CHAPITRÉ PREMIER

Opérations sur les nombres entiers.

DE l'addition.

10. j4 jouter ou additionner plusieurs nombres entre eux, c'est réunir tous ces nombres en un seul; ou bien, c'est former un nombre qui contienne à lui seul autant ctunit&s qu'il j en a dans ces divers nombres considérés séparément.

Le résultat de cette opération s'appelle somme ou total.

V addition des nombres d'un seul cbiffre n'offre aucune difficulté; les jeunes gens, dès l'âge le plus tendre, apprennent à faire ces additions au moyen de leurs ^oigts, et finissent par s'en graver les résultats dans la mémoire.

Ainsi, soit à ajouter les nombres 5, 7, 4» 8, et 6 ;

On dit : 5 et 7 font 12 (*), et 4 font 16, et 8 font 24, et 6 font 3o ; donc 3o est la somme demandée.

On trouverait de même que 4^ est la somme des nombres 7, 9,6, 5, 8, 7.

Soient maintenant les nombres 7453 et i534 ^^'on se pro»* ' pose d! additionner.

Après avoir écrit les deux nombres comme on le 7453 voit ici, et avoir souligné le tout, on dit, en com- i534 mençant par les unités simples : 3 et 4 font 7 qu'on 8987 place sous les unités.

{*) L^emploi des doigts pour parvenir à ce nombre 12, sappose des additions successives d^une nnitc. Ainsi l'on dit 5 et i font G et i font 7 et i font 8...J ainsi de suite josqu'à ce qa'on ait ajoute h 5 toutes les unîte's du nombre 7.

En général, il est difficile d'établir par quelles opérations de Pcspriton ob* tient les résultats de ces additions élémentaires; et l'on peut dire, jnsqn'h un certain point , qne chacun a une manière pins on moins simple d'y parvenir»

i6 D£ i/additiou..

Passant aux dhaines , 5 et 3 font 8, qu'on écrit au rang des

dixaines.

Puis 4 et 5 font 9, qu'on e'crit au-dessous des centaines. Enfin , 7 et I font 8, qu'on écrit au rang des mille.

Le nombre 8987, trouvé par cette opération, est la somme des deux nombres proposés , puisqu'il en renferme les unités, dixaines, centaines, et mille, que l'on a rassemblés successivement.

Soit encore proposé et ajouter les quatre nombres 60479 859, 3507, 846.

On les écrit comme ci--contre ; et l'on dit , en com- 5o47 mençalS t par les unités : 7 et 9 font 16, et 7 font a3 , et 869 6 font 29 ; on place les 9 unités simples sous la pre- 35o7 mière colonne, et l'on retient les deux dixaines pour les 846 joindre aux chiffres de la colonne suivante, qui ex- 10259 priment aussi des dixaines.

Passant à cette colonne, on dit : 2 de retenue et 4 font 6, et S font 1 1 , et o font 1 1 , et 4 font 1 5 ; on écrit 5 au rang des dixaines, et l'on retient i centaine qu'on reporte à la colonne des centaines.

Opérant sur cette colonne comme sur les précédentes , on trouve 22 centaines, ou 2 centaines, qu'on écrit sous les centaines , et 2 mille qu'on retient pour les reporter à la colonne des mille.

Enfin, 2 de retenue et 5 font 7, et 3 font 10 ; on place le chiffre o sous les mille, et lé chiffre i sous les dixaines de mille; ce qui donne 10259 pour la somme demandée.

RÈGLE GÉNÉRA LE. — Pourajouier plusieurs nombrcs entre eux, commencez par écrire les nombres les uns au-dessous des autres, de manière que les unités dtun même ordre soient sur une même colonne verticale , et soulignez le tout, ajoutez ensuite successivement les chiffres qui composent chacune des colonnes, en commençant par la colonne des unités simples et passant suC" cessivement aux colonnes qui sont à gauche : écrwez au-dessous dé la barre la somme des chiffres de chaque colonne, si celte somme est expniméepar un seul chiffre; mais si elle surclasse 9

(auquel cas elle est exprimée par plusieurs chiffres dont le dernier à droite représente des unités de cette colonne, et les autres à gauche des dixaines du même ordre ) , écrivez seulement le chiffre des unités au-dessous de la colonne , et retenez les dixaines pour les ajouter aux chiffres de la colonne immédiat tement à gauche, jiprhs avoir opéré de cette manière sur toutes les colonnes, voas aurez obtenu au-dessous de la barre la SOMME DEMANDEE y puisquc cc résultat provient de la réunion des unités, dixaines, centaines, etc., qui entrent dans les nom^ bres proposés.

11. Remarque. — Si la somme des cIiifFres contenus dans chaque colonne devait être tout au pins é{i;ale à 9, il serait indifférent de commencer l'ope'ration par l'addition des unités simples , ou bien par celle des unités de la plus haute espèce. Mais comme il arrive le plus souvent que plusieurs de ces sommes surpassent 9, si l'on commençait par la gauclte, on serait souvent obligé de revenir sur sos pas , pour rectifier un chiffre qu'on aurait écrit , et l'augmenter d'autant d'unités que Ton aurait obtenu de dixaines d'unités de la colonne suivante , en opérant sur cette colonne. Voilà pourquoi il convient dans tous les cas , de commencer par la droite plutôt que par la gauche.

12. La soustraction a pour but de chercher Vexées d^un nombre sur un plus petit. Cet excès s'appelle encore reste ou différence.

On peut aussi définir la soustraction une opération qui a pour but : Étant donnés la somme de deux nombres et l'un deux , trouver Vautre nombre; et sous ce point de vue, la soustraction est l'inverse de l'addition.

Tant que les nombres proposés ne sont que d'un seul chiffre, la soustraction est facile. Ainsi , la différence de 9 à 6 est 3 ; ou bien , ôlez 6 de 9 , il reste 3. De même : 5 de 7, il reste 2.

Il est encore aisé de soustraire un nombre d'un seul chiffre d'un autre , lorsque le reste ne doit aussi avoir qu*un seul

Arilh. H. 2

l8 D£ LA SOUSTRACTION.

chiffre. Ainsi , ulez 7 de 1 3 , il reste 6 , puisque 7616 font 1 3i de même , 9 de 1 7, il reste 8, pi^que 8 et 9 font 17.

Ces ope'ratioDs, qui suppos^ent seulement l'exercice de la mémoire sur Taddition des nombres d'un seul chiffre , vont servir de base à la soustraction des nombres.de plusieurs chif* fres.

Soit premièrement à soustraire 5467 de 8789.

Après avoir placé le plus petit nombre au-dessous 8789 du plus grand et souligné le tout, on dit, en corn- ^4^7 Hiençani par les unités simples : 7 de 9 9 il reste 2 , 3322 qu'on place sous la colonne des unités ; passant aux dixaines, 6 de 8, il reste 2, que l'on écrit au rang des dixaines ; opérant de même sur les centaines et sur les mille, ^ de 7, il re6te 3 , et 5 de 8 , il reste 3 ; ce qui donne enûn 3322 pour le reste demandé.

Eu effet , par la nature même des opérations qui viennent d'être faites , on vpit que le plus grand nombre contient de plus que le second, 2 unités simples, plus 2 dixainei^s, plus S centaines , plus 3 unités de mille , et , par conséquent , surpasse le plus petit nombre , de 3322.

Proposons-nous , pour second exemple , de trouuer la diffé-^ rence qui existe entre les deux nombres 83456 et 28784.

Ayant disposé les deux nombres comme dans Texera- 83456

pie précédent, on dit d'abord : 4 de 6, il reste 2, qu'on 28784

écrit sous les unités. 546nà

Mais lorsqu'on passe à la colonne des dixaines, il se présente

une difficulté : le- chiffre 8 de la ligne inférieure est plus fort

que le chiffre 5 de la ligne supérieure et ne peut par conséquent

en être soustrait. Pour lever cette difficulté , pn emprunte par

la pensée, sur le chiffre des centaines du nombre supérieur,

1 centaine, qui vaut 10 dixaines, et on l'ajoute aux 5 dixaines

que l'on a déjà, ce qui donne i5; puis on dit: 8 de 1 5, il

reste 7, qu'on écrit au rang des dixaines.

Passante la colonne des centaines , on observe que le chiffre 4 de la 1i(!;ne supérieure doit être diminué de i, puisqu'on a

emprunté cette uoitë dans la soustraction préc^eute ; alors ou dit : 7 de 3, cela ne se pent; mais en empruntant, comme toutà-I'heiire, i m«Ue, qui vant lo centaines, ce qui donne i3 cen* taines, on ôle 7 de i3, et il reste 6 , qtie Ton écrit au rang dès centaines.

Passatit aux mille : 8 de 2 , cela ne se peut ; mais 8 de 1 2 , il reste 4 » qu'on éorit au rang des mille.

Enfin, comme le chiffre 8 des dixiaines de mille doit, à raison de l'emprunt qu'on vient de faire , être remplacé par 7 , on dit: a de 7 , il reste 5. "

Ainsi, le reste demandé , ou l'excès du plus grand nombve sur le plus petit, est 54672.

Pour bien comprendre comment , par ce moyen , on parvient au but que Ton s'est proposé, il suffit de remarquer que, d'après les artifices employés pour effectuer les soustractions partielles, on peut disposer les deux nombres de la manière suivante :

Dixaines de mille. Mille. Centaines. Dizaines. Unités.

1" nombre... 7 12 i3 i5 6

2* nombre ... 2 8 7 .8 4 '

D'où Ton voit que le nombre supérieur contient de plus que le nombre inférieur, 2 unités, 7 dixaines, 6 centaines, 4 mille, et 5 dixaines de mille, ouïe surpasse de 54672 unités.

Soit y pour troisième exemple, à retrancher 158429 de 3oo4o5. 99 9

Comme 9 , chiffre des unités du nombre infé- 3oo4o5. rieur, est plus fort que 5, chiffre correspondant 158429 du nombre supérieur, on doit emprunter i dixaine 141976 sur le premier chiffre à gauche ; mais ce -chiffre étant un o, il faut avoir recours au chiffre 4 d^s centaines, sur lequel on prend i, qui vaut 10 dixaines ; et puisqu'on n'a besoin que d'une seule dixaine, on en laisse 9 au-dessus du o ; puis on ajoute 1 dixaine à 5 , ce qui donne i5, et l'on dit : 9 de i5 , il reste 6 , qu'on écrit sou» les unités.

Passant aux dixaines^ on dit : 2 de 9, il reste 7.

Pour les centaines , comme le chiffre 4 de la ligne supérieure ne vaut plus que 3 , à raison de Temprunt , et qu'on ne peu^ soustraire 4 <^c 3 , on a recours au premier chiffre à gauche ; mais celui-ci et le chiffre qui est à sa gauche étant des zéros, on emprunte une unité sur le chiffre significatifs ; cette unité eu vaut 10 de l'ordre suivant, 100 de l'ordre des mille ; et puisque l'on n'a besoin que d'une seule unité de cet ordre, on en laisse 99 qu'on reporte sur les deux zéros ; ajoutant i mille à 3 centaines, il vient i3, et l'on dit : 4 ^^ i3, il reste 9, qu'on pl^ce sous la colonne des centaines.

Dans les deux soustractions suivantes, chacun de» zéros étant ren^placé par un 9 , on dit : 8 de 9, il reste i ; et 5 de 9, il reste 4*

Passant à la première colonne à gauche, on dit : i de 2 (car le chiffre 3 est diminué de i) , il reste 1 ; ainsi , Ton a pour le reste demandé , i4ï9'56.

En effet, si l'on réfléchit sur la manière dont le nombre supérieur a été décomposé , on peut disposer ainsi l'opération :

. Ccni. de raille. Dix. de mille. Mille. Centaines. Dizaines. Un'i^'«.

i**" nombre.. 2 9 9 i3 9

^,, nombre. . i 5 8 4 £ ?-

Donc le nombre supérieur surpasse le nombre inférieur 6 unités, 7 dixaines, 9 centaines, i mille , 4 dixaines de au e^ I centaine de mille, ou de 141976.

RÈGLE GÉNÉRALE. — Pour soustraîrc dun nombre un autre

nombre plus petit j. placez le second au-dessous du premier,

manière que les unités dun même ordre soient sur une me

colonne , puis tirez une barre: soustrayez ensuite successi

. // les

ment les unités du petit nombre des unités du granu,

dixaines des dixaines, les centaines des centaines, etc.,

écrivez les restes partiels les uns à la suite des autres, en ^

lant de la droite vers la gauche^ le nombre exprimé pai

DE LA SOUSTRACTiOrr. 21

semble de ces cliifFres est le reste complet, ou le résultat demandé.

Lorsqu'un chiffre de la ligne inférieure est plus fort que le chiffre de la ligne supérieure, augmentez par la pensée ce der^ nier chiffre, de lo unités, et diminuez le chiffra qui est à sa gauche, dune unité.

Si, immédiatement à la gauche et un chiffre supérieur plus faible que le chiffre inférieur correspondant , se troui^ent un ou plusieurs zéros , augmentez toujours, par la pensée , ce chiffre supérieur, deto unités; mais dans les soustractions sui^ vantes, remplacez les zéros par des 9 , et diminuez d'une unité h chiffre significatif supérieur qui est immédiatement à la gauche de ces zéros,

Od troavera d'après ce procède' , que si de 6o3ooo4o i on soustrait 805724787 -

le résultat de ropdratîon est . 297a7S&i4

15. Première remarque, — Si chacun des chiffres du nombre inférieur était moindre que le chiffre supérieur correspondant ^ Userait indifférent de commencer l'opération par la gauche ou parla droite. Mais comme il arrive souvent que l'un des chiffres de la ligne inférieure surpasse le chiffre de la ligne supérieure, la soustraction partielle ne peut se faire que par un emprunt sur le chiffre ou l'un des chiffres à gauche de celui sur lequel on opère : dès -lors , il est nécessaire de commencer par la droite, afin de pouvoir faire les emprunts dont on a besoin.

ii. Seconde remarque, — Il est clair qu'au lieu de diminuer d'une unité le chiffre sur lequel un emprunt a été fait , on peut laisser ce chiffre tel qu'il est, pourvu qu'on augmente le chiffre iiiférieur correspondant , d'une unité. Cette manière d'opérer est en général plus simple et plus commode dans la pratique.

Elle est particulièrement avantageuse lorsque, dans le nombre supérieur, il y a un ou plusieurs zéros entre deux chiffres Significatifs : parce que, d'après le nouveau procédé, il n'y a rien à changer aux chiffres du noiubre supérieur.

Ainsi, dans le dernier exemple, après avoir dit poui les uni-

2Z PREUVES DE l'aDDITION

t£8 simples : 7 de 1 1 , il reste 4» au Heu de dire pour les dixaines: Sdeg, il reste i , on dit : 8 plus i, ou gde io,ilreste i ; de même, aalieu de dire pour les centaines : 7 de i3 , il reste 6, on dit : 7 plus I y o« 8 de 1 4 > il reste 6 ; puis, pour les milles 5 de 10, il reste 5; puis 3 de 10, il reste 7 ; et ainsi de suite.

Toutefois, il faut avoir bien soin de n'augmenter le chiffre inférieur qu'autant que la soustraction précédente n'a pu se bave immédiatement; c'est surtout dans la division que nous aurons à faire usage de cette modification.

Preuves de Paddilion et de la scusiraciion^

t». On appelle preuve d'une opération arithmétique, une autre opération que l'on fait pour s'assurer de l'exactitude de la première.

La preuve de F addition se fait en ajoutant de nouveau i maïs à commencer par la gauche , les nombres qu'on a déjà ajoutés. Après avoir fait la somme des chiffres qui se trouvent dans lapremière colonne à gauche, on la retranche de w partie qui lui répond dans la somme totale; on écrit au-des" sous le reste, qu'on réduit, par la pensée, en unités de tordre au chiffre suivant, pour les joindre aux autres unités d£ cet ordre contenues dans la somme totale. On fait de même la somme partielle des chiffres de la seconde colonne à gauche, et to retranche cette somme partielle de la partie de /« somtne totale qui lui répond j on continue ainsi jusqu'à la dernière colonne , dont la totalité retranchée ne doit laisser aucun reste.

Ainsi , après avoir trouvé que les quatre nombres

doirentavoirpoursomme... losSg

pdur vérifier ce résultat loaSg, on ajoute les mêmes nombres en commençant par la gauche, et l'on dit : 5 et 3 font 8 miH^^

qui Âtés de lo mille donnent pour reste 2 niiire ; ces 2 mille ajoatës au cbifFre 2 centaines, font 22 centaines; ensuite, 8 et 5 font i3, et 8 font 21, que l'on ôte de 22, ce qui donne pour reste l' centaine, laquelle réunie aux 5 dixaines forme iSdixainés ; /^eiS font 9, et 4 font 1 3 j 1 3 de 1 5, il reste 2, qui, suivi du 9) donne 2g; enfin, 7 et 9 font 16, et 7 font 23,' et 6 font 29* 29 de 29, il reste o ; donc l'opération est juste.

La preuve de la soustraction se fait en ajoutant au plus petit nombre le reste trouvé par V opération; et il est évident qu'on doit reproduire le plus grand nombre, puisque ce reste n'est autre chose que l'excès du plus grand nombre sur le plus petit.

Ainsi , dans l'exemple ci'contre , 8345(f

reste. . . .

preuve

après avoir trouvé que 54672 est Teicès du plus grand nombre sur le plus petit y si l'on ajoute cet excès au nombre 28784 9 on doit retrouver 83456 ; ce qui a lieu en effet.