NUMÉRATION PARLÉE

Tanité |iriinilive que l'on nomme unité simple ou unité du premier ordre. On compte par dixaines comme ou a compté par unités simples ; ainsi l'on dit : une dixaine , deux dixaines, trois dixaines, quatre, cinq, six , sept, huit et neuf dixaines; ou bien, dix, vingt, trente , quarante , cinquante, soixante ^ septante , octante , nonante. Aux trois derniers mots , quoique conformes à l'analogie , on a substitué les mots soixantedix , quatre-vingts , quatre-vingt-^dix. Ce sont des expressions consacrées par l'usage. Entre dix et vingt, il existe neuf autres nombres, qui sont dix-un, dix'^deux , dix-- trois, dixquatre, dix -cinq, dix-six, dix-sept^ diX'huit, dix-neuf j mais au lieu des six premières dénominations , l'usage a substitué les mots onze, douze, treize, quatorze, quinze et seize.

Entre vingt et trente, il existe aussi neuf nombres qui s'énon. cent de cette manière 2 Vingt-'un, vingt-deux , vingt^trois ,

vingt-quatre , , vingt-neuf. On peut énoncer ainsi tous les

nombres jusqu'à nonante-neuf ou quatre-vingt-dix-neuf

Ce dernier nombre augmenté à' un, donne dix dixaines ou le nombre cent, qu'on regarde comme uUe nouvelle unité appelée centaine ou unité du troisième ordre j et l'on compte par centaines comme on a compte par dixaines et par unités simples. Ainsi cent , deux cents, trois cents, quatre cents, . . . , huit cents, neuf cents, expriment des collections d'une centaine, de deux, trois. . . huit, neuf centaines. En plaçant successivement entre les mots cent et deux cents , deux cents et trois cents, , . . , huit cents et neuf cents, et à la suite de neuf cents, les noms de nombres compris depuis i/ra jusqu'à quatre-^ingidix-neuf, on a formé les noms de tous les nombres depuis cent jusqu'à neuf cent quatre-vingt-dix-neuf {^.

Nous pouvons remarquer déjà que dans les énoncés de tous ces nombres, on n'emploie que les mots génériques, un , deux, trois, quatre , cinq, six, sept, huit, neuf, dix, vingt, trente ,

(*) Tant que le mot cent Ti\st snivi d'aacnn autre nom de nomlire, il est déclinable { dans U cas contraire, il est indéclinable. Il en est de ménic du mol vingt.

NUMÉRATION ÉGBITE. 5

fmranie, cinquante, soixante, eicent. Nous nç parlons pas des six autres mots , onze , douze , . . . seize , dont on aurait pu se passer à la rigueur.

En ajoutant un au nombre neufcenl^quatre^vingt'dix'-neuj, on obtient une collection de dix centaines, ou le nombre mille p qui forme V unité de mille, ouVunitë du quattihme ordre. Paivveiiu à ce nombre , on est convenu , pour ne pas trop multiplier les mots, de regarder mille comme une nouvelle unité princi" pale devant le nom de laquelle on place les noms des neuf cent quatre-vingt-dix-neuf premiers nombres. Ainsi Ton dit s un mille, deux mille {^)^,,. neuf mille, dix mille , onze mille, . . . vingt mille, vingt^un mille, . . . cent mille, deux cent mille j , . , neuf cent quatre-vingt-dix-neuf mille*

Une dixaine de mille forme d'ailleurs V unité du cinquième ordre; une centaine de mille , Vunité du sixième ordre.

Plaçant à la suite d'un nombre quelconque de mille , les noms de tous les nombres infe'rieurs à mille, il est clair qu'on peut ainsi énoncer tous les nombres jusqu'à neuf cent quatre-vingt dix-neuf mille neuf cent quatre-vingt-dix-neuf

Ce dernier nombre augmente' d'un, donne dix cent mille, ou mille millfi, collection à laquelle on a donné le nom de million; de même unç collection de mille millions s^appellc billion (ou milliard); une collection de mille billions se nomme trillion; et ainsi de suite. On compte d'ailleurs par millions, billions, trillions , comme on a compté par mille ; et il est aisé de voir qu'en joignant aux mots génériques indiqués ci-dessus, les mots mille, million, billion, trillion, quatrillion, quintiHiou...etc., 00 formera la nomenclature de tous les nombres entiers imaginables.

Observons , pour terminer, qu'un million est Vunité du septième ordre; une dixaine de millions , Vunité du huitième or^are; une centaine de millions , Vunité du neuvième ordre, . . etc.

i>. Numération écrite. — Quelque simple que soit la nomenclature des nombres, on éprouverait beaucoup de peine à com-

{*) Le mot mille est toujours indéclinable quand il désigne nn nombre.

8 prUMéRATION ÉCRITE.

de droite à gauche, et le nombre sera représente par 208019.

Soit encore le nombre trente-six billions cinq cent millions vingt mille quatre cent sept,

L'ënoncé de ce nombre comprend 7 unités simples, o dixaines, ^centaines; o unités de mille, 2 dixaines de mille, o centaines de mille ; o unités de millions , o dixaines de millions , 5 cen-taines de millions ; 6 unités de billions , et 3 dixaines de bil^ lions; donc le nombre sera représenté par 365ooo2o4o7.

Le système de numération qui vient d'être exposé, a reçu la dénomination de système décimal, parce qu'il faut , dans ce système, dix unités* d'un certain ordre pour former une unité de Tordre supérieur, et par suite, qu'on y emploie dix chiffres pour exprimer tous les nombres. Le nombre dix s'appelle la base du système.

6. Faisons maintenant une observation importante : il résulte de la nomenclature, que tout nombre écrit en chiffres se divise en centaines, dixaines, et unités simples; en centaines, dixaines et unités de mille ; en centaines , dixaines et unités de millions, etc. ; c'est-à-dire en tranches d^unités simples, de mille, millions , billions, • . • , dpnt chacune s'exprime par trois chiffres , excepté la dernière , qui est celle des unités les plus fortes , et qui peut n'avoir que deux chiffres ou même qu'un seul. Lors donc que l'on s'est familiarisé avec la manière d'écrire les nombres de trois chiffres, il suffit d'écrire successivemcnt les unes à la suite des autres, en allant de droite à gauche, la tranche des unités, la tranche des mille, celle des millions, celle des billions, etc.

On peut même commencer par la gauche^ c'est-à-dire écrire d! abord la tranche des unités les plus fortes, et à sa droite les autres tranches par ordre de grandeur des unités. C'est ainsi qu'on doit s'y prendre pour écrire en chiffres un nombre dicté en langage ordinaire, et qui n'est pas déjà écrit en toutes lettres ; mais il faut avoir bien soin de ne pas omettre les zéros destinés à remplacer les ordres d'unités qui manquent; et il ne peut jamais y avoir d'embarras à ce sujet, puisqu'on sait que cha-

NUUiRATlON DES FRACTIONS. g

qae tranche , excepté la première à gauche / doit toujours renfermer trois chiffres.

Soit, pour dernier exemple, à écrire le nombre quatre cent six billions vingl^huit millions deux cent cinquante mille quarante-huit.

Écrivez à la droite les unes des autres la tranche des billions, la tranche des millions, la tranche des mille, .enfin celle des unités simples; vous aurez 4o6,oa8,a5o,o48.

7. C'est sur i'obsei^vation précédente qu'est fondé le moyen de traduire en langage ordinaire un* nombre quelconque écrit en chiffres :

Jprës avoir séparé le nombre en tranches de trois chiffres chacune j à commencer par la droite j énoncez successivement chacune des tranches, en partant de la première tranche à gauche, et ayant soin de donner à chaque tranche le nom qui lui convient.

Soit, pour exemple, le nombre 7o3456oi.

Ce nombre étant ainsi partagé : 70,345,601 , se compose de mxante^dix millions, trois cent quarante^cinq mille , six cent un.

On trouvera pareillement que 5302400056702, ou bien 5,3o2,4oo^o56,702, exprime le nombre ci/i^ trillions, trois cent deux BiLLiofrs, quatre cent millions, cinquante^six tkwlv.^ sept cent deux.

8. Il nous reste encore , pour compléter la théorie de la numération , à indiquer le moyen d'écrire en chiffres les fractions. Mais , auparavant , il est nécessaire de donner une idée claire et précise de cette sorte de nombres, tels qu'on les considère en Arithmétique.

Supposons qu'on ait à déterminer la longueur d* une pièce ^étoffe. £n prenant l'unité de longueur appelée mètre, et la portant une fob, deux fois , en un mot, autant de fois que possible sur la longueur de la pièce , il arrivera de deux choses l'une : ou, après que l'unité aura été portée un certain nombre de fois, i5 fois par exemple, sur la longueur de la pièce, il ne restera rien; ou bien l'on obtiendra un reste plus petit

lO NUMtflATION DES FAACTIONS.

que le niètxe. Bans le premier cas, la pièce coulicudra un nombre entier de mètres, savoir, i5 mètres. Daus le second ' cas, à ces i5 mètres, il faudra, pour avoir la longueur totale, joindre la fraction ou la partie de mètre qui reste. Mais comment évaluer cette partie? comment la comparer à l'unité ? On pourra d'abord concevoir cette unité divisée en deux parties égales ou en deux moines,' çt si le reste est justement égal à l'une de ces moitiés, on dira que la pièce d'étoffe a i5 mètres et demi de long.

Si le reste est plus petit ou plus grand que la moitié du mètre , on concevra cette moitié divisée en deux nouvelles parties égales appelées quarts; et si ce quart peut être porté une fois ou trois fois juste sur le reste, on dira que le reste est égal au quart ou aux trois quarts du mètre.

Au lieu de diviser l'unité en deux ou en quatre parties égales, on peut aussi bien la concevoir divisée en trois parties égales appelées tiers, en cinq parties égales appelées cinquièmes , en six appelées sixièmes, etc. Admettons, pour fixer les idées, que le mètre ait été divisé en douze parties égales appelées douzièmes, et que ce douzième soit porté sept fois juste sur le .reste , on dira que ce reste est égal à sept fois le douzième ou aux sept douzièmes du mètre. Donc la pièce d'étoffe aura \5 mètres et sept douzièmes de mètre en longueur.

D'où l'on voit que, pour se former une idée nette d'une fraction d'unité d'une espèce quelconque , il faut concevoir cette unité divisée en un certain nombre entier de parties égales, et

supposer que l'on prenne une , deux , trois , quatre , de

ces parties ; l'ensemble des parties que Ton prend est ce qui constitue la fraction. Ainsi , l'énoncé d'une fraction comprend nécessairement deux nombres entiers , savoir : celui qui désigne en combien de parties égales Vunité a été diifisée : on l'appelle dénominateur ; et celui qui marque combien il faut de ces parties pour former la finction : on l'appelle numéra- TECR. Par exemple, cinq huitièmes de mètre, treize vingtièmes de livre, etc., sont des fractions. Dans la première, on conçoit que le mètre est divise en huit parties égales noniuiéeb

NOTIONS SUR LES OPERATIONS DE l'aHITBSUÉTIQUE. I I

huitièmes , et que l'on prend cinq de ces buttiètnes ; huit est le dénominateur, et cinq le numérateur. Dans la seconde, la livre est conçue divisée eu vingt parties égales appelées vingtièmes, et Ton en prend treize; le dénominateur est vingt , et treize est le numérateur.

11 résulte encore de là qu'une fraction est une grandeur rapportée à une partie de Funité principale , partie qu'où peut elle-même considérer comme une sorte d'unité secondaire. Ainsi la fraction treize vingtièmes de mètre étant composée de treize fois le vingtième d'un mètre , ce vingtième est une unité particulière que la fraction proposée contient treize fois. Cela posé, deux fractions sont dites de même espèce lorsque leur dénominateur est le même. Par exemple , cinq douzièmes , sept douzièmes, onze douzièmes, sont des fractions de même espèce ; mais trois quarts et deux tiers sont des fractions d'es- ' pèces différentes, parce que les dénominateurs sont différents.

Pour exprimer une fraction en chiffres , on est convenu de

placer le numérateur au-dessus du dénominateur, en interpo-

sant une barre. Ainsi , la fraction trois ijuarts se désigne par y ,

sept douzièmes par — , vingt-trois trente^cinquièmes par r^.

Réciproquement, g, -^, -!^, représentent les fractions sept

^mtiemes , treize quinzièmes , quaran ter sept soixante^-dou-^ ziemes. Pour énoncer une fraction , on énonce d'abord le numérateur, puis le dénominateur ; et à la fin de l'énoncé , on ajoute la terminaison ième (*).

9. Les premiers besoins de l'homme en société le conduisent journellement à résoudre des questions pour lesquelles il est obligé de combiner deux ou plusieurs nombres , soit de même nature, soit de nature différente. Ces combinaisons constituent les opérations de V Arithmétique ou le calcul numérique. Afin

(*) il y a une exception à faire pour les mots demi, tiers, quart, qui remplacent ret|)eciivement les mots rfei/^icme, troisième, quatrième*

la NOTIONS SUR LES OPÉUATIONS

d*en faire connaître Torigine et la liaison , nous allons «onç proposer quelques questions relatives au commerce.

Première question. — Un marchand de drap a vendu à une

première personne, 5 mètres ^ d'une certaine étoffe; à une se-

conde personne, 7 mètres - -, à une troisième, 1 2 mètres -^ de la

même étoffe; il désire connaître le nombre total des mètres, vendus.

Il faut, pour cela, qu'il réunisse en un seul nombre les trois nombres de mètres vendus ; en d'autres termes , qu'il fasse I'addition de ces trois nombres composés deniers et de fractions»

a* QUESTION . — Ces trois nombres de mètres ajant été levés st^r

une même pièce dont la longueur était de 3o mètres ■=, le mar^ chand vent sas^oir ce qui doit lui rester.

Il cherchera la différence entre le nombre 3o ^ qui expiî-^

ntait la longueur primitive de la pièce, et le nombre total des mètres vendus, c'est-à-dire qu'il sera conduit à soustraire le second nombre du premier.

y QVESTiOK, -^Unepersonne a acheté 48 mètres d'une certaine marchandise à raison de 25 francs le mètre; on demande la somme qu'elle doit pajrer pour les êfi mètres.

Il est clair que pour obtenir le prix cherché , on doit prendre 48 fois 25 francs, 'OU faire un total de 48 nombres égaux à aS francs. Cette opération s'appelle multiplication, et n'est qu'une espèce d* addition .* elle consiste à ajouter ensemble plusieurs nombres égaux .\

Reprenons la même question , en changeant toiitefbis les valeurs des nombres ou des données de la question.

Une personne a acheté -^ de mètre dune certaine marchan-^

dise, à raison ile^ de franc le mètre; on demande ce qu'elle

doit payer pour les — de mrtrr*

ÉMé.

DE l/AniTHMt^TIQUE. t3

Du conçotl que si le mètre coûte —^ de franc, -^ delklèlire.ûui

ne sont qa'une partie du mètre, doivent coûter une partie de — marquée par — ; c'est-à-dire que y pour obtenir la réponse à

la question , il faudra prendre les — de — ; et cette opération

s'appelle une multiplication de fractions. On la nomme ainsi parce que la question qui y donne lieu est absolument la même, aux données près , qu'une autre question qui conduirait à une multiplication de nombres entiers.

Au premier abord, le mot multiplication, qui présente généralement uuc idée d'augmentation , ne semble pas propre à désigner une opération qui consiste à prendre d'un nombre une partie indiquée par une fraction. Mais on a trouvé le moyen de lier la multiplication des nombres entiers et la multiplication des fractions, en disant que multiplier un nombre , quel qu'il soit, par un autre, c'est former un troisième nombre qui soit composé as^ec le premier, comme le second est composé as^ec V unité. Si les deux nombres sont entiers , il est clair, d'après cette définition , qu'il suffit de prendre le premier autant de fois qu'il y a d'unités dans le second ; et si les deux nombres sont des fractions , i^ faut prendre de la première fraction une partie indiquée par la seconde.

4* QUESTION. — Une personne a acheté 12 mètres d'une certaine étoffe pour la somme de 84 francs ; on demande le prix du mètre.

On conçoit que , si ce prl\ était connu , en le prenant 12 fois ou en le multipliant par 12, ondevraitavoir un résultat égala 84. La question conduit donc à trouver un troisième nombre qui, multiplié par le second 1 2 , reproduise le premier 84. Cette opération a reçu le nom de division.

Pour rendre raison de cette dénomination , qui donne l'idée de la séparation d'un nombre en plusieurs parties égales, supposons quel'on ah k partager également une somme de S^raçcs entre 1 % personnes. Il est clair que; si la part de chaque personne v

l4 NOTIONS SUR LfS OPÉRATIONS DE i/âRITHMÉTIQUE.

était connue, en la multipliant par 12 , on devrait produire 84. On voit donc que diviser un nombre S^ en autant de parties égales qu'il jr a d'unités dans un nombre 12. , et chercher un troisième nombre qui, multiplié par un second 12, reproduise le premier 84 , sont deux opérations identiques.

Reprenons la même question que ci-dessus, mais sur des

donne'es fractionnaires. Une personne a acheté ^de mètre

pour — de franc; on demande le prix du mèdre,

La question se réduit encore, dans ce cas, à trouver un troi-

siènie nombre tel, qu'en eu prenant les rr, ou en le multipliant

5 IQ

par^, on reproduise — . On a donc encore une division à effectuer, dans le sens qui vient d'être attribué à ce mot, et non dans le sens d'une séparation en parties égales.

, Il nous serait facile de citer de nouvelles questions suscep»tibles de conduire aux quatre opérations dont nous venons de parler ; et puisque ces questions se présentent à chaque instant dans toutes les circonstances de la vie, il faut avoir des moyens d'exécuter les opérations que leur résolution exige,

L'Arithmétique a pour objet spécial d'établir des règles fixes et certaines pour effectuer toutes les opérations possibles sur les nombres. Cette première partie des Mathématiques comprend encore une foule de propriétés qui ont été découvertes à l'occasion des récherches qu'on a du faire pour parvenir à ces règles, et pour en faciliter l'application. JSous allons les exposer successivement , en nous rappelant ( n° 2 ) que , pour rendre les règles in** épendantes des diverses espèces de question, il- convient de considérer les nombi^s <;omme des nombres abstraits. Toutefois, dans les applications destinées à familiariser les commençants -avec les procédés , nous pourrons nous proposer des questions relatives à des nombres concrets,

'Pour aller du simple au composé, nous commencerons par exposer les règles des opérations sur les nombres entiers.

• DE l'aDDITIOIV. |5