DEUXIEME PARTIE

16. Joaqu'^ici , nous avons supposé que les nombres donnes e'taicnt eiacts, et que le résultat cherché devait être obtenu avec nu degré d'approximation déterminé d^avance, condition qn*il est lonjonrs possible de remplir. Actuellement, nous allons supposer que les nombres donnés oe soient eux-mêmes qu'approximatif; et dans cette hypoibèsc, il s^Qgit de déterminer à priori le maximum du degré d'approximation qu'on peut obtenir pour le résultat «des opérations à effectuer.

La résolution de cette question, telle que nous venons de la poser, est indispeOMibie dans beaucoup de cas, par exemple lorsqu'on a k opérer sur des logarithmes, ces sortes de nombres n'étant exacts, comme nous l'avons expliqué dans leur théorie, que jusqu'à un certain ordre décimal déterminé.

Commençons par Vaddition et la soustraction.

Pour fixer les idées , supposons que, dans une opération analogue à celle de la page36i , 3»* exemple, on ait été conduit h ajouter entre eux a$ logarithmes ou compléments de logarithmes (n* 268 ) , et que le résultat de cette opération ait donné 6,94168, logarithme auquel il s^agii maintenant de chercher le nombre correspondant.

Or, ebacun des xS logarithmes ajoutés, étant ou pouvant être en erreur d'une quantité qui est susceptible 'de s'élever jusqn'*^ une demiunité on dernier ordre, il s'ensuit qu'on peut avoir h craindre sur la somme totale, nue erreur susceptible de s'élever jusqu'à la ou t'6 unités dn dernier ordre. Ainsi , non-seulement on ne doit avoir aucun égard à la différence qui existe entre le logarithme ci-dessus et le logaritUne immédiatement inférieur de la table (et cette conséquence aurait eiicoce lieu quand bien même la différence tabulaire serait plus grande que 10, voye» le iV. B, du n* 5166, page 35ft)| mais en outre, comme on n'a aucun moyen de décider quel est le véritable chiffre des unités dn 4"* ordie

ScjB NOTE

do nombM cbciclic, on doit le conicnter de dtre 4^^ eu notiibie c»t

8760000 à une dixaine dû nulle près.

L'exemple précédent suffit pour montrer ce qu*il y aurait à faire dans loa» les caf aembâables; et nous n^insisterons pas davantage sur ce points

17. Avant de passer aux antres opérations de Parithmétique , nous ferons connaître sur la muitiplication un nouveau principe dont nous, asrona ooeMÎon de faire usage.

Soient, en gdnëral, deux nombres entiers a et 6 composés l'un de m chiffres, Tautre de n chiffres; appelons P leur produit, et proposons» nous de déterminer le nombre des chifiVes de ce produit.

D'abord, puisqu'on a <i ^ 10" mais ^ 10"-

ci 6 < 10* mais > lo»-*, il en résulte (n» IIH} P, 00 ab < io«-«"" mais > io»-»-"->i

ce qui fait voir déjà que le nombre des chifik<es du produit P est an plus égal à fit -t- riy et au moins égal à im 4- n— i*

Il s^agit maintenant de savoir dans quel cas on aura m -f- a chif te^, et dans quel cas on en aura m-i^n.'-^ 1 .

Pour y parvenir, considérons P comme un dividende , et a comme un diviseur; le nombre b qui, par hypothèse, renferme n chiffires, sera le quotient. Or, dans la division de P par a , il peut arriver deux cas : on les iM premiers chiffres à gauche du produit P forment uu nombre au moins égal à «; on bien, ils forment un nombre p]n# petit qnç a.

Dans le premier cas, comme le premier dividende partiel contient m chiffres, et que chaque nouveau chiffire abaissé au dividende doit donner un nouveau chiffre du quotient qui est composé de n chiffires, i' faut nécessairement que le nombre des chiffres du dividende P soit m ..f. n — I. {f^oir la note au bas delà p. 53.)

Dans le second, il sera m-|*i"f-n^i, on m-|*n.

Remarquons d'ailleurs que ce qui vient d'être dit sur a, considéré comme diviseur, aurait également lieu si Ton prenait b pour diviseur.

Concluons de Ih que , dans toute multiplication de deux facteurs , Ton de m chiffres, l'autre de n chiffîes , le nombre total des chiffres du pror duit esif m -4- n — 1 ,0K m 4- Hf suivant que l'un quelconque des facteurs est ou n'est pas contenu dans la partie a gauche du produitf prise avec autant de chiffres qu'il jr en a dans le facteur que l'on compare au produit.

18. Cela posé , passons à la multiplication ; et pour simplifier la question, considérons d'abord le.casoii l'on aurait à multiplier l'un par l'autre denx nombres exprimant des unités entières : il sera facile ensuite d'en déduire le cas de deux fractions décimales , puisque leur multiplication se ramène jicellededenx nombres entiers par une simple transposition de la virgule.

Prenons, pour plus de généralité, deux nombres entiers composes, Tun (le m chiffres l'antre de n chiffres (m étant > n), et tous les deni

SUR LES APPROXIMATIONS mJMÉRîQUES. 897

fautifs d'une denii-anité du premier ordre (en plus ou en moins) {*), li est clair , d'après les règles ordinaires de la multiplication ("**), que le produit total peut être en erreur:

1* De la moitié' de tout le multiplicande ^ et cette erreur est généralement exprimée par un nombre m de chiffres; — a«de la moitié' de tout le miUtiplicatenr; et cette erreur est représente^ par un nombre n de

chiffres; — 3o du prodoit ~ X i , ou 7. (Les deux dernières erreurs peuvent être négligées relativement à la première , d'après rhjpoihèse m > it.).

D'oik l'on peut conclure que les m derniers chiffres à droite du produit sont ou peuvent être fautifs.

Ainsi 9 dans toute multiplication de deux nombres entiers dont le dernier chiffre à droite est en erreur d'une demi'unité^, le produit peut auoir autant de chiffres fautifs h droite, que le nombre le plus grand contient de chiffres.

lo*"

L'erreur commise est moindre que — si l'on a m > n ; mais la limite de cette erreur est lo*" quand on a m = n.

19. Lorsque, des deux facteurs donnés, Tan est exact et l'autre est fautif d'une demi-unité dn premier ordre, le nombre des chiffres Jau" tifs du produit est égal au nombre des chiffres du facteur exact, puisque l'erreur commise est, en général, estimée par la moitié de ce facteur.

' Faisons quelques applications; et soient, pour premier exemple, les deux nombres 87664219 et 64337.

L'erreur commise dans cette multiplication peat être ^éralnée de la ma» nière suivante :

lO. 87564919 X - = 4378^109 -i a*. 643^7 X - = 3iî63 - > = 43814^73^,

{*) Pour déterminer les chiffres du produit sur lesquels il ne peut j avoir d^ncertitude , on pourrait multiplier les nombres proposés, après les at>oir alternativement augmentés et diminués d'une demirunité de l'ordre du dernier chiffre h droite , et prendre ensuite les chiffres communs aux deux résultats. Mais cette manière d'opérer serait beancoopp trop longue, et l'on arrive aussi si^rement an même bot par une médiode pins shnpie que nous allons exposer.

i*'*) En appelant a et b les denx nombres donnés, dz e, :izfÏ€» deux erreurs commises, on a (n« ilH)

(a tte){bztf):szab± af± be * ef.

3g8 NOTE

nombre compoM) <)e huit chiffl-es. Atmi, cUns le produit total, les ehiffrck qui suivent lei centaines de millions doivent être ni^liges coaine étant ge'nc'ralement faniîia; et la partie à gaoche exprime aWs le produit, à moins d^nne demi-eentaine de millions ptèt.

On doit donc, daui cet exemple, ae dispenser de faire la nnihiplicaiion en entier , et se borner h évaluer (Note , n* 7) le produit k nne unité près de Tordre des centaines de millions,

Le résultat 56397, considéré comme représentant des millions, exprime b valeur du produit cherehé , k moine di^Dlne dmmi-eentaine de nèilUons près , ainsi qu*on peut s'en assurer en effectuant la raultiplicntion en entier.

Soit, pour second exemple, à multiplier 33,47o5<»3 p«F&,7o345« clia* eim de ces membres étant fanûf de moine dfuno demé^nnité de l'ordre du dernier chi&e décimal*

On devrait d*abord (no 89) faire abstraction de la virgule, puis, apris avoir effectué la multiplication, séparer onze chiffres décimaux vers la droite. Mais, en vertu de ce qui a été dit (Note, n« 18), on doit considérer comme fautifs les huit derniers chiffres du produit; ainsi, le rétaltat ne saurait être exact qu'à moins de un demir-millième près. La question est donc ramenée à évaluer le produit des deux fractions décimales à un

illième près.

SUR LES APPROXIMATIONS NTIMéllIQUES. 3^9

Le produit eit a8ii»6o6 h un dmmi^millième prêt. Soit, pour troisième exemple f à moltiplicr

0,000 io83 par o,o5836.

D*abord, W prodait doit (n* 88) rtniermer 7 -t* 5, on 19 ehifflcci décimaux; mais commet en ▼erm< da nnmaffo prëoMoit » les tfuatre derniers chiffres dcciinanx sont iimmcu, U s'enanic qne ce prodnic ponrra être calenlë avec huU chiffres décimauv; et le dernier clûJirc à droite ne sera en erreur qne d'une^ deaU^nitéf ou toat an pfaia f|«e tPune unité de IVirdre (le ce cbi0re*

On obtient ainû par la m<ftbode abrégée ( Note, n* 5) , o,ooooo63!i ponr la Taleur do produit demandé.

90. Jtemar^ue.— Le principe établi (Note, n* 17) sur le nombre total lies chiffres d'wa produit, donne lieu h un Qouvel énoncé de la règle relative à la multiplication de deux nombres approaimatifik

Puisque , dans un produit de deux facteurs , l'ua de m chiffres , l'an* tre de n chiffres, le nombre total des chiffres ettiis-|*n—- VyOomH^/i,, et que, dans Thypothèse oh le dernier chiffire de chaqne facteur n'est qu'approximatif, le nombre des chiffres du produit qui doivent être exclus, comme étant généralement fautifs, est (Note, fi9 18) exprimé par m (m étant au moins égal an), il s'ensuit nécessairement que le nomhre des chfjfres du produit sur lesquels on peut compter 9 est (n — i) ou n iuivant que l'un quelconque des facteurs est ou n'est pas contenu dans la partie à gauche du produit^ prise avec autant de chiffres qu'il y en a dans le facteur que l'on compare au produit

Lorsque, des deux facteurs donnés, celui de m chiffres est exact, et que l^lutre est feintif d'une demi'unité de l'ordre du dernier chifirc à droite, le nombre des chiffres du produit sur lesquels on peut compter est encore (n «— i) ou n , puisque celui des chiffres fautifs est CNote «• 17) représenté par m.

Ce nouvel énoncé oe peut, en général , servir b priori pour la muliiplication;-car, avant de prononcer si le nombre des chiffres dont on doit tenir compte dans le produit, est (a -— i) ou n, il faut connaître les pcemievt chiffres à gauche de ce produit. Mais on conçoit qu'il nous sera d'an très grand seconrs dans la division oii le produit est donné a priori ainsi qoe l\m dte facteurs.

%i* JOwfê la diffi^n. des nombre» approumaltf», on peut faire troî* hypothèses : Ou le dividende seul est approxinuuifj Vt diviseur étanr exact Y ou le diviseur seul eaC appvoaimatiff le dividende étant cmei ^ ou bien enfin, le dividende qt le diviseur sont tous les- deux approxi" motifs-

PaEMi&RB BTPOTHksE. — Considcrous d'abord deux nombres entiers dont U premier seul (le dividende) soit supposé en erreur ci'uite demi^unité de

4oO NOTE

Tonlre (Ici unU4ff fimplct; et concevoAt qac le quotient de lenr division ail été dc^reloppe' en nn nombre ind<$fini de chiflEVct dëcimaox, d^oprèi lo procddé conna.

Appelonf m le nombre des chiffres da diviseur, n le nombre des chiffres da qttotiont ( à partir da premier chiffre significatif h gaaebe ) snr rexactitode desquels on pent compter, eu raison de Pefrear qni se VooYe au diTÎdeode, et p le nombre total des chiUVes da dividende qni ont été employas à la détermination des n chiffres dn quotient. Ce nombre p peatltre dilcomposc en denx parties p*, p*^ dont la première à gauche est le nombre des chiffres du dividende primitif, et la seconde, celai des zëros qa*oa a été oblige d'écrire à Ir droite de ce dividende primitif; en sorte que Ton a

pszp'^h p'-

Cela pose', si, du dividende dont le nombre des chiffres est p, Ton retranche le reste correspondant an n""« chifl^é du quotient (lequel reste nepeat avoir que m ehiffres au pips), la diffiifrence, composée également de p chifires, est égale au produit des m chiffres du diviseur par les n chiJKres da quotient; et l'on a, en vertu dn principe établi (Note, n* 17),

^'4-p*= »»■♦•» — 1, ou ^-f-p'ss m+n,

soivant que les m chiffres du diviseur sont ou ne sont pas contenus dans les m premiers chiffres k gauche du dividende.

Or, paisque le diviseur esc supposé un facteur exact, il sVnsuit (n* 17) que le nombre total des chiffres fautifs dn produit du diviseur par le qnotient, est exprimé par m.'D^ailIcurs, il est aussi représenté par p" ^t, puisque, par hypothèse, le dernier chiffre du dividende primitif est inexact, et que les chiffres suivants, en nombre p% sont eux-mêmes inexacts^ On a donc m =s //' -|- i ; ce qui donne par la substitution de cette valeur de m dans les deux relations précédentes,

|/= l-f"» — irrii, d'oîl nszf/f

ou bien p* sz i -^n^ d'ob n=p'^i.

Concluons de là que le nombre des ehijfres du {fuotient sur lesquels

on peut compter, est égal au nombre des ehifres du dividende pro*

posé, ou h ce nombre moixs vn, suivant que le diviseur est ou n'est

^ p0s contenu dans les m premiers chiffres du dividende {h partir du |ire-

roier chiffre significatif à gauche).