III I
10 100 1000 lOOOO zr o.i» 2 • o . u. ■•>«•«»,.
3^4 AUTRE MANli&S u'eNVISAGER
auquel cas toates les fractions auraient eu des logarithmes positifs y et d'autant plus grands que les fractions eussent été plus petites ; dans cette hypothèse , dis-je , les logarithmes des nombres de plus en plus grands que l'unité, savoir... 1,10, 100, looo, . . . , et tous les nombres compris entre eux, auraient e'té nécessairement repre'sentés par la wsérie des nombres négatifs o , — I, — 2 , — 3, . • . , et de tous les nombres coinpris.
Autre manière dermsa^er les Logarithmes.
276. Euler, dans ses Éléments d' Algèbre, a établi entre les diverses opérations de l'Arithmétique un rapprochement fort ingénieux que nous allons d'abord faire connaître , parce qu'il donne lieu à une nouvelle manière d'envisager les logarithmes.
Désignons par a, ^ ,c, trois nombres quelconques , et proposons-nous cette question générale : Deux quelconques de ces
trois quantités étant données, déterminer la troisième au moyen de Vune des opérations arithmétiques, effectuée sur les deux quantités données.
L'opération la plus simple sans contredit, et celle qui se présente la première à l'esprit , est V addition.
Soit donc proposé de trouver c par Paddition des deux Ttombnes a et b»
Cette reiatÎMi eiiti*e les trois nombres a^b^c^ sera exprimée par l'égalité
a '■{^btBzc, . . (i),
qui donne en même temps a=: c-^by ou^3=c— a.
D'où l'on voit que si, au lieu de recherchera, on demandait la valeur de a ou de 6, la même égalité (i) donnerait la quantité inconnue par une soustraction.
Ainsi, l'addition et la soustraction sont liées entre elles par la même égalité <i -f- ^ = c.
iV*. iB. — Si , dans l'égalité a = c — 6 , on suppose c < i , la valeur de a se réduit évidemment à un nombre négatif* Ces
LBS LOGAaiTtHAES» 3^5
sortes de nombres tirent donc leur origine de Boits traction» indîqtftées et impossibles à effectuer.
L'addition de plusieurs nombres e'gaux conduit à la nudti'* plicaiion, ^
Proposon8**nous'alors de trouver cpar la multiplication des nombres sl eth.
Cette relation sera indiquée par Tégalite'
ab'=^c. . , . (a);
d'où l'on déduit « = -=-, ou 6 s= -•
Donc si, au lieu de chercher c d'après l'égalité (2), 'on demande la valeur de a ou de & , la dit^ision de c par ^ , ou de c par a , donnera la valeur du nombre inconnu.
Ainsi y la multiplication et la di\^ision sont liées entre elles par la même égalité. .,, ab=^c.
N, Ô.— Dans l'hypothèse de c^b^ ou de c non divisible exac-
tement par b , l'expression j est uiie fraction ou un nombre
fractionnaire. Donc les fractions tirent leulr origine de divisions qui ne peuvent s'effectuer exactement.
Enfin , la multiplication de plusieurs nombres égaux con-* duit à Idformation des puissances.
Supposons donc qu'on veuille obtenir c en faisant le produit de b nombres égaux à a.
Cette relation s'exprimera par l'égalité «^ s» c. . . (3)4
d^ù l'on déduit d'abord , a = \/e ;
ce qui prouve que , pour obtenir ç , quand on connaît attb ^ il faut effectuer une Jormation, de puissance) et que, pour obtenir a, quand on connaît c et ^ , il faut effectuer une ex^ traction de racine.
Mais actuellement, connaissant a e/ c, comment trouverons" nous h 1
Avant de répondre à cette question, récapitulons ce qui vient d'être dit.
L'égalité «-1-^ = réunit les deux opérations connues souf
3^6 AUTRE MàXièRE d'eNVISAGBR
le nom à'4iddition et de soustraction; la seconde de ces deux opérations pouvant d'ailleurs donner lieu aux nombres négatifs.
L'égalité ab = c réunit la multiplication et la division; d'où naît l'idée à^um fraction ou d'un nombre fractionnaire.
Remarquons en outre que dans chacune de ces deux égalités a + b'=:zCyab=zc, le nombre a y ouïe nombre b^ s'obtient par le moyen de la mime opération effectuée sur les deux quantités eonnues (ce que l'on exprime en disant que aet b entrent d'une manière semblable ou symétrique dans ces égalités).
De même y l'égalité a^=.c réunit la formation des puissances et r extraction des racines; d'où naissent les nombres incommensurables.
Mais il y a cette différence entre cette égalité et les deux précédentes, que, pour trouver a, une extraction de racine suffit; tandis que, pour trouver b , il faut une opération toute particulière , qui sera en quelque sorte une septième opération de l'Arithmétique.
Or, si l'on applique à l'égalité a^ ssic
la propriété du numéro 9^6 , il vient. . . b. log a = log c;
d'où l'on déduit é = -Ï2Lf'
log a
c'est-à-dire que la valeur de b s'obtient par le moyen des logarithmes.
S77. Faisons quelques applications.
Supposons y dans l'égalité a^=c,a=3etc = 8i; elle devient 3* = 8i- d'où b = î^ .
log 3
Or, log 81 = 1,90849; log 3= 0,47712;
, , «>9o849 / , I donc ^ = -i^ — -î^=4-4-7 •
Négligeant la fraction y , qui est très petite et qui provient ici de ce que les logarithmes ne sont jamais exacts, ou trouve ft = 4» et en effet, on a 3^ =± 81.
