Voici de nouveaux exemples d'additions et de soustrac
lions, avec leurs preuves :
Additions,
Soustractions.
2000400 1 oo3 84o5 128605
2000400 ioo3
24 PHEDVES DE L^DDITIO?! ET DE LA SOUSTRACTIOII.
PAOBtÈME. — Un banquier avait en caisse une somme de 65']SoJr. ; mais il a fait divers paiements. Il a donné à une première personne 1 37,5g fr.j à une seconde, i8']0^Ji',; à une troisième^ 220S0 Jr,; à une quatrième, gSSo ^.y et il veut connaître Vétat de sa caisse après tous ces paiements.
Solution, — ^Après avoir réuni en une seule les quatre sommes payées successivement , le banquier soustrait la somme totale de celle qu'il avait en caisse ; et le résultat de cette soustraction exprime ce qui doit lui rester.
Tableau des opérations,
13259 65760 montant de la caisse.
18704 63863 somme payée.
1887 différence.
ztxt<p 11 doit rester au banquier 1887 francs.
On remarquera qu'eu effectuant l'addition et la soustraction précédentes , on a considéré les nombres proposés comme abs^ traits j quoiqu'ils fussent concrets d'après l'énoncé ; mais par venu au résultat 1887, ^^ ^^^ ^ donné le nom de l'espèce des unités exprimées dans l'énoncé. C'est ainsi qu'il faut toujours se conduire dans les applications. Les procédés des opérations étant tout-à-fait indépendants de la nature des nombres , on envisage ceux-ci sous un point de vue purement abstrait , sauf à donner ensuite au résultat final le nom de l'tmité qu'indique l'énoncé de la question.
DE LA MULTIPUCATION.
17. Multiplier un nombre par un autre, c'est (n'^ 9) former un troisième nombre qui soit composé avec le premier, comme le second est composé avec Vunité; et quand les deux nombres proposes sont des nombres entiers, leur multiplication revient à prendre le premier autant de fois quHljr a d unités dans le second.
On appelle multiplicande le nombre à multiplier, multiplia cateurcelui par lequel on multiplie, ou qui marque combien de fois on doit prendre le premier , et produit le re'sultat de la multiplication ; les deux nombres proposés portent conjointement le nom de facteurs du produit,
A proprement parler, la multiplication n'est autre chose qu'une addition ; car, pour en obtenir le re'sultat, il suffirait de placer les uns au-dessous des autres autant de nombres égaux au multiplicande, qu'il y a d'unités dans le multiplicateur, puis d'ajouter tous ces nombres entre eux. Mais cette manière d'opérer serait très longue si le multiplicateur était composé de plusieurs chiffres ; on a donc cherché à la simplifier ; et c'est dans cette abréviation que consiste, à proprement parler, la multiplication,
18. Tant que les denxfacteurs sont exprimés chacun par un seul chiffre , le produit s'obtient par des additions successives du même nombre; ainsi pour multiplier 7 ])ar 5 , on dit : 7 et 7 font 14, et 7 font 21, et 7 font 28, et 7 font 35 : ce dernier nombre étant le résultat de l'addition de 5 nombres égaux à 7, exprime le produit de 7 par 5.
Les commençants doivent s'exei*cer d'abord à ces sortes de multiplications , afin de s'en graver les résultats dans la mémoire, et de pouvoir ensuite obtenir avec facilité les produits des nombres exprimés par plusieurs chiffres. Toutefois , jusqu'à ce qu'on se soit suffisamment exercé, on fera bien d'avoir sous les yeux une table appelée table de multiplication, ou table de PiTHAGORE, du nom de son inventeur, ou du moins de celui qui le premier en a répandu l'usage.
Table de Multiplication.
Sens lioriiODCal.
la
la
ao
JL
La première bande horizontale de cette table se forme en ajoutant i successivement , jusqu'à ce qu'on soit parvenu au nombre g ;
La seconde, en ajoutant 2 successivement ; ^a troisième, en ajoutant 3, et ainsi de suite.
Remarquez d'ailleurs qu'on peut également dresser cette table par colonnes verticales. Chaque colonne verticale est composée des mêmes nombres que la bande horizontale de même numéro. Ainsi, la sixième bande horizontale se composant des nombres 6 , 12 , 18 ,...«, 54; la sixième colonne verticale renferme les mêmes nombres 6, 12, 18, , . . •954*
Cela pose' , pour trouver, au moyen de cette table , le produit de deux nombres exprimés par un seul chiffre , on cherche le multiplicande dans la première bande horizontale; et, en par* tant de ce nombre , on descend verticalement ^usqvL^k ce qu'on soit vis-à-vis du multiplicateur, qu'on trouvera dans la première colonne verticale : le nombre contenu dans la case correspondante, est le produit.
DE LA MCtTIPLlCATlOPr. 27
Par exemple , pour trouver le- produit ie 8 par 5 , on descend depuis 8, pris dans la première bande honzontale, jusque vis-à-vis de 5 pris dans la première colonne verticale ; et le nombre ^o contenu dans la petite oase, est le produit demandé.
On pourrait également prendre 8 dans la première colonne verticate , et se dinger AonsonioZemeRi jusque au^dussous de 5 pria dans la première bande horisontale : on trouverait encore 4o pour le produit demandé.
it^. Supposons maintenant que le multiplicande étant ex^ jinmé par plusieurs ckijffres, le multiplicateur n en ait qu'un
f<?tf/..— SOIT A MULTIPLIEB 845g PAK 7.
On pourrait ( n*^ 17) obtenir le résultat en écrivant les uns au-dessous des autres 7 nombres égaux à 8459 , comme on le
Toit ci-contre ; 8489
et en ajoutant successivement les unités simples , 84^9
les dizaines , les centaines , etc. , on trouverait 84^9
ainsi pour résulta t , Sgi 1 3 . 84^9
Mais il est évident que cela revient à prendre 84^9
successivement 7 fois les 9 unités du multipli- 8459
cande ,7 fois les 5 dixaines , etc. j et à faire la 8459
somme de tous ces produits. 59218
• Ainsi , après avoir placé le multiplicateur 7 au* ^459
dessons du multiplicande , comme on le voit ici , 7
et avoir souligné le tout , on dit d'abord : 7 fois 9 092 13* font63 (voyez la table de multiplication), ou 6 dixaines et 3 unités; on pose 3 sous les unités, et l'on retient les 6 dixaines pour les réunir au produit des dixaines du multiplicande par 7.
Onditensuite : 7 fois 5 font 35, et 6 de retenue font 41 dixaines, ou 4 centaines et i dixaine ; on pose 1 au rang des dixaines , et l'on retient les 4 centaines;
7 fois 4 font 28, et 4 de retenue font 32 centaines, ou 3 mille et 2 centaines; on pose 2 au rang des centaines, et l'on retient 3.
Enfin, 7 fois 8 font 56, et 3 de retenue font 59, que l'on écrit
28 DE IJL MULTlPLICATlOrr.
à gauche des centaines , parce qu'il n'y a plus de chiffres à multiplier dans le multiplicande.
On trouve ainsi SgaiS pour le produit demandé.
D'où l'on voit que pour multiplier un nombre de plusieurs
CHIFFRES PAR UN NOMBRE d'uN SEUL CHIFFRE, il faut muUipUer
successivement les unités, dixaines, centaines , etc., du mut» tipUcande , pcw le nudliplicateur, et écrire ces différents- pra^ duits partiels au rang qui leur cornaient, en observant, à chaque multiplication partielle, de retenir les dixaines pour tes joindre avec les dixaines, les centaines pour les joindre avec les, cen* taines , etc
Soit, pour second exemple, a multiplier 47008 par 9.
On dit d'abord : 9 fois 8 font 72 ; on écrit 2 au 4?^^^ rang des unités ; et l'on retient 7. 9
Ensuite , 9 fois o donnent o ; mais comme , dans ^23o']^ la première opération, on a retenu 7 dixaines , il faut les écrire au rang des dixaines. .
9 fois o font o ; on écrit o au rang des centaines ,^ puisqu'il n'y en a pas, et qu'il faut cependant en conserver la place.
Ensuite , 9 fois 7 font 63 ; on pose 3 et l'on retient 6. . Enfin , 9 fois 4 font 36, et 6 de retenue font 4^ 9 que Toa écrit à gauche du chiffre précédent.
Ainsi , le produit demandé est 4^3072.
20. Avant de passer au cas où le multiplicateur est composé de deux ou deplusieurs chiffres, nous indiquerons le moyen de rendre un nombre 10, 100, 1000 .... fois plus grand, ou de le multiplier par 10, 100, 1000. . . .
Il résulte évidemment du principe fondamental de la numération (n° 6) , que , si l'on place un o à la droite d'un nombre déjà écrit , chacun des chiffres signiGcatifs de ce nombre, reçu* lant d'un rang vers la gauche , exprime alors des unités 10 fois plus grandes qu'auparavant. De même , en plaçant deux o à sa droite , on le rend 1 00 fois plus grand , puisque chaque chiffre significatif exprime des unités 100 fois plus fortes; et ainsi de suite.
DE LA AfULTiPLICATION. 2q
Donc , pour multiplier un nombre entier quelconque par \o , 100, looo, etc. , il suffit d'écrire à sa droite i, 2 , 3,... zéros.
Ainsi , les produits de 439 par 10, 100, looo, 10000 , elc. , sont 4390, 43900 , 439000, 4390000
2i. Considérons actuellement le cas ou le multiplicande et le multiplicateur soni composés de plusieurs chiffres.
On propose de multiplier 87468
