Développons cette règle, sur des exemples

Soit) en prcfnier lieu, à diviser 8745687 par 5638; le diviseur étant exact, et le dernier chiffre à droite du dividende étant ou pouvant être en erreur d'une demi'unité.

Comme le diviseur n*est pas contenu dans les quatre premiers chiffres

hgaadie du lUvidendc , cl que celui-ci renferme ^«/yX chiffres, il s'ensuit que, dans l'opération, Ton pourra ici^ir compte des .fix premiers chiffre» h gauche du quotient. D'aUlcuri», il est eTÛIcnl que la partie entière de ce qnoticnt doit renfermer trois chiSi-es. Donc le qqotient pcui être calcule h 0,001 pris.

Le quotient cherche est 664,364 ^ moins de un demi-millième près.

On voit, en efict, que le dernier chiffre du dividende propose étant

fautif d*une demi-unité simple, et le diviseur étant plus grand que 1000,

I erreur commise est moindre que .

Il y a plus, comme le double de 5638 surpasse 10000, ok pourrait pousser ropération jusqu'aux loooo"^'; et Ton aurait la valeur du qnrtient h moins de un dix-millicme près. Mais cette circonstance n'est qu'accidentelle, et l'on ne doit jamais compter que sur les chiffres donne's par la règle précédente.

Soit, pour nou\'el exemple^ à diviser 873 par 3765847» Puisque le dividende a trois chiffres, et que le diviseur, qui en a sept, est contenu dans 8730000, il s'ensuit que le nombre des cliîffres du quotient dont il est permis de tenir compte, est trois. D'un antre cAte, comme on doit, pour commencer la division, écrire quatre zéros à la droite da dividende, il faut que le chiffre des unités et les trois prenûert chiffres décimaux soient des zéros. Le dernier chiffre il droite exprime donc des millionièmes.

On trouve ainsi pour résultat o,oooa3'A à «n demi-mUtioMièma {Hès*

Prenons, pour troisième exemple ^ 37,5 k diviser par 0,3983. Le di* vidende ayant trois chiffres, et le divisenr, abstraction faite de h virgule, étant contenu dans les quatre premiers chiffres du dividende, il s'ensuit qne l'on pourra tenir compte de trois chiffres au quotient. D'un autre côté, comme la division des deux nombres proposés revient à celle de 375000 par 3983, qui donne trois chiffres pour la partie entière du quotient, il en résulte que le quotient demandé ne peut être obtenu an plus, qu'à moins d'une demi-unité près.

En divisant 375000 par 2983, on obtient ia6 pour résultat; et il n'eit pas permis de pousser plus loin l'opération.

Arith, B, 26

4oa ffOTc

iV. if. -^ Dans cet ctemple^conmerop^ration a été ramenée & la divisîoo de 376000 par 3988, et qne le divifeor sorpaaie 1000, on poorraii croire qoe Perrrar eommiiie ao qnotîent, doit^tre moindre qoeo,oof. maie obtenrooa que, pour ramener la dÎTiaion à cet étal, il a falln malliplier 37,5 par 10000 , on 87$ par 1000$ donc Terrenr dn dernier chiiFre 5 a été elle-même multiplia par 1000; et l'on peut aenlement affirmer qoe rerrear commiae an quotient est moindre qne la moitié de 0,001 X looo, on moindre qu'une demirwmité de Tordre des entière.

fis* DsvxiiMB HTFOTBàst.— Soient A eta denx nombrea entien à di?iser l'nn par Tantre, m le nombre des chiffres dn diviaenr a , dont le dernier à droite peut être fautif d*nne demi-unité (eit plus ou en moins), Proposon*noua d'aboid de déterminer une limite de Terreur commise quand on calcule avec un certain nombre de chiffres le quotient q*

On a éridemment f on — ^ , mais > — ; d'où , en désignaet

par e Terrenr commise quand on prend soit , soit

leur de 7,

expression qne l'on peut mettre sous la forme

e < ou e < ^ ■ .

Ce résultat démontre que l'erreur n'influera pas d'une unité sor le dernier chiffre du quotient, tant que l'on aura 7^ a. Or, pour que cela soit, il faut premièrement que le quotient cherché ne renferme pas plus de m chifirea ; en second lieu y le plus grand nombre de chiffres que l'on puisse placer au quotient de manière à satisfaire à cette condition sera nt on (m — 1), suivant qne les m premiers chiffres de ce quotient formeront nn nombre pins petit ou pins grand que les m chiffres dn diviseur.

Condaons de là généralement que , tontes les fois qoe le diviseur est approximatif, le dividende étant exact, le nombre des chiffres du quotient sur lesquels on peut compter^ est égal au nombre des chiffres du diviseur^ ou à ce nombre moixs uv , suiuant que les m chiffres obtenus au quotient forment un nombre plus petit ou plus grand que le diviseur.

Appliquons celte règle li quelques exemples. Soit, ponr premier exemple à diviser 547 par 876g.

Comme le premier chiffre à gauche du quotient doit être nn 6, il s'ensoit

^UR LES APPROXIMaHONÇ I^UU^RIQUES. 4^3

Hccesssiî renient qu« les qutCre prcmicis forinercnat un nombre moindie que le diviseur» Ainsi, d'après la règle précédente, on peut calculer le quotient avec quatre chiures. D'ailleurs , la réduction de ce quotient en déci* maies ne donne ni unités simples, ni dixièmes; donc il peut être évalué Hrec cinq chifiîres décimaux, et Ton obtient 0,06^87 pour le quotient, h nu cent-millième pfès*

Soit, pour deuxième exemple, 547 ^ divîxr par 1 548. Ici, le premier chifFie à gauche du quotient duit être un 3 , ce qui prouve que les quatre premiers chiffres du quotient formeraient un nombre supérieur sin diviseur ; done , d'après la règle précédente, on ne doit tenir compte que de trms diilfircs. D'ailleurs , la partie entière de ce qnotient réduit en décimales est un o. Ainsi Ton peut obtenir sa valeur li moins de 0,001 près; et l'on tfoove o»353 pour le résultat demandé.

Considérons actuellement deux fractions décimales; et soit» pour troi' sième exemple , a3, 479 ^ diviser par 534,78g&

Compie le diviseur a sept chiffres , et que le premier chiffre k gauche du quotient sera un 4» >' s'ensuit que le quotient peut avoir sept chiffircs (h partir du premier chiffre significatifs gauche) sur lesquels on peut compter. D''nn antre c6té, puisqu'il fant évidemment écrire trois zéros pour commencer la division, ce qui prouve que le chifire des unîtes e% celui des dixièmes sont des zéros, il en résulte nécessairement que le qnotient aura huit c^iffr^ décimaux* Ainsi , dans cet exemple, on pourra se proposer d'évaluer le quotient à nièin^ de 0,00000001 près.

En effet, si, en conservant le même divi<lende a3»479» ^^ prend successivement pour diviseurs les nombres

et qn*on applique la méthode abrégée {note, n9 8), on trouvera pour résultats respectifs

ce qui prouve que o,o439o325 est la valeur do quotient h moins d'un demi' ^nt-mUlionième près.

M. TmoisiÈMB ET DESMiiaE HTFOTHÈSE. Eofio, sile dividende et ledivifcur sont fautifs dans leur dernier chiffre à droite, le nombre des chiffres du quO' tient sur lesquels il est permis de compter, est égal au plus petit des deux nombres que fournissent les réglée relatives aux deux premières hypothèses.

Proposons-nous , pour premier exemple, de diviser 356,3749 par a479^*

La règle du n« Hi donnerait sept chiffres ^ mais celle du n* SS en donne

six ( puisque le premier chiffîre & gauche du quotient est 1); donc le nombre

■des chiffres du qnotient snrlesqnels il est permis de compter est six. D'un

autre côté, la partie entière do quotient doit renfermer (roû chiffres ^ a in» i

l'on ne peut évaluer ce quotient qu'à moins d'u/t mî//ième/»r6'#.

|«a division étant effectuée, on obtient pour résultat i43,73(i.

^o4 wotï:

SoH , pour second exemple f h iVmmiT le logarithme de i5 par le fo^tritbme d« 7.

On tronre dans les tables de logarithmes

log i5 =i,i7(>09 et log 7=0|845io.

(Ces denz logarithmes sont exacts h moins d'nne demi-nnile près de l'onlre da 5* chiffre décimal* )

Or, Tappiication de chacune des denz règles à cet exemple, donne égaknitnt cinq pour le nombre des chiffres do quotient snr lesquels on peut eompier. D'aiUenn , la partie entière doit ^Tidemment avoir un seul cliifEre aîgnificaiif ; done ce quotient peut être obtenu à moins d'un dix-milliènte près, et Ton trouve

logjS 117609

JY* B. Cette dernière question sert de base, en Algèbre, à la rcsolntion des équations exponentielles. {Foyem d'ailleurs le n* 5177 de V Arithmétique.)

Stf. Il nous reste encore & traiter de Vertrnction dé la racine earréeà» nombres approximatifs.

Considérons d'abord un nombre entier quelconque A , dont le dernier chiffre & droite soit en erreur d'uite demi-unité; et concevons que sa racine carrde ait été développée en un nombre indéfini de chiffres décrmanz d'après le procédé connu. Appelons n le nombre des chiffres de cette racine sur lesquels on peut compter , et p le nombre total des chiffres du carré employés à la détermination des n chiffres de la racine. Il pent se présenter deux cas : — - Ou le nombre des chiffres de A ^'^ impair f on bien il est pair.

Dans le premier cas, comme il résulte de la nature même du procédé de la racine carrée d'on nonbre entier, que les n premiers chiffres à gauche, de la racine, forment un nombre moindre qne les n premiers chiffres à gauche, du carré, ^ a nécessairement (l^ote, n* £7}

ou , en désignant par p^ le nombre des chiffres de A > par p^ le nombre de« ■éros écrits à la droite de A pour la détermination des n premiers chiffres de lu racine,

ObserTOns maintenant qne , dans h mnhipiteatîon de la rachte par ellemême (le dernier chifire étant supposé fautif d'une demi'unite), le prodoit Muferme (n« M) n chiffres inexacts. D'un antre c6té, le nombre des chiffres inexacts de ce même produit est exprimé par ^ -f- i , puisque le dernier chifire de A est inexact, et qu'il en est de même des p' zéros écrits h h droite de A ; ainsi l'on a a=/y'«f- 1 ; et l'^alîté précédente devient

pf^p^zzip" ^i^n^ii d'oii n=:p\ Dans le second cas, comme les n premiers chiffres h gaacfac, de la racine,

SUB LES APPROXIMATIONS NUHéRIQtJIS. 4^^

foi III eut au cou li «ire un nouihic plus grand qne le« n picmicrfi clùffies à gaucho y du carre , on a entre p et n la relation

ou , remplaçant comme ci-deasus p par p' ^p", et observant que le nombre des chifiTres inexacts du carre de la racine est e'galcmeot exprimé |Hir n et par p" -f- I ,

f»' + p* = f>*H- 1 -t-«; d'oh «:s: ;?' — !.

Donc règle gcuc'rale : Zée nombre des chiffres sur lesquels on peut eomp'

ter dans le développement de ^ A en décimale»^ est égal au nombre de» chiffrée de Ay ou k ce nomèreuaimê usr» suivant 4fue A renjertne un nombre iMPAiK ou un nombre paix de chiffres.

20. jy» B.-^La règle précédente ne souffire avcune restriction <am que le nombre des chi£Pres de A est impair» Mais si ce nombre est pair, tïie est susccptible d'une modification iort importante.

Pour le reconnattrc, augmentons et diniînnons altcmativcmcal Ad'une demi-unité de Tordre du dernier cbiffrc'à droite j et proposons-aons dV'va-

loer la différence i^ qui existe entre V/ A 4- - d \ A — -. On a , d'après les règles de l'algèbre y.

K étant une très-petite fraction que l'on peut^négliger yis-à-yis de — ~. ^insi la différence A e^c réellement représentée par l'expression

Ceci démonti^e que» m l'on réduisait l/A-h- et \/ A en déet*

maies diaprés le procédé connu , les deux expressions résultantes auraient une partie commune telle, que Tunité du dernier chiffre consécutif h cette partie

serait moindre que -— -rs.

Cela posé, soit d'abord A composé d'un nombre f/ii|>air déchiffres exprimé par ap-l- I j ce qui suppose p-^i tranchesde deux chiffires (dont la première & gauche n'en renferme qu'un ). On pourra, après avoir calculé les /»+ i premiers chiffires de la racine , d'après le procédé ordinaire, déterminer les p chiffres suivants, soit parce même procédé, soit par la méthode abrégée du

noi2î et l'erreur commise étant moindre que , n'influera pas truuc

unité sur le chiffre du rai^ %p-\* \* Ainsi , dans ce cas » on pourra ccmptcr %uï ip-f-i chiffres.

^o6 NOTE

Matntenanc , si A renferme an nombre pair de chiffrei ^p , on serra sftr dêTczactitade des p chiffres sairants que donne la méthode abrc^

%ée si Ton a — r moindre qne — — ; et cela a lien qnand le premier

chiffre à ganche de ^ A est égal on supërienr à 5. Or celte dernière circon** tanee se rencontre, ainsi qn'il est aisé de le reconnaître, tontes les fois que la première tranche & gauche^ du nombre propose, est a5 on sopérienre à ^5.

Concluons de là qne, dans le cas oti le nombre des chiffres de A est faib, ie nombre des chères sur letquels on peut compter est égal au nombre deê chères de A, ou h ee nombre Moiva uv , êuiuant que la prenùère tranche h gauche est égale ou supérieure a a5, on bien, est moindre qua a5.

517. Premier exemple.^'Soxi à extraire la racine carrée dn nombre $7806,

Comme ce nombre a cîn^ chiffres, ils'ensnitqne sa racine carrée pentétre

calcnlée avec cinq chtffrea; et puisque la pnrtie entîèy doit en renfermer trois,

cette racine peut être obtenue h moins d'un centième près. On trouve ainsi

pour résultat ^<^fSfl.

Deuxième exemple-^On demande la racine carrée dn nombre 73854980.

Ce nombre ayant huit chiffires, dont les deux premiers II gauche surpassent 95, il sVnsnit (n« 26) qu'on peut calculer Auit chiffres à la racine; et comme la partie entière doit en renfermer quatre, la racine peut être obtenue à moins d'un dix'millième près.

On obtient ainsi 8593,8ga4 pour la racine demandée.

Considérons actuellement des fractions décimales.

Troisième et quatrième exemple. •— Soit & évaluer V^8,256479 et

Il faut d'abord, en vertu de la règle établie u<* 186, faire abstraction de la virgule, puis, après avoir obtenu la racine, diviser chacun des deux résultats par 1000.

Or, dans la recherche des racines carrées de 8a56479 et de ^3567846, Tapplication de la règle n» 86 de la Note donne sept pour le nombre des chiffres dont il est permu de tenir compte. D'aillenrs, la partie entière de la racine carrée de chacnn des nombres proposés ne doit avoir qu'u/t seul chiffre. Ainsi les racines peuvent être obtenues chacune avec^ûr chiffres décimaux.

On obtient ainsi ^ 8,256479 = 9,873409 ,

el 1/33,567846 = 4,854673.

Cinquièm e et sixième exemple. — Soit à évaluer V^^T^Sp ei

On doit d'abord, conformément à la règle du n* 186, rendre le nombre des chiffres décimaux pair en plaçant uH iéro à la droite de chacnn de ces nombres, puis, après avoir fait abstraction de la virgule , et extrait les racines

carrées des deux nombres résultants , 6^35430 et 47375g6o, diviser ces r&cincs par 1000.

Or, dans la recherche delà racine de 6785430, comme la première tranche k gauche de ce dernier nombre n'a qu'un seul chiffre, il faut apf^iquer la première partie de la règle n* Stt, en ne tenant pas compte toutefois du dernier chiffre à droite, qui est toot'à-fait inexact; et le nombre de chiffres dont il est permis de tenir compte à la racine est six. D'ailleurs, la partie entière de la racine carrée du nombre proposé ne doit avoir qu'un seul chiffre* Donc enfin, a racine demandée peut étte calculée avec cinq chiffres décimaux ; et Ton a

I>e même , comme dans la recherche de la racine de 47375960 , la première tranche à gauche de ce dernier nombre, est composée de cfeux chiffres, il faut appliquer la règle du n* 26, en n'ayant aucun égard an dernier chiffre à droite, qai est tout-à-fait inexact ; et le nombre des chiffres dont il est permis de tenir compte k la racine eêtsepl ( puisque la première tranche à gauche sui« passe a5). D'ailleurs, la partie entière delà racine du nombre proposé ne pent avoir qn^u/i seul chiffre. Ainsi, cette racine peut être calculée avec six chiffres décimaux : et l'on a

JV. S. — On peut vérifier aisément l'exactitude des résultats obtenus dans les exemples précédents , en augmentant et diminuant d'une demi'unilé le dernier chiffre de chacun des nombres, puis opérant successivement sur chacun des nouveaux nombres.

28. Remarques. — \°. De l'analyse des quatre derniers exemples, il rcsnlte une conséquence fort importante, c'est que, toutes les fois que la partie entière d''un nombre fractionnaire décimal, dont on demande la racine carrée , est composée d'un onde Jeux chiffres seulement, le nombre total des chif" fres décimaux dont il est permis de tenir compte à la racine, est Av moiks égal au nombre des chiffres décimaux que renferme la fraction proposée.

d^. Quand la partie entière du nombre proposé renferme plus de deux chiffres , le nombre des chiffres décimaux dont il est permis de tenir compte à la racine, surpasse toujours celui des chiffres décimaux que contient le nombre proposé.

Soient n le nombre de^ tranches de deux chiffres, que renferme la partie entière du nombre proposé (la dernière tranche h gauche pouvant n'avoir qu'un seul chiffre), et ;; le nombre des chiffres décimaux cou tenus dans le nombre proposé* Le nombre total des chiffres décimaux dont il est permis de tenir com.pte, est exprimé généralement par n — i +p<

(Ce nombreestn + p quand la première tranche à gauche est de deux chiffres et surpasse a5< }

30. Lorsqu'au contraire, ii s^agit d'une fraction décimale proprement dite, le nombre des chiffres décimaux dont il est permis de tenir compte h la ra-

4o8 NOT£

cioc, peut être moindre que le nombre det efiifres décimaux de la fraclion proposée; et cela a lîcu qaaad les chiffres qui snivcnt iiuuictiiaumeut ii vin;ale soot des scios, tm bien qoand , le nombre des chiffres décimaux étant pair, la première tranche h gauche est inférieure k 35. Dans tout autre cas , le nombre des ehiffres décimaux est le même que

celui du nombre proposé.

S9. C^cit sur cette dernière remarque que sont fondes les calculs rcla • tifs k la dfftermination du rapport de la circonférence an diamètre; et pour ne rien laisser à désirer sar la théorie des approximations numériques , nous terminerons celte Note par le déTeloppement de la méthode des polygones régoljcrs isopérimètres. Cette méthode , qui se tronve exposée dans la Géométrie de M. Vincent, résume, en quelque sorte, tons les principes établis dans la uote précédente.

Soient R , r, le rayon ei l*apotbème du carré dont le c6té est égal à i; H', r', le rayon et l'apothème de l'octogone régulier isopértmètre arec le carré; R", r*, le rayon et Tapothème du polygone régulier de seize côtés, isopértmètre avec les deux précédents; ei ainsi de suite.

On a, d'après la méthode précitée, les formules

Cela posé , puisque i est le côté du carré, - ^!i et - sont les valeurs de R et de r. Ainsi l'on a

R = -•2=80,707106781 (v^3= i,4i4ai3563, Note, n» 14},

r=- =o,5; ce qui donne r'=r — as o,6o355339o ,

R' =5 l/R? = 1/0,707106781 xo,6o3553%I

Pour effectuer ce dernier calcal, observons que chacun des deux facteurs soas le radical étant exact h moins d^ufie demi-unité de Tordre du dernier chiffre à droite, le produit correspondant peu t(!irclui«méme (Note, n*I8) eValué à moins d'une unité de l'ordre de ce dernier chiffre, d'après la méthoilu abrégée des n^* H et 5. Ainsi Pou obtient d'abord

Maintenant, puisque le nombre dont il s'agit d*extrairc la racine carrée

est une fraction décimale dont la première tranche h gauche surpasse 35, il

s'ensuit (Note , n* 516) qne celte racine peut être obtenue avec 110»/' chiffres

décimaux; et en appliquant la méthode ordinaire pour ta détermination des

cinq premiers chiffres , puis la méthode abrégée du n^ 19 pour les qtiéttr^

suivants , on trouve

Passons à la détermination de R." cl de r". On a

et K" = V'RV^ = 1^0,653381482 X o,6a84i7436,

•t en opérant sur cette expression comme snr celle de K', on trouve

Et ainsi de suite.

Voici d^aiUeurs le tableau des opérations poussées jusqu'aux rayons R ^''

et r

Côté du carré égal à i.

il/7

R'" = ▼Il

Rj+- r

VrvÎ^'~

▼Il

ss o,5oooooooo

o,636io8363 ( ««q

4io

IVOTJC SUA LES APPROXIMATIONS. NVIIÉRIQOCS.

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