PREMIÈRE PARTIE

On est souvent conduit , dans les questions fl' Arithmétique (voyez la fin

(la 4* chapitre) à efi«ctaer des opérations dans lesquelles figure un asses grand nombre de cliiiFres décimaux, bien qu^il suffise, poar Tobjet qu'on se propose, d^obtcnir le résultat avec un nombre de décimales beaucoup moindre que n'en comportent les nombres sur lesquels on opère. Il est donc utile de faire connaître des méthodes. à Paide desquelles on puisse , sans être obligé d'exécuter les opérations en entier, obtenir les seuls chi£Pres décimaux dont on a besoin.

Méthode abrégée pour la Multiplication^ 2. Commençons par la multiplication, et prenons les deux nombres 34,^53467 et 5,4^^7» c» supposant qu'on veuille en obtenir le produit a 0,001 près»

L'artifice à employer consiste à ne tenir compte, dans les multiplications par les différens chi£Pres du multiplicateur , que des millièmes , ou des unités d'ordres supérieurs, c''est'à-dire des centièmes^ dixièmes y unités sim^ pleSf etc. Cependant, comme il suQSt de 10 dix^millièmes pour faire i mil^ lième , il est encore nécessaire d^avoir égard aux dix-millièmes que peuvent donner les produits partiels.

Diaprés ces premières observations, voici comment on doit opérer :

1712673 . dix-millièmes, - = H

On commence par écrire le chiffre des unités du multiplicateur sons le chiffre des dix-millièmes do multiplicande^ et l'on dispose les autres chiffires à la suite , en renversant l'ordre dans lequel ils étaient écrits; de sorte que le chiffre des dixièmes àa multiplicateur est nécessairement placé sous le chiffre des millièmes du multiplicande , le chiffre des centièmes sons le chiffre des centièmes, et ainsi de suite. Quant aux chiffres des dixàinesy centaines , etc., du multiplicateur, s'il en avait, ils seraient nécessairement placés sous les chiffres des cent^mUlièmes/ millionièmes , etc., du multiplicande. En un mot, chaque chiffre du multiplicateur est, par cette disposition, placé audessous du chiffre du multiplicande, dont le produit par celui du multiplicateur, donne des Jix' millièmes.

Cela posé , on multiplie d'^abord par le chiffre 5 du multiplicateur tous les chiffres du multiplicande, à partir du chiffre 4 qui correspond au chiffre 5^ et en négligeant le produit de 67 par 5, à l'exception des 3 unités de retenue que donne le produit de 6 par 5 , et qui expriment des dix'millièmes, puisque ce produit est 3o cent-millièmes. On obtient ainsi 1712673 dix'

38a HOTE

millièmes , que l'on éctit an-dcMoas des dcox fi^Ceors, après aToir aonligné ceux-ci.

Passant au chiffre 4 ^^ <Iixaines du mnlcipltcatenr , on molriplie par ce chiffre tont le malnpHcande, k partir du chiffre 3, et négligeant le produit de 467 par 4 » ^ l'exception de Vunité de retenue qoc donne 4 fois 4» parce que cecte unité exprime encore r dix-millième ; on obtient ainsi 1 37013 dix-millièmes, que Ton place au-dessous du premier produit, de manière que les derniers chiffipes se correspondent , comme exprimant tous denx des dix^millièmes.

On opère de la même manière par rapport aux autres chifires du multiplicateur, ayant soin de commencer chaque multiplication partielle au chiffre du multiplicande qui est placé immécUatetnent au-dessus du. chiffre multipUcatent que Von considère , et ajoutant seulement au produit les retenues fournies par le chiffre qui suit celui du multiplicande eatquel commence la multiplication.

On obtient ainsi les trois nouveaux produits 3u55i, 1037, ec 389 , que l*on pince au-dessous des précédents, de manière que les derniers chiffres à droite se correspondent.

On fait ensuite la somme de tous ces produits , ei il vient i87i5o3, nombre dont il faut séparer par une virgule quatre chiffres décimaux , puisqu'il doit exprimer des dix-millièmes.

Enfin , on barre le dernier chiffre , et Ton trouve 187, i5o pour le produit demandé, h 0,001 près.

Il est facile de vérifier ce résultat en effectuant la multiplication tont entière.

JY. B, — On pourrait croire, d'après ce pcocédé, que, comme on a, en apparence , tenu compte de tous les dix-millièmes que renferment les produits partiels, le cliiffre des dix-iniUièmes est lui-même exact; mais on se tromperait, car il est ordinairement trop faible de plusieurs unités. Cela tient à ce que la somme des unités de la colonne des cent-millièmes peat donner plusieurs unités de retenue. Toutefois, on doit regarder Terreur comme ne pouvant pas influer sur le chiffre des millièmes; car pour que cela fût, il faudrait que le multiplicateur fût composé^de éUx chiffres au moins, attendu que, d'après le procédé ci-dessus, l'erreur commise à chaque multiplication partielle est , en général , moindre que i dix-millième.

5* Au reste, on peut encore atténuer davantage les erreurs commises dans le cours du calcul, au moyen des modifications suivantes.

Toutes les fois qu'à la simple inspection des deux chiffres à droite du chifHre multiplicande auquel commence chaque multiplication partielle , on recon natt que le second des chiffres du produit de l'ensemble des deux chiffres dont nous venons de parler, par le chiffre multiplicateur, est égal ou supérieur k 5, on augmente ou Von force d'une unité le premier chiflî« à gauche de ce produit, pour l'ajouter ensuite au résultat de la multiplication partielle que l'on exécute.

Développons cette modification sur l'exemple déjà traité:

SUR I«ES APPROXIMATIONS NUXi^RIQUES. 363

Daii»la première muliiplioaûoa partielle, commele produit de67 parSdomie 33 po nr lea deux premiers chiffrée à gauche^ on se borne à ajouter 3 an pvod«kde 34,3534 par 5; ce qniddime 1713673 comme dansla première maniired'optfrer*

Mais, à la seconde mnltipUcation, comme le produit de PensemUe des deoz premiers chiffres, 4^, adroite dn chiffre 3, par le chiffre maltiplicatevr 4) cet 184, OBi ajonte 2 et non pas 1, au prodoit de 34*353 par ^ ee qui donne 17014 an lien de 137033, qne Ton avait obtenn dans le premier tableau.

Pareillement, le produit de 34'par6 éuni ao4, on ajonte si au lien de i au produit de 34«95 par 6j ce qui donne 9o55a au lien de ao55i.

On reconnaîtra de même qne les deux derniers produite doleent 4tre 101$ et u4o.

Additionnant Ica produits partiels, on obtient pour rësaliat 117,1507 au lien de ii7,i5o3.

Ce nouveau rësoltai prouve, en venu de ce qui a éU dit au n* i {note), que 1 t7,i5i est la valeur du produit k un demi-millième près, puisqnele chiifiu qui soit celai des millièmes est pins grand qne 5.

Appliquons le procéda et êCB modifications h on nouvel exemple*

4^oit proposé d'obtenir k 0,00001 près le prodidt des deux nombre» 763,05403(^8956 et 354,463o578?

Puiiqae Toa vcat qne Jet cinq premierf chiffre» dëcimans soient exacts, il faut tenir compte des millionièmes que peuvent donner les prodniu partiels. Ainsi, après avoir renversé Pordre des chi£Fres dn multiplicateur, on le place ao'dessons dn multiplicande, de manière qne le chiffre 4 de ses unités soit sont les millionièmes dn multiplicande; les autres cbi£Fres se placent alors d'eux mêmes dans Pnrdre prescrit précédemment; et Pon efièctne les multiplications en ayant égard, pour chaque chiffre dn mnliipltcatenr, à la retenue (modifiée ê*\i y a lieu) qne donne le produit de la partie négligée au multiplicande, par ce chiffre.

Dans cet exemple, on amorcé d'une unité chacune des retenues des i'*, 3*, 4*, 5* et 7* mnltipiications, pour la raison développée dans le premier exemple ; et comme le chiffre ùarré est plus grand qne 5, on peut conclure qne 194169^06347 exprime le produit en plus, à un demi^cent^millième près,

4. Première remarque. En réfléchissant sur la nature dn procédé abrégé de la multiplication , et des modifications indiquées an n? 5, il est facile de voirqn*ii chaque multiplication partielle, Terreur commise, tantôt en moins, tantôt en plus, est moindre que la moitié de l'unité de Tordre décimal qui snit celui auquel doit s'arrêter l'approximation. Donc, il faudrait an moins ao chiffres ap multiplicateur, pour que Pcrreor finale pût influer d'une unité seulement snr le dernier chiffre à droite , du prodoit approché.

Il y a plus; comme les erreurs partielles, commises en plus et en moins, se compensent jusqu'à un certain point , on peut presqu'affirmerquelc chiffre suivant ne diffère du véritable que d'une ou de deux unités au plus.

£n efl^toant la multiplication précédente d'après les règles ordinaires, on reconnaît, en effet, que le produit, jusqu'au chiffre décimal inclnsivement, est 19 {169, 0634^81. D'oh l'on voit, que le 6* chiffre décima) trouvé par la méthode abrégée ne diffère dn véritable que d'une unité. Ici, la somme des erreurs commises en moins a surpassé la somme des erreurs commises en plus.

1$, Seconde remarque. Une légère difficulté peut se présenter dans les applications; c'est lorsqu'on vent obtenir le résultat à moins d'une demi-unité d'un certain ordre décimal (vojrez la Note, n« i). Comme le chiffre barré peut être trop fort on trop faible de quelques unités , et qu'il peut arriver que ce chiffre soit pen différent de 5, <m ne sait pas si Ton doit prendre tel qu'il est, le chiffre jiuquel on a arrêté l'approximation, ou bien s'il y a lieu de Taugmcnter d'une unité. -

Dans ce cas , le seul moyen certain de résoudre la difficulté consiste à chercher le prodoit avec un chiffre de plus qu'on ne veut en avoir. Conmie, d'aprèscequi a été dit précédemment, ce chiffre est toujours exact, on prendra dam le produit obtenu, la partie h gauchede ce chiffre, ou cette partie augmentée d'une unité, suivant qu'il sera moindre que 5, on bien égal ou supérieur h 5.

Ainsi , qu'on veuille obtenir le produit, h un demi^ix*millième près par exemple , on opérer» comme si on voulait l'obtenir à un cent-^millième; et le chiffVo obtenu des cent^mil/ièmes indiquera s'il faut laisser le chiffre des dix^millièmes tel qu'il est , ou l'augmenter d'une nniié.

6. TVoîsiénta remarque. Il peut armer qoe le moItipItcaïKle n'aie pas assez de chiffres dëcimanx pour qn'on pnitie faire correspondre les chiffres des nnit«s, dizaines , centaines, etc., dn mnltiplicateor , ans chiffres soos lesquels la règle prescrit de les placer. Dans ce cas, on commence par ëcrire h la droite dn mnltiplicande nn nombre conTenable de zëros.

Soit^ par exemple y h muitipiier f8i5,4o37 par a{i7,i^, et supposons qu'on deaunde nn produit exact însqn'aux dix-^ndllièmeê inclasîyement.

365o8o74oooo cent^millihmes.

Comme il fant que le chiffre des unités dn moltîplicatenr corresponde an chiffre des cent^millièmes dn mnltiplicande, qne les dixaines, cen^ laines^ etc., correspondent aux millionièmes , dix-millionièmes f etc., on pose quatre zëros & la droite dn mnltiplicande ; et il vient 1835940370000. Du reste, l'opération s'effectue comme précédemment.

ISons engageons les commençanu & s'exercer sur les exemples de multiplication traités n«s 105 et suivants.

7. Enfin , la méthode précédente est applicahie à la multiplication de dens nomhres entiers , composés Tun et Tauue d'un assez grand nombre de chiffres, et dont on demanderait le produit, à une unité près d'un certain ordre.

t^oierat , par exemple , les deux nombres 979456 et 89764, dont on veut auoir le produit à vu million près.

223565 centaines de mille.

Arith. B,

386 ivoTi

Fuvr avoir va produit «xact jiiâqa'aiis miilion» incloahrcmant , il est nëctitaire de tf nir compte te centaineê de wMU npm peavent doniier !«• prod«ita pa^tielt. A>Aai» ^^oo écrira d'aboril le mnllipUcaieQr rent^ersé, a»desaow d^ midtipMeaDdia, de manière ^e le chiffre de ses uniÊés s oc placé tona le diil^ dw centaines de mille f le chîflPre de sea dixaines soos U chiiFie ômdlafninM de mille : et Ton c&cuwm l'opécation comme piécédemmeni. Oa oblinidra p«r ce mQjen ^SodS wûlUons pour le produit denandëXe rétnltateat trop fort, puiaqac tootealea retenues ont éié forcée» d*iinenni(é.

Méthode abrégée pour la division.

8. Il eiiste auisî , ponr la division de deux nombres composes d'an grand nombre de chiffres ^ an moyen pins simple qne le procède' ordinaire, d*obtenir le quotient avec an certain degrë d^approxlmatlon.

Nous considifreroas d'abord le cas oi^ la dÎTidenHeet le diviseur ëtant deux nombres entiers, ou voudrait obtenir le quotieiU k- nioins d'une unité près seulement : il sera facile ensuite d'en déduire te cas de denx fractions décimales.

La méthode que nous alloua exposer est fondée sur ce que , d'après le procédé ordinaire de la division, la détermination de chacnq des chiffres du quotient ne dépend le plus souvent que des deux ou trois premiers chiffres du dividende, et du premier ou (les denx premiers chiffres du diviseur; d'oh il résulte qu'on peut obtenir les véritables chiffres du quotient sans employer les derniers chiffres de chaque dividende partiel. Cela pose, voici en quoi consiste le procédé abrégé :

Supprime» sur la droite du dividende autant de chiffres moins deux, qu*H y en a dan» le diviseur; faites ensuite la division de la partie à gauche , par le diviseur , comme à ^ordinaire, SMl n'y a point de reste, melfes h la suite du quotient autant de téros que vous avez supprimé de chiffres dans le dividende. Mais s'il y a un reste, ainsi que cela arrive généralement, divise* ce reste, non pas par le même diviseur (ce qui n'est plus possible ) , mai> par le diviseur dont ^ous aurez supprimé le dernier chiffre h droite. Toutefois , dans la multiplication du nouveau diviseur par le chifiVe obtenu au quotient , ayez soin d'ajouter la retenue que donne le produit du chiffre supprimé, par le chiffre du quotient (en ayant égard h la modification indiquée au n* S). Divisez ensuite le nouveau reste par le diviseur précédent , dont vous aurez encore 4uppnmé le dernier chiffre à droite, ( Même observation que tout h l'heure, pour la multiplication du nouveau diviseur par le chiffre du quotient.) Continuez ainsi de diviser, en supprimant, à chaque dÂtnsimk, un chiffre sur la droite du diviseur ci arrêtez Popération quand il ne reste plus au diviseur qu'un chiffre non barré. Barrant alors le dernier chiffre obtenu an quotient, vous obtenez pour le quotient demandé, la partie à gauche du chiffre barré.

Pour nous rendre compte de ce procédé , nous allons prendre un exemple assez simple, et le traiter d'abord par le procédé ordinaire, ensuite d'après celui qui vient d'être énoncé.

Soit à iUtHsef 43o45(%6 par 56^3.

'èb^

4304568I46 5lig^

La division à gauche est faite diaprés I4S procède ordinaire, et il cctinntiie de 8''y arrêter ; occupons-nous seulement de la seconde.

Conformément h la règle, on se'pare deux chiffres sur la droite du divîilende , pnisqu'il y en a quatre dans le diviseur , et Fou divise la partie à gaache, 4304568, par 56*83, comme à fordinaire, ce ()ni donne pour quotient 757 , et pour reste îSSy.

Cela pose , on supprime le dernier chiffre 3 du divisenr , et Ton divise 253? par 568, ce qui donne 4 ponr quotient. On multiplie 568 par 4 en ajoutant uu produit l'unité de retenue que fournît le produit id du ehiffre supprime par 4, et Pon retranche le rc'snltat 2273 de cette multiplication, de a537 , il vient pour reste ^4*

Supprimant le chiffre 8 dans le dernier diviseur, et divisant 364 par 56, on obtient 4 pour quotient. Multipliant 56 par 4» «tAJontant au produit les 3 unités qui proviennent de la multiplication des deux chiffres supprimés ^ par 4, on trouve 317 , qui , retranché de 364, donne pour reste 37.

Divisant enfin 37 par 5 , on a pour quotient 7 j ce chiffre est trop fort, car en mettant 7 » on serait (5bndnit à retrancher 5 X 7+5, on 40 de 37. On écrit donc le chiffire*6. Barrant alors ce decûier chiffre , on trouve , à une unité près f 75744 pour le quotient demande'. (Nous parlerons tout à Thenre du chiffre barré. )

En comparant les deux opérations cî-dessns, on reconnaît que les deux 00 trois premiers chiffres sont les mêmes dans chaque dirisioi^ partielle, eC par conséquent, que les chiffres du quotient doivent être les mêmes dans i*nne et fautre; mais, dans le» muitipiieaCioflS par les diffi6renl>chiflipesdu quotient, il ne ftnR inaai» oublier dfavoiv reeovrrs aux ttiodilleaiioB* du n* 8; au tivuKin , es pÉJgvîen tf r a ii h des revtes trop fercs qui poortaîeQTdoaner an qnecienc dfctc b i ftti smpéée&tm an véritables.

9. i^. B. — Comme dans Texemple ci -dessus, le premier chiffre & gauche <te la partie supprimée an dividende est moindre que 5; on peut conclnre que le reste ^537 est trop (aible de moins d*nne demi-unité de Tordre du chiffre 7. Si le chiffre à gauche dont nous venons de parl'er était 5 on supé' rieur \ 5, il conviendrait d^ancmenier d'une nnilé le derqîer chiffre à droite delà partie conservée au dividende; et alors le nouveau dividende se trouverait *Qgmenté de moi'iu d^une demi-unité de Tordre de ceefiiAe h droits.