étant la Tn'^""" puissance du premiar^ réciproquement le. premier est la racine m^'*"' du second.

Or, on vient de prouver que. . . log. a^sum log. a ;

loc. a^

donc, en divisant par m, log. a = — ^ ;

c'est-à-dire que le logarithme d'une racine de degré quelconque d'un nombre , est égal au logarithme de ce nombre, dix^isé par Vindice de la racine à extraire; ce qui s'exprime ainsi :

log. v/^,r=-^.

Par conséquent, pour extraire la racine m^*'"" d'un nombre de la progression (A) , il suffit de prendre son logarithme dans la progression (B) , de le diviser par m , puis de chercher à