HOTE

D^ua ■atfecAtA, en vcrtn des moditications dn n^S» chacun des dmdendet partiels des opérations sohrantes est nécessairement augmenté on diminué en moins dPune demi'unité âa même ordre.

Tontes ces erreurs, les anet en plus, les autres en moins^ se compensent en grande partie. Mats, dans tons les cas, on peut affirmer que la limite de Terreur totale commise soit en pluSf soit en moiks sur le dernier dividende partiel que Ton a obtenu eu barrant suoccssÎTement tons les chifires du diviseur moins le premier, est marquée par autant de demi-unités dePotdre du premier chiffre à droite de la partie supprimée an dividende, que l'on a fait d'opérations partielles d'après le procédé abrégé.

En divisant cette limite par le premier chilFre à gauche du diviseur, on obtient pour quotient le nombre d'unités dont le chiffre barré du quotient de la division totale peut être tropjort ou trop faible.

On voit, d'après cela, qu*il faudrait que le nombre des divisions partielles effectuées d'après la méthode abrégée fAt très-considérable (au moins égal à 9o), pour quMI y eftt à craindre une seule unité d'erreur sar le chiffre qui précède le chiffre barré.

Soit t pour second exemple |iÀ ditnser 54034705G789045 par 9786459.

540347056718904^ \^'^mii

25oo4

Après avoir séparé cinq chiffe sur la droite du dividende ( ç^est-è-dire deux de moins qu'il n'y eu a dans le diviseur) , on divise la partie à gsochs par le diviseur tout entier, ce qui donne le quotient igSg» et le reste 5^656. Ici le dernier chiffre est augmenté d'une unité pour la raison énoncée plus haut au n* 8.)

Cela fait, on supprime le dernier chiffre g du diviseur, et l'on divise 5^6567 par 378645 \ on obtient le quotient > et le reste 247931 que Ton divise par 37864 ; il vient pour nouveau quotient 8 , et pour nouveau reste 35oo4» qu'on divise par 37H6 ; et ainsi de suite, jusqu^à ce qu'ion soit parveno an reste 9 qui, divisé par 3, donne pour quotient 3(4 serait trop fort). On barre le chiffre 3, et Ton obtient 1 98918897 pour le quotient demsodc.

SDK LÉS APPROICIUATIONS NUMÉRIQUES. 3^9

10. Memarquc, -^ Si , aa commencement de Topera tion , quand on a •appriroé sur la droite dn dividende les chiffres que la règle prescrit, la partie à ganche ne contient pas le diviseur , on supprime tout de suite à in droite du diviseur le nombre de chiffres nécessaire pour que le nou^ ueau diinseur soit contenu dans cette partie h gauche du dividende*

Soit 2i divii>er 30564897 par 67864.

Gomme, après la séparation des trois derniers chiffres adroite dn dividende la partie à gauche, So564f'ou plutôt SgSôS, ne contient pas le diviseur, on supprime le dernier chiffre du diviseur, puis on divise 3o565 par 67)6, ce qui donne pour quotient 4 y et pour reste 3619, sur lequel on opère comme précédemment.

11. If ons pouvons maiutenanl établir le procétlé qui convient au cas oh, les deux nombres étant des fractions décimales , on démande le quotient avec nn certain degré d'approximation « par exemple à moins d*im millième ^ d'un dix^millième , etc.

Commencez par ramener la ditfision à celle de deux nombres entiers diaprés la règle du numéro 90; écrivez ensuite h la droite du dividende autant de zéros que vous voulez avoir de chiffres décimaux au quotient y faites la division d'après la règle (Note, n* 8} ; séparez enfin vers la droite du quotient le nombre de chiffres décimaux demandé , plus un^ et effacez le dernier chiffre.

Premier exemple. — On demandcf à moins de 0,001 près y le quotient do i«34,5fi9P«''a7»35894,

^■^nSf^^

i4oaii

J*éciis d'abord deux zcroi à la droite du divideode, (*n supptiiuant la virgule de part et d^aulrc , ce qui donne iiS^SCigoo à diviser par a7358g4.

3gO HOTE

EasDÎtCy comme on me demanda trois chiffres décimeuz au quotient, j'ceris trois ooufeanz s^roe à la droite dn dividende, c'eit-l^-dire qne je divise 193456900000 par «735894 y et jecliercfie le quotient -à voîna d'une unité près* Je trouve 45ia4 9 ™''* comme, on ëcfîvant trois nonreanx ziéros à la droite dn dividende , je Tai rendu 1000 fois trop grand, il fane, pour ramener le quotient à sa Jaste valeur, que je sépare 3 chiffres décimaux sur la droite; et jVbtieus enfin 45,i34 pour le quotient demandé.

iV« J?. — Dans cet exemple, la limite (en plus ou en moins) de Terreur commise sur le chiffre barré du quotient, est | : 3, on f-, d'après ce qui a été dit au n» 9; ce qui prouve que ]a vraie valeur du chiffre barré est supérieure à 5. Donc 45| 1 a5 exprime le quotient à un demi-millième près.

On peut, du reste , appliquer à la recherche d'un quotient à nue demi-unité prèSf d'un certain ordre décimal , la règle qui a été prescrite au n9 H pour la multiplication :

Cherchez un chiffre décimal de plus que ne l'indiquait d'abord l'énoncé ; et suivant que l'avant-dernier chiffjrescra mom<fre que 5, égal 00 supérieur k 5, vous prendres la partie à gauche telle qu'elle sera, on celte même partie augmentée d'une unité pour le résnlut demandé.

Second exemple. -— On veut avoir, a moins de 0,0001 préf, le quotient de aag, 47o3568 divisé par 7 ,3594 .

3iil8ô^

Comme il fendrait, en vertu de ee qui a été dit pins haut, écrire d'abord trois xéros à la droite du diviseur, puis quatre à la droite du dividende, tont se réduit à en poser un seul & la droite de celui-ci, en supprimant la rirgule de part et d'autre, c'est-à-dire à diviser aa947o3568o par 73594-

On trouve ainsi pour premier résultat, 3i 1806. Donc 3f ,1806 est Je quotient demandé.

Méthode abrégée pour r extraction de la racine carrée*

iS. Tontes les fois qu'on a obtenu plus de la moitié du nombre des chiffîei que doit renfermer une racine carrée, on peut, an moyen d'une simple division , trouver tous les antres chiffres.

Désignons en effet par N le nombre dont on demande la racine carrée; e( supposons que cette racine doive renfermer (m + i) chiffres. Appelons a la

SUR LES APFaOXmATl'ÔNS NUMiBlQUES. Sgt

vakar rdatÎTe de la partie repréieotée par Ica (a*4- i) pvMBÎect chiffrei à gauche de cette racine i et b la partie exprimée par les n ehifflree saitanu, partie qu'il «'agit de détermiaer.

Oaal'^aliuf M es (it^è)*ss «• H-«a^'f &*;

fPoii , retrattobeii ta* dea deux membnet , N ^- a* ss ^ah + 5» , ou , divisant par %ay

' ■ = à ^ — • 9a aa

Cela pose, puisque, par hypothèse, b ne reaferme qae a ebiffires, om a nëcessairement b ^ lo", et par conséquent b* ^lo**.

D'un antre c6te', le nombre exprime par a se composant de (ara + i) cliifiVes dont les n derniers h droite sont des zéros, il en re'sulte

A, et à plus forte raison, Ta > lo**. Donc — - csi une fraction proprement dite ; ainsi, d'après la dernière éga-

BJ — a« litc ci-dessus , le quotient exprimé par *• , est en excès sur &, dVneqnan^

tité moindre qae Tunilé. On est ainsi conduit à la règle suiTanle : Après avoir obtenu plus de la moitié dn nombre des chilFres de la racine

carrée, il suffit ^ ponr obtenir les antres chiffres, de ditnier le reste N — a*

auquel on est parvenu ^ par le double de la racine déjà trouvée , eonsi"

dérée auee sa valeur relative.

Soit , ponr premier exemple , k extraire la racine carrée de 4735678956 à

moins d'une unité près ?

Cherchons d^abord les trois premiers chiffres d'après le procédé ordinaite.

( roye* le n» 179.)

H vient pour cette première partie de la racine, 688, et ponr reste, M38966 qu'il faut maintenatit, en Tcrta ée fa règle ci-dcssas , diviset par le double de 686 considéré arec sa Talenr relatiTC, c'est-^dire par '37600.

iia partie entière d« qnotknt étant 16, on en conclut que<S86ii> est la racine demandée, k moins (Terne «ni'eé près.

En effet, si Ton élè?« 68816 an carré, on obiMnt le prodaH 473564i856' qui, retranché dn nombre propoM» , donne nnreaie, 37100, moindre que le double de 68816 aDgmenté d'nnc unité. ( Fôjez n» 177. )

[Comme ce reste est pins peUt que la racine obtenue, 68816, on peut même affirmer (Note, n* I) qu'eUe est exacte à moins d'une demi-unUé près.

Le reste Syioo peut être obtenu plus promptement que par rélëration de 68816 an carri^. En effet, comme, en retranchant le cari^ de 688 du nombre proposif , on a obtenu le reste i!iS8956 , U suffit de faire le double produit de 688 suiidde nsus aiaos, par 16, puU U carré de 16, et de reiranehmr U somme de cet deux parties , de a938c)56.

15. Sopposona actoelkment qu'on Teoille évaluer en décimales la fraction qui doit être ajoutée à 68816$ il faut, conformément à ce qui a été du »• 185 , écrins Ua suite du reste 37100, obus fois autant de zéros que Ton ^wit avoir 4e chiffres décimaux, et continuer Topération comme h Tordinmre. MaU c'est ici que la méthode abrégée peut leceroir une grande exiensiou.

En effet, pour obtenir quatre chiffres décimaux ( puisque hi racine obtenue a di^à cinq chiffreO, H «dBt de diviser 37100 suivi de huit zéitM par le double de 68816, ou i3763a, suivi de quatre séroa, on ce qui revient an mime, 371000000 par i3763a; et de plus, comme on cherche ce quotient ^ «ne nmié près, la règle de la division abrégée est applicable.

37100 0000 I Z^llfZ

i3rf

On obdent ainsi pour quotient afigS. Ainsi , 68816,^695 exprime la racine cmrrée du nombre proposé , à moins de 0,0001 près.

Une nouvelle division donnerait hnit chil&es décimaux de plus ^ mais U faudrait d'abord obtenir ia diférmee qui existe entre le nombre propose, snivî de huit xéros, et le cane de'688i6a6g5. Or, comme on a dqà trouve 37100 pour le reste précédent, il sullicait de faire le double produit de 68S160000 par 3695, pois le ctfrre de 1695, et de retrancher la somme de ces deux parties^ de 37100 suitd de mnn eéros ; ce qui serait beanooop pins simple que si Ton élevait 688162595 an cane.

Cette soostraction esc d'ailleurs indispensabie pour la vérification des

caknis : car on a vu plus haut i* que donne un quotient par

cane^; »»qneremploi du procédéabr^de ladivision pent donner aussi (Note ' n* 9) un quotient par excès. Ainsi, pour cette donUe raison, il est possible qac

SUR LES APPROXlMATrONS NUKÉRIQUES. SgS

le dernier chiffre trouv<$ h la racine soit trop fort d'une ou de deux unîtes ^ ce qu'on reconnaît à rimpossibiliié de faire la touitractîon. On sait d'ail* lenrs comment y le dernier chiffre étant reconnu trop fort, on peut le rame* ner à sa insts Taleor.

14. lïoos présenterons pour second exemple le tableau des calculs relatifs h Vétfaluation de ^2 en décimales»

t • • application du procédé ordinaire.

lO. O

a«. • r •• Détermination des deux chères suivants par la dU^ision»

La racine ^ à moine de o ,0001 près, est iy4>4^* 3*. • . . • • Détermination du nouveau reste.

ebréf^ée.

Produit de 28200 par 42=1 i844o<'

carré de ^% :^ 1764

somme = 1 186164 à retrancher de 1 190000

diffërence.... = 3836

Détermination des <^uatre chiffres iuit^ants par la dipîêtim

La fa«iney k moins de 0,00000001 près, est \ fl^\\i\'iS6*

3t)4 NOTS

5* DéUrmination du nout^eau reste.

Produit de a&i84oooo par i3S6 ssc 38353 1040000

carré de i356 = 1 838736

somme». •. = 383533878736

à retrancher de 3836oôoooooo

diffi^rence. . . =: 67121264

6* Détermination de$ avit chijfres suivante parla div^ision abré"

gée, ( On a •upprimé sept tiroê au dividende , comme inutilei . )

671212640 I zXzS^^iz

La racine, à moina de o,oooooodoodoooooi près, cit

Pour obtenir les 16 chifiVeasaiTaiitoj il faudrait d^abord calculer le nouveau reste d'après la méthode indiquée plus haut , pour diviser le reste suivi d^ua nombre convenable de zéros par le double de la partie déjh trouvée à la racine. Et ainsi de suite.

Toutefois, dans«ette opération etdantctlles<|ui viendraient après, il conviendrait de ne pas tenir compte du dernier ou des deux derniers chiffres ii droite , en vertu de ce qui a été dit au n* 9 de hi Noie.

15. La règle abrégée de Pextraccion de la racine carrée peut être ctcniiuc an cas de la racine cubique.

En effet , la formule N :£= (a 4- &)' = a* + 3a!^b 4- 3«^« -f 0*,

donne N ^ a^±±i3a*b -h ^ab* + 6*,

ou , en divisant les deux membres par 3a*,

- Or , en supposant que la racine cubique de N doive renfermer (an-f i] chiffres , et que a ém^ne k valeur relative des ( a 4* O' pmnieni émttt k

SUR LES APPROXIMATIONS NUMÉRIQUES. 3o5

ilroiie de cette racine, b celle de«/i derniers , on a nëceMairement ^ ^ lo* et par consëqoent 6* < lo*», 5* < lo'"*

D*un autre c6l<f, l'on a a>io*% d'où 4*, et à pins forte raison, 3a»>îo<».

Oa Ycit donc» 1*. que -*- est nne fraction ; a*, que «-^ est oae autre frac»

lion moindre qoe —, et dont la valeur ne peut avoir qa*un« ttèsjkihlem*

fiuenoe sur la partie entière dn quotient de la division de N — a* par 3a*. D*oii résulte cette règle : quand on a trouvé plus de la moitié du nombre des chiffres d'une racine cubique , il suffit , pour obtenir les chiffres snîvants, de dîuisér la différence entre le nombre proposé et le cube de la racine déjà obtenue f prise avec sa valeur relative , par le triple carré de cette même racine. Mais nous n'insisterons pas sur les applications de cette règle qai n*est guère d'usage.