CONSTRUCTION
quel nombre correspond ce quotient; le nombre correspondant est la racine demandée.
Soit proposé d'extraire la racine 3''*"' de 32768.
Je prends 4^, logaritliine de 32768, et je le divise par 3, indice de la racine; je trouve i5, qui a pour nombre correspondant 3?. ; donc 32 est la racine demandée.
Soit encore proposé d'extraire la racine 5'"" de 32768.
Je prends 4^ 9 logarithme de 32768; je le divise par 5 , îddice de la racine à extraire , ce qui me donne 9. Le nombre correspondant à 9 dans la progression (Â), est 8; donc 8 est la racine 5^"" de 32768,
Construction des tables de Logarithmes.
958. Les considérations précédentes suffisent pour faire concevoir Futilité d'une table de logarithmes , c'est-à-dire d'une table renfermant , d'une part , une série de nombres en progression par quotient, et de Tautre, leurs logarithmes, ou des nombres en progression par différence (les deux progrès^ siens devant satisfaire à la condition énoncée n^ 85i ).
Comme on a vu d'ailleurs que toutes les opérations sur des nombres d'une nature quelconque se ramènent toujours à des opérations sur des nombres entiers, il s'ensuit que , pour la simplification des calcufs, il suffirait que la table contînt les logarithmes des nombres entiers. Or, voici comment on est parvenu à former une pareille table :
Entre tous les systèmes, en nombre infini, de deux progressions, l'une par quotient, et l'autre par différence, que Ton pouvait prendre, on a d'abord choisi la progression décuple
H I ! 10 ; 100 : 1000 : loooo : 1 00000 : loooooo »
et la suite naturelle des nombres
Cela pose, concevons f[u'entre les nombres i et 10, 10 et 100, 100 et 1000, . . : .,011 insèri^ (a" 216) un certain nombre do
DES TAULES. 34c)
moyens projwrlionmds (<[ui soit le inêine pour chaque couple), mais un nombre assez grand pour qu'on soit assuré que 2, 3, 4....9I II, 12, 13....99 I loi, 102....999, soient comprispainii ces moyens proportionnels , ou du moins , diffèrent de quelques-uns d'entre eux d'une quantité si petite qu'on puisse les substituer, sans erreur sensible , à ces moyens proportionnels.
Concevons ensuite qu'entre les termes o et i, i et 2, 2 et 3, 3 et 4 y . de la progression par différence , on insère autant de moyens différentiels qu'on avait inséré de moyens propor* tionnels ; il est clair, d'après ce qui a été dit précédemment, que les ternies de la nouvelle progression par différence seront les logarithmes des termes de la nouvelle progression paiquotient.
Actuellement, supposons que, dans le nombre immense des termes des deux progressions , on ne tienne compte que des
nombres entiers 1^2, 3)4 V 99 1^9 1 1 yi^? • * ., appartenant à la progression par quotient, ainsi que des logarithmes qui leur correspondent ; on obtiendra une table qui renfermera ,
D'une part , tous les nombres entiers consécutifs , qui , à la vérité , ne feront plus entre eux une progression par quotient , mais n'en pourront pas moins être considérés comme des termes d'une progression de cette espèce ;
De Vautre part , leurs logarithmes, qui ne seront pas non plus eu progression par différence , mais n'en seront pas moins des termes d'une progression de cette espèce, occupant respectivement les mêmes rangs que ceux qu'occupent, dans la progression par quotient , les nombres de ces deux séries.
Ainsi , les propriétés relatives aux diverses opérations arithmétiques sont applicables à tous les nombres de cette table et à leurs logarithmes.
N,B, — Au premier abord , il peut paraître difficile de comprendre comment on est parvenu à insérer entre deux nombres donnés , i et i o par exemple ^ un très grand nombre de moyens proportionnels , puisque . pour en insérer deux seulement , il
35o coNSTiiucnoN et usAf.r
faudrait (ii*fi46), d'après la forniiile (/= t /- qui donne Tex-
prassioii de la raison, extraire avec un très-grand degré d'approximation, la racine 3'"" de — , ou de lo, opération que
l'on sait être déjà assez laborieuse. Que serait-ce donc s'il fallait en insérer looooooo, comme l'indiquent les traités d'ÀTithmétique? Mais notre objet était seulement de faire concevoir la possibilité de l'existence d'une table de logarithmes. C'est dans les parties plus élevées des Mathématiques , qu*on trouve des métliodes de détermination beaucoup plus expéditives.
259. Voici néanmoins une méthode élémentaire qui est peut-être plus aisée à comprendre , en ce qu'elle ne suppose que des extractions successives de racines carrées.
Supposons qu'on veuille déterminer le logarithme de 5 eu particulier.
Gomme 5 est compris entre i et i o , insérons un seul mojen proportionnel entre i et lo, puis un moyen différentiel enVst o et I.
On a (n"" 1107) i : x :: jr : lo;
d'où X = V/ïO= 3,1622.7766. ... ;
et (n** 205) o.j- : j^.i;
d'où r = -=: 0,5.
Cela posé, -ou o,5 sera évidemment le logarithme de t/ 10 ; résultat qui s'accorde d'ailleurs avec la propriété du n^257,
puisque l'on a log. t/io = - log. 10 = -,
Actuellement, comme 5 est plus grand que 3,162..* ^^
plus petit que to, insérons un nouveau moyen proportionnel
entre 8,1622. . . et lo, puis un moyen différentiel ^nXre ~
et i ;
DES TABLES. ' 35 j
il vient 3,16227766 ....: x ::.r : 10;
J'oii X ~ 4/31,622776. . =5,623... ;
ei
d'où j- = - ~ 0,75.
Le nouveau moyen différentiel est d'ailleurs le logarithme du nouveau moyen proportionnel.
Le nombre 5 se trouvant compris entre 3, 162 et
5,623. . . , nous sommes encore conduits à insérer un nioyca proportionnel entre 3,162... et 5623..., puis un moyen différentiel entre o,5 et 0,75.
Or,- il est évident qu'en continuant cette série d'insertions de moyens proportionnels, on parviendra à en déterminer deux qui ne différeront l'un de l'autre que d'une quantité aussi petite que Ton voudra, et qui comprendront le nombre 5. On pourra donc , sans erreur sensible , substituer 5 à l'un de ces moyens proportionnels, et le moyen différentiel correspondant au moyen proportionnel sera le logarithme demande. On obtiendrait par des opérations analogues , les logarithmes de 2,3,7,....
Remarquons d'ailleurs qu'il suffit, en calculant ainsi le logarithme de chaque nombre entier, de déterminer directement les logarithmes des nombres premiers; quant aux logarithmes des nombres multiples, on les obtiendrait au moyen des logaritlimes des nombres premiers, en faisant usage des propriétés des n®' 252 et 256.
Par exemple, on aurait log i5=:log(5x3)r=log5-{-log 3; log 36 = log (2** X 3*) = 2 log 2 + 2 log 3 ; et ainsi de suite.
Disposition et usage des ^fables vulgaires.
260. On appelle logarithmes vulgaires , ceux dont la formation est fondée sur le système des deux progressions
Zj7. VSKCt
jH I I ïo : loo : looo ; loooo...
parce c[ue c'est de cette table qu^oti se sert le plus coiumuncment. On les appelle encore logarithmes de Briggs , du nom du premior auteur d*une table de cette espèce. Il résulte de Tinspection des deux progressions ,
I*». Que le logarithme de l'unité est zéro ;
2". Que le logarithme de lo est i ;
3°. Que les logarithmes de tous les nombres entiers ou fractionnaires, compris entre i et lo, sont plus petits que l'unité ; que ceux des nombres compris entre lo et loo, se composent d*une unité et d'une certaine fraction j que ceux des nombres compris entre i oo et i ooo , se composent de deux unités et dtune certaine fraction ^ et ainsi de suite.
Dans les tables de Briggs , ces fractions sont évaluées eu décimales.
Ainsi, les logarithmes des nombres d'un seul chiffre sont représentés par une fraction décimale proprement dite; les logarithmes des nombres de deux chiffres ont i pour partit entière , laquelle est d'ailleurs suivie d'une fraction décimale.
Les logarithmes des nombres de trois chiffres ont 2 pour partie entière. . . .
£n général, la partie entière du logarithme d'un nombre renferme autant d'unités moins une , qu'il y a de chiffres dans le nombre si ce nombre est entier , ou dans la partie entière de ce nombre s'il est fractionnaire.
Cette partie entière d'un logarithme se nomme caractérisa tique , parce qu'on peut juger, d'après son inspection seule, l'ordre des plus hautes unités qui se trouvent comprises dans le nombre correspondant au logarithme proposé.
Ainsi, 2,74^56. . . correspond à un nombre de trois chiffres , c'est-à-dire à un nombre compris entre 100 et 1000 ; de même, ^yo5&^%, • . est le lop.arithme d'un nojnbre compris entre 10000 et 1 00000.
SOI. Connaissant le logarithme d'un nombre quelconque , on peut obtenir facilement celui d'un nombre lo, loo, looo fois plus grand. Il suffit, pour cela, A^ ajouter %^ 2, 3..» unités à la caractéristique.
Soit , en effet, a , un nombre dont on connaît déjà le loga* rithme ; on a (n®2tf2)
log (ûX io) = loga+log io = logû+i, log (ûX ioo) = log« + log ioo = loga + 2,
log (« X 10") = log û + log 10» = log a + n.
Réciproquement, le logarithme d'un nombre étant connu, pour obtenir celui d'un nombre 10, 100, 1000... fois plus petit , il suffit de retrancher de la caractéristique , i , 2 ,3» . • . . unités.
£n effet , on a ( n<» 2tf tf)
log =Iog a— log 1000= loga — 3; et ainsi des autres.
On peut conclure de là que les logarithmes, des nombres 4567 I 4^>7 I 4^9^7 I 49^7? par exemple, ne diffèrent pas les uns des autres par la partie décimale, mais seulement par la caractéristique , qui est 3 pour le premier nombre, 2 pour le deuxième , i pour le troisiènie , et o pour le quatrième.
En général, le logarithme d'un nombre fractionnaire décimal est le même, k la CàRAcréaiSTiQOE près, que le logarithme de son numérateur, ou du nombre proposé dans lequel on ferait abstraction de la virgule : il n'y a point de différence dans la partie décimale du logarithme.
Il est bon d'observer que cette propriété est toute particulière au système des logarithmes de Briggs ; et c'est ce qui doit faire préférer ce système à tout autre , puisque les fractions décimales sont les fractions sur lesquelles on a à opérer le plus souvent.
Àrith. B. 23
S69. 11 était impossible de placer dans les tables d'autres logarithmes que ceux des nombres entiers; car, deux nombres entiers consécutifs comprenant une infinité de nombres , fractionnaires , il n'y aurait pas de raison pour y placer les uns plutôt que les autres. En outre , les calculs que nécessitait la confection d'une table , étaient trop laborieux pour qu'on pût l'étendre au-delà d'une certaine limite, même assez faible.
Ainsi , il y a des tables qui ne vont que jusqu'à loooo, d'autres jusqu'à 20000; une des plus étendues, celle de Callet, va jusqu'à 108000.
Cependant, les applications logarithmiques exigent souvent la recherche du logarithme, soit d'un nombre qui excède les limites des tables, soit d'un nombre fractionnaire. Gomment alors obtenir ce logarithme ? C'est ce que nous allons développer sur des exemples. ( Nous supposerons, dans tout ce qui va suivre, que l'on n'ait entre les mains que les petites tables de Renaud ou de Lalande. )
263. Un nombre quelconque étant donné, déterminer son logarithme.
i". Soit à déterminer le logarithme de 25432g.
Ce nombre ayant six chiffres, la caractéristique de son logarithme est 5 ( n** 260 ) ; ainsi , la question se réduit à en trouver la partie décimale.
Or , il résulte de ce qui a été dit n^ 361 , que cette partie décimale est la même que celle de log 2543,19.
Par cette préparation , qui consiste à séparer tfers la droite du nombre, assez de chiffres pour que la partie à gauche se trouve dans la table, on obtient un nombre compris entre 2543 et â544 ; ainsi , son logarithme est égal à celui de 2543 , plus une partie de la différence qui existe entre /o^2544 ^^ log 2543.
On trouve dans la table logiîSfyZ = 3,4o535; on y
trouve également 17 pour différence entre log254f,et
iog 2543 ; cette différence 17 exprime des unités de Tordre du 5"** chiffre décimal , ou des 1 00000^'"".
Cela posé , afin d'obtenir la partie de celte différence qu'il faut ajouter à log 2543 , pour en déduire celui de 2543,29, ou établit cette proportion : Sî, pour une unité de différence entre les nombres 2544 ^' ^543, on a i^ gent-iiillièmes de diffé^ rence entre leurs logarithmes, combien, pour o^agde diffi» rence entre 3543,29 et ^S^'àyaura^lron de différence entre leurs logarithmes ; ou bien, i : 17 X 0,29 : x^ d'où
et ce 4"'' terme 4>93 ^^^ ^^ cp^'A faut ajouter €/e cenu-millikmes au logarithme 3,4o535 pour avoir le logarithme demandé.
Comme on ne doit tenir compte que de la partie à gauche de la virgule, dans ce 4"*'-^6ruie, on ajoute 4 ou plutôt 5 ( parce que le 1*' chiffre à droite de la virgule est plus grand que 5), au chiffre des cent-millièmes ou au dernier chiffre de 3,4o535 ; et l'on obtient
log2543,29= 3,4o54o ; donc log 254329 = 5,4o54o.
Dans la pratique , on dispose ainsi le calcul :
log 254329 === log 2543,29 + 2
log 2543 = 340535 Diff" tidf'* . . . 17
Donc log 2543,29 = 3,40540 ,
et par conséquent, .... log 254329 = 5,4o54o.
2**. Soii encore à déterminer le logarithme de 1 784967. On a d'abord log. 1 784967 = log 1 784,967 + 3
log 1784 = 3,25139 Diff'Uab'',.. 25
Donc - log 1 784^967 = 3,25i63
etjpar conséquent, . • . log 1784967 =6,25i63.
JI64. N. B, — Pour résoudre les deux questionè précédentes^
on a établi une proportion entre les différences des nombres e\
les différences de leurs logarithmes. On démontre en Algèbre,
que cette proportion n'est jamais rigoureusement ' exacte ;
mais elle approcbe d'autant plus de l'exactitude , que les
nombres pour lesquels on l'établit sont plus grands ; et Ton
fait Toir d'ailleurs qu'en faisant usage des petites tables,
l'erreur commise n'influe pas sur le 5"" chi£fre décimal du
logarithme, tant que le nombre est au-dessus de looo; de
sorte que , dans ce cas , la proportion peut être considérée
comme tout-à-fait exacte. Voilà pourquoi ^ loraqu'un nombre
excède les limites des tables, ou ne doit séparer vers sa droite
que le moins de chiffres possible.
3*. On demande le logarithme dei')^.
Ce nombre revient à -= — ; donc ( n** 2JJtf)
*^^ ^^ la "^ ^^^ ^^^^ ~ ^^^ ^9' Or, on trouve dans la table log 2226 ss 3,34753
log 59 =i,77o85;
d'où, effectuant la soustraction, log 37^ =1,57668.
Quant au logarithme d'un nombre fractionnaire décimal, tel que 4799^564 , on a déjà vu (n® 261 ) que tout se réduit à déterminer le logarithme de 479^564 comme il vient d'être dit, puis à retrancher 4 unités de la caractéristique ; ou bien, on peut dire :
^Qg 479»^^64 = ^og 479^>S 64— i
'^ 479^ = 3,68o52 Diff''tab''... g
d'où * log 4792,554 = 3,68057.
Donc log 479»2S64 = 2,58«)57.
Voyez la fin de ce chapitre (n** 873) /loi/r Us logarithmes des fractions proprement dites.
208. Un LOGAKITHBIE QUELCONQUE ETANT DONNÉ, TROUVER LE NOMBRE QUI LUI CORRESPOND.
Lorsque , pour effectaer certaines opérations arithmétiques y ou emploie le secours des logarithmes, ou parvient ordinairement à un résultat qui exprime le logarithme du nombre cher^ ahé ; et il faut, au moyen de la table, déterminer à quel nombre correspond ce logarithme.
i^. Considérons le cas où la caractéristique est 3, ou la plus forte de celles qui se trouvent dans les petites tables.
Soit à trousser le nombre correspondant au logarithme 3,45986?
On commence par chercher ce logarithme parmi ceux des nombres de quatre chiffres ; et l'on trouve qu'il est compris entre 3,45g24 ^^ 3>4%^9 V^^ ^^"^ les logarithmes de 2879 et 2880 ; donc le nombre cherché est égal à 2879 P^^*^ ^^^ ^^^^ taine fraction.
Pour obtenir cette fraction , on prend la différence tabulaire i5, et la différence 12 entre le logarithme donné et celui de 2879 ; puis on établit la proportion :
Si, pour i5 GENov-Mii^LiàMBs <fe différence entre logaSSo et log 2879 > ^'^^ ^"^ unité de différence entre ces nombres , combien, pour 12 cent-millièmes de différence entre le logarithme donné et celui de 2879, doit' on avoir de différence entre les nombres correspondants ?
Oubien, i5 : i :: 12 : arj d'oiiar:=-^= 8.
Ajoutant ce 4*"' terme à 2879 ' ^^ obtient 2879,8 pour le nombre demandé.
Voici le tableau des calculs :
Appelant N le nombre cherché, on a logN = 3,45936. On trouve dans la table. 1052879 = 3,45924
Diff'^' T2
Diff^'riah'' i5
i5 : 1 :: 12 : ar=:o,8;
donc N = 2879,8.
. 266. N.B, — La valeur obtenue pourN dans l'exemple précédent , a été trouvée , avant la réduction en décimales , égale
à 2879 -| — 3 (à un 1 5* près), en supposant la proportion exacte,
hypothèse qui peut et doit être admise ici S, n® S64) , puisque l'on reconnaît à Tinspection de la table de logarithmes que des accroissements constants et égaux à 1 , faits sur les nombres, correspondent (pour cette portion de la table) à des accroissements constants et égaux à iS unités (de l'ordre des cent-^millièmes) , faits sur les logarithmes correspondants , ou bien , ce qui revient au même , qu*ii/te unité ( de l'ordre des ceru^milHèmes) d'augmentation sur les logarithmes, corres-
pond à -7 d'augmentation sur les nombres.
Maintenant ,'^u lieu de laisser au 4' terme de la proportion
r ou à la fraction -s j, cette forme, sous laquelle il s'était
naturellement présenté, nous l'avons réduit en décimales, comme cela se fait ordinairement pour la commodité des calculs ; et nous avons trouvé ainsi la fraction 0,8^ exactement
é^aleà -7. Or, il est important d'observer que si la réduction
ne s'était pas faite exactement en dixièmes, il n'en aurait pas moins fallu arrêter cette opération au premier chiffre décimal ; et nous allons en donner la raûson.
Chaque i5^ contenant autant de loo'* que le nombre 100 contient de fois le nombre i5, il s'ensuit que quand on sait combien un nombre contient de 1 5** ( à un près ) on ne sait pas pour cela combien ce nombre contient de loo"*, de 1000'', de loooo'*; tandis qu'au contraire on peut bien conclure le
nombre de lo** (à un près) de celui des i5*% puisque — étant
|ilus grand que -ç , chaque iS* d'augmeniatiou nç peut pas
faire croître le nombre de plusieurs lo" à la fois.
De ce raisonnement géne'ralise' re'sulte la règle suivante^ applicable à tous les cas où , cherchant un nombre au moyen de son logarithme , on est obligé d'employer la proportion pour le de'terminer : le nombre de chiffres décimaux qu*il est permis de calculer pour le 4* terme , doit toujours être in^ fê rieur , au moins df une unité, au nombre de chiffres qui composent la différence tabulaire, diminué d^une unité. Cette règle est générale , quelle que spit la table que l'on emploie : ainsi la table de Collet donnera le chiffre des i oo^ toutes les fois que la différence tabulaire dépassera loo, mais se^Vsnient celui des lo** dans tous les cas contraires; et la table de Lalande ne donnera pas même avec certitude le chiffre des 10% toutes les fois que la différence tabulaire sera moÎAjdre que lo. (Au reste , pour plus de détails , voyez V Algèbre. )
2°. Soit à déterminer le nombre correspondant au loga-^
rilhme ijS6834*
On pourrait commencer par rechercher ce logarithme parmi ceux des nombres de deux chiffres; mais, comme il est probable qu'on ne l'y trouverait pas , il vaut mieux ajouter tout de suite 2 à la caractéristique , ce qui donne 3,56834* Cherchant, d'après la règle ci-dessus, le nombre correspondant à ce nouveau logarithnie , on trouve 3,56834 = log 3701 ,2. Or, puisqu'en ajoutant 2 unités à la caractéristique , on a (n° 264) multiplié le nombre cherché par 100, il faut , pour obtenir celui-ci , diviser 3701 ,2 par 100 ; ce qui donne enfin 37,012 pour le nombre demandé, à 0,001 près.
Soit encore à trouver le nombre correspondant à 0,86784.
On a d'abord. . 3,86784== log 7376,3-, donc. ...... 0,86784 = log 7,3763, à 0,0001 près.
Soit enfin proposé de déterminer le nombre correspondant
Retranchant d'abord deux unités , on a
3,47659= log 2996,3;
36o APPLICATIONS
et comme , en étant a unîtes de la caractéristique ^ on a rendu le nombre loo fois trop petit , il faut multiplier 2996 par 100 y ce qui donne sggôSo pour le nombre demandé, à une dixaineprhs.
Les petites tables ne permettent pas d'obtenir un plus grand degré' d'approximation. Si la caractéristique était plus grande que 5, le degré d'approximation serait encore moindre. Aussi doit*on employer les plus grandes tables possibles pour exécuter un calcul qui demande de l'exactitude.
Applications de la théorie des logarithmes.
Voyons maintenant les diverses applications que l'on peut faire des tables de logarithmes aux opérations de l'Arithmétique.
S67. RàGLE DE TROIS. — Déterminer, par logarithmes, le 4*"' terme de la proportion a \ b \l c \ x.
b yc.c
On a d'abord ( n' 206) x = ; d'où , en prenant les
logarithmes et appliquant les propriétés des n^' 2^2 et 251$,
logx = log 64- loge — loga.
Apres as^oirjait la somme des logarithmes des deux moyens, retranchez^en le logarithme de l'extrême connu; puis cherchez à quel nombre twrrespond la différence : vous obtiendrez ainsi le nombre demandé.
Soit, par exemple, la proportion 3^1 25g :: 497 *• X'^ona lop X = log 25g]+ log 497 — log a7 ,
log259=5 2y4i33o log 497 = 2,69686
5^10966 log 37 =1,56820
donc log X = 3,541469
et par conséquent, x = 3479,1, à 0,1 près.
DES TABLES DE LOGARITUBIES. 36l
Second exemple. Orr demande , par logarithmes , la valeur
de ^ — 37X49X17X175
(Cette expression peut être regardée comme le terme inconnu dans une rhgle de trois composée» )
Prenant les logarithmes des deux membres ^ on a lx = 137 + 149+l 17+1 175 — 129— 169— 1 154.
Or, 1 37= 1,56820 1 29= 1,46240
Donc logar= 1,24312 ;
d'où :r= i7,5o3, à 0,001 près.
. 268. Des compléments arithmétiques,^ — Dans l'exemple précédent , on a été conduit à retrancher la somme de plusieurs logarithmes , de la somme de plusieurs autres. Or, ou peut remplacer les deux additions et la soustraction , effectuées pour la détermination du résultat , par une seule addition , en employant les compléments arithmétiques.
On appelle complément arithmétiquesà^vm logarithme , ce qu'il faut ajouter à ce logarithme pour faire 10 unités; en d'autres termes , c'est le résultat qi^on obtient en soustrajrant ce logarithme, de 10.
Ainsi, compl, arith. 4^o364 = 10 — 4>5o364; et, pour obtenir ce complément , il faut évidemment, d'après la règle de Itf soustraction , retrancher chaque chiffre de 9 , excepté le dernier chiffre signiûcatif à droite, qu'on retranche de 10 ; ce qui donne
compl, ariih. 4}5o364 = 5,49636.
D(g mçme , compl, ariih, 7,32568 = 2^67432.
362 APPLICàTIONS
Le« compléments ariUimëiîques des logarithmes s'obtiennent y pour ainsi dire , d'après Tinspection de ces logarithmes.
N, B. — Si le dernier chiffre à droite du logarithme était un o, il faudrait retrancher de lo le premier chiffre significatif à la gauche de ce zéro , et de 9 les autres chiffres à gauche.
Ainsi, compl. arith. 5,3a570 =:4)6743o.
De même y compl, aritk. 8,62400= 1,87600.
Gela posé, soit à soustraire de la somme des quatre lpga« rithmes L, L', L% L", la somme de trois autres logarithmes /, t ^ r \ et désignons par D la différence. On a évidemment
D... ou ... h-^V + U + V — ^l+e-^l"):^
seL + L' + L^ + L^+io — Z+io— /'+10— ./" — 3o,
ou , ce qui revient au même y
= L + L' +\f '\'\J''^ cofnp.\'\' comp.X -{-comp.V '^Zo ;
d'où Ton déduit cette règle générale :
Prenei^ les compléments arithmétiques des logarithmes sauMlractifs ; jaites une somme totale de ces compléments et des logarithmes additifs ; puis retranchez de la caractéristique du résultat, autant de fois 10, ou autant de dixaines, que vous atfez pris de compléments; le résultat ainsi obtenu est /« différence demandée.
Reprenons le dernier exemi^ du mtméro précédent.
On a /.a:=/.37+/.49+/.i7+/.i75 — (/.29-f-/.69-f-/. i54),
Comp, /.
Comp. l.
Comp, /.
Le résultat de cette addition étant 3 1,243 12, on en xc'
VîES TABLES DE LOGARITHMES. 363
irandbe 3 dùcaines, et il vient 1,243 12 pour la différence demandée ; c'est en effet le résultat déjà obtenu (n® 267).
L'usage des compléments arttlimétiques abrège beaucoup les calculs par logarithmes,
aW. Progressiovs par quotient. — On propose d'insérer entre deux nombres donnés di et h , un nombre m de mqjrens proportionnels .
La formule q's^Kf - trouvée au numéro 94IB, devient, par
l'application des logarithmes, log q s=s — — ~,
Supposons , par exemple , qu'0/1 veuille insérer entrée e/ 4» 25 moyens proportionnels.
On a dans ce cas , a=:3, i = 4j 'W = 25j
d'où Ton déduit log^= l2ii^^lî5.-. ^
On trouve dans les tables. . . log 4 = 0,60206
log 3 = 0,47712
d'où log 4 — log 3 = 0,1 2494
donc , en divisant par 26, log^^ .= 0,00480.
Cherchant le nombre qui correspond à ce logarithme , on obtient ^=: i,oiii,à 0,000 1 près.
Veut-on maintenant^ormer /e i o® moyen proportionna o\x. /en* terme de cette progression ;
Appelant x ce moyen proportionnel , on a ( n^ M6 )
d'où , employant les logarithmes ,
io(log4 — logS)
log :c = log 3 +
364 RàCLE
Or, ou a déjà obtenu. . . log 4 — ^og 3 = 0,12494 d'où. 10 (log 4 — ^ôg 3) = 1,2494®
et -g (log 4 — log 3) = o,o48o5 ;
d'ailleurs log 3 = 0,47712;
donc enfin log a: = o,525i7.
Cherchant à quel nombre correspond ce logarithme , on trouve 3)35io pour le moyen proportionnel demandé.
Les règles d'intérêt et d'escompte composés se réduisent à la détermination du ternie d'un rang quelconque dans une progression par quotient.
270. Intérêt composé. — Une somme a étant placée pendant un nombre n d'années ou de mois, à raison de \pour 100 pav an ou par mois, on demande la valeur de cette somme au bout du temps n, enjr comprenant non-seulement le capital bl et ses intérêts accumulés, mais encore les intérêts des intérêts pen^ dant ce même temps.
Analjrse. — Puisque 100 fr. rapportent une somme i dans
ayci un an , il est clair ( n^* S9i et 222 ) que a rapportera ^
ainsi , le capital a place pendant un an , produit , y compris le capital,
an , ou bien «( i + — ).
100 \ looy
Geite nouvelle somme ^ qui se compose du capital primitif et de son intérêt pendant la première année , peut étt'ç. regardée comme un npnveau capital placé pendant la seconde année ; et en la désignant par a\ on trouvera qu'elle devient, au bout de la seconde année , y compris le capital ,
Y I -1 j^ ou bien , si l'on remplace a' par sa valeur,
\ 100/ \ ÎOO/ \ 100/
d'intérêt composé. 365
Désignant ce nouveau capital para", on obtiendra pour la somme de ce capital et de son intérêt pendant la troisième année ,
û^riH ), ou bien, remplaçant cl par sa valeur,
(.+L)Y.+L) = .(.+ JLy.
Donc y en général , n désignant le nombre d'années pendant lequel le capital a est placé , et A représentant la valeur de ce capital réuni à ses intérêts et aux intérêts des intérêts, on obtient
\ 100/ \ lOO /
Premier exemple. — On demande, en intérêt composé , ta valeur de 12000^ placés pendant 6 ans, à raison de 5^ pour -l par an.
On a , dans ce cas , â= 12000, f=:5, 71 = 6;
donc la formule devient
/îoo-fSy , ^^g
A= 12000 ( 1 = 12000 (i.oor.
Cette opération serait très . laborieuse à effectuer directe-» ment; mais si l'on emploie les logarithmes, il vient
log Asislog i2ooo-{-6 log i,o5.
Or, on a d'après les tables .... log i^oS = 0,02119;
d*où i . . 6 log ï,o5 = 0,12714;
d'un autre <tô té. log 12000 3= 4>^79i8;
donc log A = 4>2o632.
et par conséquent... k A= 16081'''.
Les petites tables ne peuvent donner un plus grand degré d'approximation .
N. B, — Dans cet exemple , la somme du capital , des inté-
366 IRTÉKÉT COMPOSÉ.
têts, et des intérêts des intérêts accumulés, monte à r6o8 1^ ; d'un autre côté, m Ton cherche (n" Mi) Vintérét simple de 12000' pour 5 ans , à raison de 5 pour |,
on trouve 36oo
Différence 4^1
O'où Ton voit que 481 francs expriment la valeur des intérêts des intérêts.
Second exemple» — ' On demande, en intérêt composé, la valeur de 5628' placés pendant g mois j, àraisonde | oudeo^'jS pour 100 par mois.
Commençons par déterminer la valeur du capital au bout de 9 mois.
Comme , dans ce cas , le mois est pris pour unité de temps, on fait dans la formule générale , a =5628, iz:= 0,75, n = 9, ce qui donne
d'où , appliquant les logarithmes ,
log A=:log 56a8 + glog 1,007s.
On trouve dans la table log 1,0076 = 0,00824
^*^^ 9 log 1,0075 = 0,02916
d'ailleurs log 5628 = 3,75o35
^®«^ log A = 3,77951
«t par conséquent. A =16019 ^^'
Pour obtenir ensuite l'intérêt de 6019* Ir. pédant quinte
jours, ou i mois, on a recours à la formule — (n? 221),
dans laquelle on pose ^=«019 , i = 0,75, < = ^, ce qui donne
6oi9Xo,75x- ^ <"< a 6oiQX'75 , ,
ESCOMPTE GOMPOSI^. 567
Donc enfin, 6o4^ fr. expriment la valeur du capital 5628 fr., en intérêt composé (*).
S71. Escompte composé. — Les deux quantités A et a qui
(lOO^I* {\ 1 ) , ont entre elles une 100 /
relation telle, que si a est un capital placé actuellement, A est
sa valeur au bout d'un certain temps ; donc réciproquement,
A désignant une somme payable dans n unités de temps , a
exprime sa valeur actuelle; on suppose toutefois qu'on ait
égard aux intérêts accumulés et aux intérêts des intérêts , du
capital, a.
D'ailleurs , on déduit de cette formule
/loo-f- ly \ 100 /
On peut donc regarder celle-ci comme donnant la valeur actuelle d'un billet dont le montant est A , et qui est payable dans n années , en admettant qu'on ait égard à l'intérêt composé de cette valeur actuelle.
Exemple. — On demande la valeur actuelle d'une somme de Soooo', qui n'est payable que dans 7 ans , en supposant, 1*. que r escompte soit composé, 2**. que le taux tTintérct soit à 6 pour 100 pur an.
Faisons, dans ce cas , A = 3oooo j w = 7, i = 6 ;
3oooo et la formule devient û= /Y^T?»
d'où , appliquant les logarithmes,
log a = log 3o66o — 7 .log i>o6.
(*) Dans la pratique, on peut réduire les dcnx oficra lions prccédenies à une seule, en posant immédiatement dans l'expression générale de A,
« = Q - = — • mais celte manière d'opérer csx fondée sur la théorie des
exposants fractionnaires, dont on ne peut se former une idée nette qn'cn Algèbre.
368 LOGARITIIVES
On a log 3oooo= 4,47711;
d'ailleurs, log i,o6=o,o253i
d'où.... 7 log 1,06 = 0,17717 — 0,17717;
donc ^ log û = 4»29995»
et par conséquent, <!= 19960 fr.
En cherchant la valeur actuelle de 3oooo, d'après la règle d'escompte simple (escompte en dedans, voyez n^ 927), on
trouverait. , 31126,76,
résultat qui diffibre du précédent, de 1176,76.
Nous ne nous étendrons pas davantage sur les applications de] tables de logarithmes. Ce qui précède suffit pour donner une idée de toute leur importance.
Logarithmes des Fractions,
S7S. Dans les questions précédentes , nous n'avons euà co nsidérer que des logarithmes de nombres entiers ou de nombres fractionnaires plus grands que l'unité. Ces logarithmes font partie de la table dont nous avons indiqué la formation (n^ 2S8 et 2IS9), ou bien peuvent s'obtenir facilement à l'aide de ceux-ci, lorsque les nombres correspondants sont entiers et excèdent les limites des tables , ou lorsqu'ils sont fractionnaires.
On sait d'ailleurs que , dans le système de Briggs , les logarithmes de tous les nombres dont nous venons de parler sont
compris entre o et i , i et 2 , 2 et 3 , 3 et 4 '1 c'est-à-dire
que les logarithmes des nombres compris depuis l'unité jus^ qu'à l* infini, sont eux-mêmes compris depuis o jusqu'à P infini; en sorte qu*il n'existe pas de nombre , si petit ou si grand qu'il soit par rapport à l'unité , qui ne puisse être regardé comme le logarithme d'un nombre plus grand que l'unité.
Il est alors naturel de demander si les fractions ont des logarithmes , et comment on les exprime.
Pour répondre à ces questions , reprenons la progression décuple, TT 1 ! 10 ; 100 Iiooo : loooo : lOOOOO...., et observons que , chaque terme étant égal à celui qui le précède , multiplié par 1 o , réciproquement , chaque terme est
