PAR

Ou commence par disposer le multiplicateur au'-dessous dû multiplicande, de manière que les unite's d'un même ordre soient dans une même colonne ; et Ton souligne le tout. Cela posé, on observe que multiplier 87468 par 5847 > l'cvieui à prendre le multiplicande 7 fois, plus 4o fois, plus 800 fois, plus 5ooo fois , et à réunir les produits partiels.

On peut d'abord trouver, d'après la règle du n® 19, le produit de 87468 par 7 ; ce qui donne 612276.

Mais comment obtenir celui de 87468 par 40 ?

Concevons, poiir un instant, qu'on ait écrit les uns au-dessous des autres, ^o nombres égaux à 87468; en faisant y addition de tous ces nombres, on aura le produit demandé. Or, il est évident que ces 4o nombres forment 10 groupes de 4 nombres égaux chacun à 87468; mais 4 nombres égaux à 87468 font en somme 4 ^ois 87468, produit que l'on peut former par la règle du n° 19, et qui est égal à 349872. £n multipliant ce produit par 10, ce qtii revient (n° 20] à placer un o à sa droite , on obtiei\t 3498720 pour le produit de 87468 par 40.

On voit donc que celte seconde opération revient à multiplier le multiplicande par le chiffre 4 considéré comme expri-

3o DE LA mJLTlPLICATIOCr.

mant des anités simples , à écrire an o à la droite da produit, ^t il placer, comme on le vmt ci^dessus , le résaltat 3498720 ainsi obtenu , an-dessous du premier produit partiel.

Pareillement, pour effectuer la multiplication de 87468 par 800, il suffit de multiplier 87468 par 8, ce qui doune 699744» P^^^ d'écrire deux o à la droite de ce produit; et l'on a pour troisième produit partiel 69974400 , nombre qu'on place au-dessous des deux produits pre'ce'dents. En effet , 800 nombres égaux à 87468 et place's les uns sous les autres , forment évidemment 100 groupes de 8 nombres égaux à 87468, ou bien 100 nombres égaux au produit de 87468 par 8, c'està-dire 699744^^*

On prouverait par un raisonnement semblable , que pour multiplier le nombre 87468 par 5ooo , il suffit de le multiplier par 5, de placer trois o à la droite du produit, et d'écrire le résultat 43734oooo ainsi obtenu , au-dessous des trois premiers produits.

Effectuant maintenant l'addition de ces quatre produits partiels, on trouve enfin pour le produit total, 5114^5396.

N, B. — Dans la pratique, on se dispense ordinairement de placer les zéros à la droite des produits partiels par les chiffres des dixaines, centaines, mille, etc. ; mais on écrit chaque produit partiel au-^ dessous du produit précédent, en le recalant d'un rang vers la gauche par rapport à ce produit , c'està-dire en faisant occuper au premier chijffre à droite le même rang que celui qu'occupe le chijffre par lequel on multiplie.

Règle générale. -* Pour multiplier un nombre de plusieurs chiffres par un nombre de plusieurs chiffres, multipliez d^ abord Uout le multiplicandepar le chijjfre des unités du multiplicateur (d'après la règle du n** 19); multipliez de même tout le multiplicande successivement par le chiffre des dixaines, par celui des centaines, etc., considérés comme des unités simples, et écrivez les produits partiels les uns au-dessous des autres de manière que chacun soit reculé d*un rang vers la gauche paf rapport nu précédent ; puis additionnez ces produits; vous aurez le produit total demandé.

DE LA MULTIPLICATION. 3l

22. Souvent quelques-uns des chiffres du multiplicateur sont des zéros; et alors il faut apporter quelques modifîcations dans la disposition des produits partiels.

Soit a multiplier 870497

PAR 5oo4o7

On multiplie d'abord tout le multiplicande par 7 ; ce qui donne pour produit, 6093479.

Maintenant, comme il n'y a pas de dixaines au multiplia» cateur , on passe à la multiplication par 4 y chiffre des centaines du multiplicateur, ce qui donne le produit 3481988 ; et comme il faut lui faire exprimer des centaines, on le place sous le premier produit, en le reculant de deux rangs vers la gauche.

Pareillement, comme il n'y a dans le multiplicateur ni mille, ni dixaines de mille , on passe à la multiplication par 5, chiffre des centaines de mille} et l'on écrit le produit 4352485 sous le précédent , en le reculant de trois rangs vers la gauche par rapport à celui-ci.

En général, lorsqu'il se trouve un ou plusieurs zéros entre deux chiffres significatifs du multiplicateur} on ^recule le pro^ duit correspondant au chiffre significatif qui est à gauche de ces zéros, d'autant de rangs plus un vers la gauche, par rap* port au produit précédent, qu'il jr a de zéros intermédiaires^ Au reste, pour éviter toute erreur à ce sujet, ou peut s'as-* surer à chaque opération , si le premier chiffre à droite du produit partiel est dans la colonne des unités de même ordre que celui dtt chiffre par lequel on multiplie,

S5. Si l'un des deux facteurs de la mi^UipUcation , ou tous les deux , sont terminés par des zéros , on abrège l'opération en multipliant comme si ces zéros n'y étaient pas ; mais on le» l)lace ensuite à la droite du produit.

3a DE LA MULTIPLICATION.

Exemple. — Soit a multiplier 4?^^^

PAR 2goo

i363ooooo

Après avoir multiplié 47 par 29 , d'après le proce'de' connu , one'critS zéros à la droite du premier; et Ton obtient i363ooooo pour le produit demandé.

En effet, si l'on n'avait d'abord que 47000 à multiplier par 29 , il est clair qu'après avoir multiplié 47 par 29 , il faudrait faire exprimer au produit, des mille, c'est-à-dire des unités de même espèce que le multiplicande; ainsi l'on devrait déjà écrire trois zéros. Actuellement, multiplier un nombre par 2900, revient (n° 21) à prendre 100 fois le produit par 29 ; donc , il faut poser deux nouveaux zéros. Le même raisonnement s'appliquerait à tous les cas semblables,

S4. Pour peu qu'on réfléchisse sur le procédé de la multiplication , on sent la nécessité de commencer l'opération par la droite, du moins dans les multiplications partielles par chacun des chijffres du multij}licateur, à cause des retenues que l'on fait continuellement en multipliant un chiffre du multiplicande par un chiffre du multiplicateur. Mais rien n'empêcherait d'intervertir l'ordre des multiplications partielles par les différents chiffres du multiplicateur , comme on peut le voir dans l'exemple suivant.

Oi^ a commencé ici la multiplication par le ^7^4

chiffre des centaines du multiplicateur, et l'on a 4?7

placé les unités du produit sous les centaines du o^g

multiplicateur; mais dans l'opération suivante, /5632

on a eu soin d'avancer le produit d'un rang vers 30028

la dfoite, c'est-à-dire de le placer au-dessous du —

premier de manière que le dernier chiffre 2 fût 277704 au-dessous des dixainçs des deux facteurs. De même, le troisième produit est avancé d'un rang vers la droite, paf

pBOPRiÉTÉs Importantes dk la bïultiplication. 33

rapport au prëcédcnt. Mais dans l'usage ordinaire on forme les produits en allant de droite à gauche , parce que cela est plus naturel et plus commode.

De quelques propriétés importantes de la multiplication.

On est souvent conduit, dans les applications , à multiplier successivement plusieurs nombres entre eux.

Soient, par exemple, les cinq nombres pris au hasard

Former le produit de ces nombres dans l'ordre où ils sont écrits, c'est multiplier d'abord 23 par 35, puis multiplier ce premier produit (8o5) par 72 , puis multiplier ce second produit (57960) par 49» puis multiplier ce troisième produit (2840040) par 1 56, ce qui donne enfin 44^ 046240 pour le produit demandé.

Or, on pourrait, avec ces cinq facteurs, obtenir le même produit d'un très grand nombre de manières: il sufl[Irait,pour cela, d'intervertir à volonté l'ordre des multiplications successives ; et c'est ce qu'on exprime en disant que le produit de la multiplication de plusieurs nombres entre eux , est toujours le même dans quelque ordre qu'on effectue les multiplications»

SIS. Pour nous rendre compte de cette propriété , qui joue un très-grand rôle dans la science des nombres, considérons d'abord le cas de deux facteurs, 459 et 237 par exe

Si l'on conçoit l'unité écrite 4^9 ^ t '9 ^ > ^ j fois sur une même ligne horizon- 1 , 1 , 1 , 1 , taie , et qu'on forme 237 lignes pa~ reilles , il est clair que la somme des unités contenues dans ce tableau est égale à autant de fois les 4^9 unités d'une ligne horizontale, qu'il y a d'unités dans u^e-colonnc verticale, ou dans 237; c'est-à-dire que cette somme est égale au produit de 4^9 par 237. Mais on peut dire aussi que cette somme est égale à autant de fois les 237 unités

Arilh. B. 3

nple.

34 PROPHIÉTÉS IMPORTANTES

d'une colonne verticale, qu'il y a d'unités dans une ligne horizontale, ou dans 4^9; c'est-à-dire qu'elle est e'gale au produit de '287 par 4^9* Donc , le produit de 4^9 multiplié par 237, est égal au produit de 237 multiplié par 459.

Ce raisonnement est d'ailleurs applicable à deux autres nombres entiers quelconques; donc , etc. . . . (*).

Pour faire connaître une première application de ce principe, snpposons r(ue la natnrc d^unc quesiion ait conduit h multiplier le nombre 75 par5G4i. On fera de ptcfcrcncc le produit de 56.\i par ^5, parce qu^on n^aura ainsi que fieux prodiiiis partiels h former, tandis que Ton en aurait quatre en mollipliant ^5 par 564^.

S6. Avant de passer à la proposition générale , nous commencerons par déduire du cas particulier déjà démontré, une autre propriété qui peut s'énoncer ainsi : Multiplier un nombre quelconque par un premier facteur; puis le produit résultant par un second facteur y revient à multiplier le nombre proposé par le second facteur, puis le produit résultant par le /jrcm/eryîzc/eMry plus généralement, dans toute multiplication de plus de deux nombres entre eux, on peut intervertir tordre des deux derniers facteurs , sans que le produit soit changé.

Ainsi , par exemple , si l'on multiplie 48 par i5 et le produit résultant par 24, on doit savoir le même résultat que si l'on multiplie qS par 24 ^^^^ produit résultant par i5.

En effet, il résulte d'abord de ce qui a élé établi n®2ô, que le produit 36o résultant de la multiplication de i5 par 24) s'obtiendrait également en multipliant 24 par i5 ; et si nous pouvons faire voir que le produit de 48 par 36o est le même que celui qu'on trouverait, soit en multipliant 48 par i5, puis le produit résultant par 24, soit en multipliant 48 par 24 »

{*) On pourrait 'dc'dnire celte proposition de la table même de Pttba- GOHB en observant la manière dont les nombics y sont disposes (n** lu}- '^ snfiirait pour cela de concevoir celte table prolongée au delà dNme limite convenable, 10000 fois toooo par exemple^ si Ton ne considérait qae deux faeiears an-dcasous de cette limite ; mais la dcmonstration ci^dessns nous parait préférable tons le rapport de la simplicité'.

puis le produit rtsultant par i5, la propriété aéra démontrée.

Or, pour former le produit de 48 par 36o, il suflit (n® 17) de poser les uns au-dessous des autres 36o nombres égaux à 48, et de faire l'addition de tous ces nombres. Mais ces 36o noinbresainsi disposés forment évidemment 2^4 groupes de i5 nom* bres égaux à 48, ou bien i5 groupes de 24 nombres égaux à 48 (*). Ainsi l'on obtiendra la somme de ces 36o nombres , ou en multipliant 48 par 24 ^^ prenant f 5 fois te produit résultant, ou en multipliant 48 par i5 et prenant 24 ^*^is ^^ produit résultant; et ces deux manières d'opérer conduisant évidemment au même résultat, on doit conclure que l'ordre des deux multiplications successives par i5 et par 24 peut être interverti.

27. Remarque, ~ La démons I ration précédente donne lieu à une nouvelle proposition qui nous sera également utile par la suite.

On vient de voir que multiplier 48 par 36o , qui est le produit de 24 par t5, revient à multiplier 48 par 24, puis le résultat obtenu par i5. Mais 24 étant lui-même égal nu produit de 6 par 4 9 on peut dire encore que multiplier 48 par 36o , revient à multiplier d'abord 48 par 6 , puis le résultat obtenu par 4 9 et le nouveau résultat par i5, ou bien par 5 eC ensuite par 3 (puisque i5 est égal au produit de 5 par 3). Donc enfin , multiplier un nombre par un produit de deux ou de plusieurs facteurs, res^ienl à multiplier ce nombre succès-^ sivement par chacun des fadeurs^

28. Passons actuellement à la démonstration de ce principe général , que le produit de plusieurs nombres est toujours le même y dans quelque ordre qtCon effectue leur multiplication.

Reprenons les cinq facteurs quelconques

Il résulte du principe établi u** 26, que, dans les muhipli-

(*) Ce raisonnement esc analogne à celai que nons avons fait w^ 81 pour readrc compte <îc la multiplicaiion'par les dixaincs^ centaines, etc., du iiniltiplicaicnr.

3fi DE LA DIVISION.

cations iiiccessiTes, on peut faire passer )e facteur i56âla place du (acteur 49; mais on pourrait également le faire passer A la place du facteur 72 , puis à la place du facteur 35, pais euGn à la place du facteur a3. Par la même raison , le facteur 49 que l'on a déji fait passer à la place de i56, peut passera la gauche de 7a, puis à la gauche de 35, et ainsi de suite. On voit , en uu mot , que chaque facteur peut occuper toutes les places possibles dans l'ordre des multiplications successives, sans que le produit de tous ces facteurs cesse d'èlre le méiue. Donc, etc.

De la division.

S9. Diviser un nombre par un autre , c'est (n" 9) trouver un iroisitme nombre, qui, rrtultiplié par le second, reproduise le premier ; ou bien {11° SB), c'est trouver un troisième nombre tel, que le second multiplié par le troisième, reproduise le premier.

Ainsi la division a pour but : étant donnés un produit de deux facteurs et l'un de ces facteurs, déterminer Fauire; cette opération est donc l'inverse de la ni uUipIi cation.

Comme, dans une multiplication de nombres entiers, le produit se compose d'autant de fois le inukiplicande qu'il y a d'unités dans le multiplicateur, on peut encore dii-e que diviser un nombre entier par un autre , c'est chercher combien de fois l^ premier nombre, considéré comme produit, contient le second, considéré comme muUiplicaude ; ce nombre de fois est alors le multiplicateur. Enfin, on a encore vu (II" 9) que diviser un nombre entier par un autre, c'est partager le premier nombre en autant de parties égales qu'il jr a d'unités dans le second.

Ces deux derniers points de vue, sous lesquels on envisage quelquefois la division , ne conviennent rigoureusement qu'aux nombres entiers, tandis que la première définition convient â ton» les nombres possibles, tant entiers que fractionnaires- Toiitcroîs, les dénominations données aux termes d'une diiit été tirées des deux derniers points de vue.

Ainsi, le premier nombre s'appelle dividende (nombre h diviser ou à partager) ; le second s'appelle dis^iseur; et le troî- .sième se nomme quotient, du mot latin quoties, parce qu'il ex* prime combien de fois le dividende contient le diviseur.

Il résulte évidemment de ces définitions , que , lorsqu'on aura obtenu le quotient , pour faire la preuve de l'opération, // suffira démultiplier le diviseur par le quotient , ou réciproquement; et, si l'opération est exacte, on devra reproduire le dividende.

Réciproquement, dans la multiplication , le produit peut être considéré cpmme un dividende , le multiplicande comme le diviseur ou le quotient, et le multiplicateur comme le quo^ tient ou le <fiV/5ei/r; ainsi, l'on fera \^ preuve de la multiplication en divisant le produit par Vun des facteurs; et, si l'opé-^ ration est exacte, on devra reproduire Vautre facteur, ,

Ces notions établies , passons à l'exposition du procédé de la division.

30. De même que la multiplication peut s'exécuter par V addition de plusieurs nombres égaux entre eux , on pourrait aussi trouver le quotient d'une division par une suite de sous*tractions.

En effet , qu'il s'agisse , par exemple , de diviser 60 par 12 : autant de fois on pourra soustraire 121 de 60 , autant de fois la sera contenu dans 60 ; ainsi, le quotient est égal au nombre de soustractions qu'il faudra faire pour épuiser le dividende.

Dans cet exemple, comme on est obligé de faire 5 soustractions successives, il s'ensuit que le quotient est 5.

Mais cette manière d'obtenir le quotient serait trop longue dans la pratique , surtout si le dividende était très grand par rapport au diviseur. Ce qui

constitue essentiellement la règle de la division ; c'est un procédé spécial et abréviatif pour arriver au résultat chercfhé.

1" reste.

ta

51 . Dès que l'on connait de mémoire tous les produits de deux nombres d'un seul chiffre, ou la table de Pytkagore (a** 18), on peut J^^/erminer aisément /e quotient de la division dun nombre éCun ou de deux chiffres, pcar un nombre d'un seul chiffre, pourvu que ce quotient n^ail lui^-méme qu'un seul chiffre.

Par exemple , 35 divisé par 7 donne pour quotient 5 ; ou bien on dit : en 35 combien de fois 7? Il y est 5 fois (parce qu'on sait que 5 fois 7 donnent 35) ; ou bien encore : le 7* de 35 est 5 , parce que 7 fois 5 font 35.

Soit encore 68 à diviser par 9. Comme 7 fois 9 ou 63, et 8 fois 9 ou 72 , comprennent 68 , il s'ensuit que 68 divisé par 9 donne le quotient 7 pour 63 avec un reste 5 ; c'est ce qu'on exprime en disant : le 9* de 68 est 7 pour 63 , et il reste 5.

Pareillement, en 47 combien de fois 8? Il y est 5 fois; ou le 8* de 47 est 5 ; et il reste 7.

On verra plus loin ce qu'on doit faire du reste , lorsque le diviseur n'est pas contenu exactement dans le dividende.

52. Passons au cas où le dividende est composé de plus de deux chiffres, le diviseur n ayant encore qu'un seul chiffre.

D'après la liaison intime qui existe entre la multiplication et la division , il est naturel de chercher à déduire le proce'dé de cette dernière opération, de celui qui aétésuivi pour la maltiplicalion.

Pour cela, reprenons le premier exemple traité n" 19.

Il résulte de cette multiplication, que le produit 84^

59213 se compose de 7 fois les unités, 7 fois les 1

dixaines, 7 fgis les centaines, 7 fois les mille du 592i3 nombre 8459 ; ainsi ce produit est la somme des quatre produits partiels qui correspondent aux quatre chiffres du multiplicande. Donc réciproquement, étant donnés le produit 59213 et l'un dé ses facteurs, 7, pour retrouver l'autre facteur, il faut tâcher, au moins par la pensée, de décomposer 59213 dans les quatre produits partiels, des mille, Aef^cen^ tailles , des dixaines, et des unités de ce second fadeur niulu-

DE LA DIVISION. 3g

plié par le premier ; prenant alors le 7* de chacun de ces produits , et réunissant les quotients partit-ls, on obtiendra le quotient total ou le second facteur.

Voici comment on dispose l'opération :

On écrit le diviseur à la droite du dividende ; on les sépare par im trait vertical; puis on tire une barre horizontale audessous du diviseur.

Cela posé , on prend à la gauche du dividende les deux premiers chiffres for- ^210 mant Sg mille, qu'on regarde comme le premier produit partiel; et l'on dit: en 69 4'

combien de fois 7, ou plutôt (pour se con- "^

former à l'usage suivi , lorsque le diviseur ^

est d'un seul chiffre), le 7* de Sgest 8 pour 56 ; le quotient 8 ainsi obtenu exprime les mille du quotient total {*) et s'écrit sous le diviseur, comme on le voit ci-dessus; on retranche le produit 56 de 59 , ce qui donne pour reste 3 mille, qu'on doit regarder comme provenant de la retenue faite dans la multiplication des centaines du quotient par 7.

On abaisse à côté du 3 le chiffre 2 des centaines du dividende , ce qui donne 3a centaines , qu'on regarde comme le second produit partiel ; et l'on dit : le 7* de 32 est 4 pour 28 ; on écrit le chiffre 4 9 qui <loit exprimer les centaines du quotient, à la droite du chiffre 8 ; ensuite on retranche le produit 28 du disfidende partiel 32 , ce qui donne le reste 4 centaines, représentant les retenues faites dans la multiplication des dixaines du quotient par 7.

On abaisse à côté du nouveau reste 4» ^^ chiffre 1 des dixaines du dividende, ce qui donne 4 1 dixaines, et l'on dit:

(^) On pTOOverftit^ si ceJa était nécessaire , qae ce chiffre 8 est le véritablo hififre des mille du qaoticiit, en faisant voir qu^il nVst ni trop fort ni trop fuible. Or , il n^est pas trop fort , puisqae le prodait de 7 par 8000 , on 5booo, peut être soustrait du dividende total ; et il n^est pas trop faible, car )e prodait de 7 par 9000 est (J3ooo, nombre qui est plus grand que le divj- «iende, et ne pcntpAr conséquent en être soustrait.

4o D£ LA DIVISION.

le 7* de 4i est 5 pour 35 ; on écrit le chiffre 5 â la droite des Weux préce'dents, comme exprimant les dixaines du quotient; on retranche le produit 35 du dividende partiel ^i ; le reste

6 exprime les dixaines provenant de la multiplication des uni' tés du quotient par le diviseur.

Enfin , Ton abaisse a côté du chiffre 6 le chiffre 3 , et Ton dit : le 7* de 63 est 9 exactement; on écrit ce chiffre 9 à côté des trois précédents , comme exprimant les unités du quotient; on retranche le produit 63 du dividende partiel 63 ; et comme on obtient o pour reste , il s'ensuit que 8459 est le quotient demandé.

En effet, il résulte évidemment de toutes les opérations précédentes , qu'on a successivement retranché du dividende 59213, 7 fois 8 raille, 7 fois 4 centaines, 7 fois 5 dixaines,

7 fois 9 unités; et puisque , après toutes ces opérations, il ne reste rien , il s'ensuit que 69213 est égal au produit de 84S9 par 7, ou de 7 par 8469 ; ainsi , ce dernier nombre est bien le quotient cherché.

Soit, pour second exemple, à dii^iser ']5^q.6/\. par 8.

La première difficulté qui se présente ici , est de connaître la nature des plus hautes unités du quotient , et d'en déterminer le nombre. Pour y parvenir, observons que, si le premier chiffre à gauche du dividende était plus fort que le diviseur, ou lui était égal, le quotient total renfermerait alors des unités de même espèce que celles du chiffre que l'on considère dans le dividende ; cela est évident. Mais comme , dans cet exemple , le premier chiffre 7 est plus faible que 8, on doit en conclure que les plus hautes unités du quotient ne peuvent être que des unités de la nature du second chiffre à gauche dans le dividende. Alors, on prend les deux premiers chiffres formant 75 dixaines de mille, et l'on dit: le 8® de 75 est 9 pour 72; donc le quotient total renferme 9 dixaines de mille, puisqu'on peut soustraire du dividende 8 fois 9 ou 72 dixaines de mille; on écrit alors 9 sous le diviseur; on retranche le pro-

DK LA DIVlSIOKr. 4'

clait72 mi1l€, du diifidende partiel 75; le reste 3 qa'on obtient, provient des retenues de la multiplication des mille du quotient total par 8.

On abaisse à côté du reste 3 le chiffre suivant 4 du dividende, et Ton dit : le 8* de 34 mille est 4 pour 32 , et Ton écrit 4 sous le diviseur et à droite du chiffre 9 ; retranchant de 34 le produit 4 fois 8, ou 3a, on a pour reste 2, à côté duquel on abaisse le chiffre 2 des centaines du dividende ; puis on opère sur le nouveau dividende partiel 22, comme sur le précédent, et Ton .continue ces opérations jusqu'à ce qu'on ait abaissé le dernier chiffre 4 <lu dividende; on obtient ainsi pour le quotient demandé, 94^83.

Preus^e,

Dans la pratique , toutes les fois que le diviseur n'est que d'an seul chiffre , on abrège l'opération ainsi qu'il suit :

Soit, pour troisième exemple, à diviser 4^237324 par 6.

Après avoir souligné le 33^^ g

dividende , on du : le 6* de Z i

45 est 7 que l'on écrit au- quotient. . . 7639554

dessous de 45, et il reste 3 . ^ preuve.

qu'on réunit par la pensée 46^^7^^4

au chiffre suivant 2 , ce qui

donne 32; le 6^ de 32 est 5 qu'on écrit à la droite de 7, et il reste 2 qui, réuni au chiffre 3, forme 23 ; le 6* de 23 est 3 que l'on écrit à la droite des deux chiffres précédents, et il reste 5 qui, suivi du chiffre 7, donne 67 ; le 6* de 57 est 9 pour 54 , et il reste 3 qui , suivi du chiffre 3 , donne 33 ; le 6* de 33 est 5 pour 3o , et il reste 3 qui , &uivi du chiffre 2, donne 32 ; le 6* de 3a est 5 pour 3oj enfîn^ le 6* de a4 est 4* Donc le

4a DE Lk DIVISION.

quotient cherché est 7539554. En effet, si Tou multiplie ce dernier nombre par 6, on trouve pour produit , 452373a4*

Pareillement, le 8* du nombre 97^5647 | 8

est 1215705. . . 7

et il reste 7.

Preuve par la multiplication. 8

N, B. — Dans cet exemple, lorsqu'on 9725640 est parvenu au chiffre 7 àes centaines du 7

quotient, comme on n'obtient pas de 9725647 .reste , et que le chiffre suivant , 4 , est plus petit que 8 , cela indique qu'il n'y a pas de dixaines au quotient; alors on met un o pour en tenir lieu ; puis, faisant suivre le chiffre 4 du chiffre 7 des unités , ce qui donne 4? ' on dit: le 8"^ de 47 est 5, que l'on écrit à la droite du o, et il reste 7.

55. Venons au cas oii le disfidende et le diviseur sont cornposés de plusieurs chiffres.

Pour découvrir le procédé de l'opération , proposons-nous de multiplier les nombres 594 et 437 ; après quoi nous véri6erons le résultat au moyen de la division.

Il résulte de cette multiplication, que ^94

le produit 259578 se compose des trois 4^7

produits partiels du m ul tiplicande 594 par 4 ' ^^

les unités, les dixaines, et les centaines du 1 782

multiplicateur 437. Donc réciproquement , 2376

étant donnés le produit 259578 et l'un de aSgS^jS

ses facteurs 594, pour trouver le second facteur, ou le quotient de la division du premier nombre par le second , il faut tâcher de mettre en évidence dans le produit 259578, les trois produits partiels dont il se compose. La chose ne parait pas facile, à cause des réductions qui se sont opérées enti«e les chiffres dans l'addition des produits partiels; cependant on y parvient en raisonnant comme il suit:

Le produit partiel de 5^4 P^r 1^ ceii'- f: k ti f^r^f

(aines du quotient ne pouvant donner ^^' —2-?

moins que des centaines, se trouve néces- i 4^7

sairement compris dans les aSgS centaines 2 1 978

du dividende. Cela posé, je dis que, si l'on 1 78a

cherche le chiffre qui ex prime le plus grand FTa

nombre de fois que 5g4 ^^^ contenu dans ^

2595, ce chiffre sera celui des centaines z!.

du quotient total. 0000

D'abord, ce chiffre n'est pasplusfort que le chiffre des centaines, puisque son produit par 594, donnant un nombre plus petit que aSgS centaines, le quotient total est au moins égal à autant de fois 100 qu'il y a d'unités dans ce chiffre. £n second lieu , ce chiffre n'est pas plus faible que le chiffre des centaines, puisque, si ou l'augmentait seulement d'une unité, le produit du nouveau chiffre par 694 donnerait au moins 2696 centaines, et ne pourrait par conséquent être soustrait du dividende sSgS^S -, ainsi , ce chiffre doit être celui des centaines du quotients

La difficulté , pour déterminer le chiffre des centaines du quotient, consiste donc à chercher combien de fois aSgS contient 594* ou, ce qui revient au même, à chercher le chiffre qui, multiplié par Sg^ ^ donne le plus grand produit contenu dansaSgS. On pourrait d'abord obtenir ce chiffre en soustrayant successivement et autant de fois que possible , 694 de aSgS; mais on simplifiera cette recherche en observant, d'après la règle (n^ 19) de la multiplication d'un nombre de plusieurs chiffres par un nombre d'un seul , que %5 est , à quelques unités près provenant des retenues , le résultat de la multiplication du chiffre 5 de 694 9 par le chiffre cherché. Or, â Ton divise 2S par 5, on obtient pour quotient 5, qui est évidemment un chiffre trop fort : car, dans la multiplication de 594 par 5 , le produit de 9 par 5 est ^S dixaines , ce qui donne 4 centaines à reporter sur le produit de 5 par 5 ou 25. Essayons donc 4 ; le produit de 694 par 4 est 2876, nombre qui est plus petit que 2695 , et qu'on écrit alors au-dessous de ce dernier

44 ^E ^^ Divisiopr.

nombre; ainsi, 4 est le véritable chiffre des centaines da quo* tient; c'est pourquoi on Te'crit sous le diviseur, comme on le voit ci-dessus. (On voit d'ailleurs que 2876 est ]e y produit partiel qu'on a obtenu en multipliant 694 par 4^7-)

Soustrayant 2876 de 2695, et abaissant à côté du reste 219 les chiffres suivants du dividende , on a 21978 , nombre qui se compose encore de la somme des produits partiels de 694 pa^^ les dixaines et par les unités du quotient.

Pour obtenir les dixaines, on raisonnera comnve précédemment. Le produit de 694 par des dixaines , ne pouvant donner d'unités d'aucun ordre inférieur à celui des dixaines, se trouve nécessairement dans les 2197 dixaines du nouveau dividende ; et si l'on cherche le chiffre qui exprime le plus grand nombre de fois que 694 est contenu dans 2197, ce chiffre sera celui des dixaines du quotient. D'abord, il n'est pas trop fort y puisque son produit par 694 pouvant être soustrait de 2197 dixaines, le quotient est au moins égal à autant de dixaines qu'il y a d'unités dans ce chiffre. Ensuite, il n'est pas trop faible y puisque, si on l'augmentait seulement d'une unité , le produit du nouveau chiffre par 594 donnerait au moins 2198 dixaines et ne pourrait plus être soustrait du dividende 21978.

Voyons donc combien de fois 2197 contient 694, ou plutôt, d'après l'observation faite ci-dessus, combien de fois 21 contient 5. On trouve 4 ; mais dans la multiplication de 594 ^^ 4> le produit de 9 par 4 est 36, ce qui donne 3 centaines à re* porter sur le produit de 5 par 4^ ou 20 ; ainsi 4 est trop fort. Essayons 3 ; le produit de 694 par 3 est 1782, nombre plus petit que 2197 (on l'écrit alors sous 2197) : ainsi, 3 est le chiffre des dixaines du quotient ; et on le place à la droite du chiffre 4 <léjà trouvé. (Le produit 1782 est d'ailleurs le 7,* produit partiel de la multiplication de 594 par 437*)

Soustrayant 1782 de 2197, et abaissant à côté du reste 4'^ le chiffre 8 du dividende , on obtient 4i58, nombre qui repré* sente le produit partiel de 694 par les unités du quotient.

Cherchant enfin combien de fois 4i58 contient 594, ou plutôt, combien de fois ^\ contient 5^ on trouve 8 ; mais 8 est trop

fort, comme \l est aise de le voir; essayons 7 : le produit de 594 par 7 est 4(^9 nombre qui , soustrait de la partie res*^ tante du dividende , donne pour reste o ; ainsi 7 est le chiffre des unités du quotient; donc 437 est le quotient demandé.

£n effet, il résulte évidemment des opérations précédentes, qu'on a soustrait successivement du dividende 269578 les produits partiels de 594 par 4 centaines, 3 dixnines, 7 unités; et puisque , après toutes ces opérations , il ne reste rien , il s'ensuit que 269678 est égal au produit de 694 par 437.

34. Soient maintenant deux nombres, 3844637 e/ 667, /im au hasard; etproposons-nous de diviser le premier par le second,

La première difficulté que présente cette opération , consiste à déterminer V ordre des plus hautes unités du quotient , et le nombre de ces plus hautes unités. Il est d'abord évident que, si l'on prenait à la gauche du dividende autant de chiffres qu'il y en a dans le diviseur, c'est-à-dire trois , et que l'ensemble de ces chiffres contint le diviseur, le quotient cherché aurait des dixaines de

53o mille; mais comme il n'eu est pas ainsi

dans cet exemple , le quotient renferme au plus des unités de mille; il en contient au moins une, puisque le produit de 657 par 1000, ou 667000, est évidemment plus petit que le dividende ; ainsi, nous sommes certains déjà que le quotient se compose de «77sz7/e^ centaines, dixaines, ^t unités.

Pour trouver les mille , remarquons que le produit de 667 par des mille, ne pouvant donner moins que des mille, se trouve nécessairement dans les 3844 ^Ulc du dividende ; et si l'on cherche le chiffre qui exprime le plus grand nombre de fois ([ue 667 est contenu dans 3844? ^^ chiffre sera celui des mille du quotient. D'abord, ce chiffre n'est pas trop fort, puisque son produit par 667 donnant moins que 3844 ^^^^9 peut être soustrait du dividende , et qu'ainsi , le quotient est au moins égal à autant de fois 1000 qu'il y a d'unités

4& UK LA Division.

dans ce chifire ; il n'est pas irop faible , car si on raugmentait seulement d'une unitc, le produit par 667 donnerait au moins 3845 mille , et ne pourrait être soustrait du dividende.

Cherchons donc combien de fois 3844 contient 6S7, ou simplement^ comtâen de fois 38 contient 6. On trouve 6 ; mais 6 est trop fort : car dans la multiplication de 667 par 6, le produit de 5 par 6 est 3o , ce qui donne -3 centaines à reporter sur le produit de 6 par 6 ou 36. Essayons donc 5 ; le produit de 65^ par 5 est 3285 (qu'on écrit au-dessous de 3844) ; ^^ l'<>" place 5 an quotient, comme exprimant les mille du quotient total.

Soustrayant 3^85 de 3844 9 ^^ abaissant à côté du reste 669 les autres chiffres du dividende, on obtient 55g637, nombre qui se compose encore des produits partiels de 667 par les centaines, les dixaines, et les unités du quotient, et sur lequel il faut par conséquent raisonner et opérer comme sur le dividende primitif.

Pour obtenir les centaines, on prend les 55g6 centaines du nouveau dividende; et l'on cherche combien de fois SSgô contient 657, ou simplement, combien de fois 55 contient 6. On trouve 9 pour quotient ; mais q est évidemment trop fort. Essayons 8 : le produit de 657 par 8 est 5256 , nombre plus petit que 55g6 ; ainsi , 8 est le chiffre des centaines du quotient; écrivons ce chiffre à côté du chilTre déjà trouvé, et plaçons d'ailleurs le produit 5256 sous 5596 , pour soustraire le premier nombre du second.

Effectuant cette nouvelle soustraction, et écrivant à côté du reste 34o, les autres chiffres 37 du dividende, onobtient34o^7i nombre qui contient encore les produits partiels de 657 par les dixaines et les unités du quotient.

Divisant 34o3 par 667, ou plutôt 34 par 6 , on trouve 5. Le produit de 667 par 5 est 3285, nombre plus petit que 34o3 ; ainsi, 5 est le chiffre des dixaines, et on l'écrit à la droite des deux précédents ; puis on place le produit 3^85 sous 34o3, et l'on fait cette nouvelle soustraction.

Écrivant a côté du reste 1 18 le dernier chiffre 7 du dividende,

DE LA D1VISI02V. -^rj

on obtient 1 187, nombre qui contient évidemnient 65^ une fois; ainsi 1 est le chiffre des unités du quotient, et on le place à la droite des trois précédents ; ce qui donne 585 1 pour le quoUent demandé.

Soustrayant d'ailleurs 657 de 1187, on trouve pour reste 53o, ce qui indique que le dividende proposé est compris entre le produit de 657 par 585 1 et celui de 657 par 5852.

On peut d'ailleurs.Téhfier Topcration, en multipliant 657 par 585i , ou 585] par 657, et ajoutant au produicle reste 53o.

Voici les détails de cette preuve %

40957 29255 35io6 53o

A' . B, — On peut observer que , dans le cours des opérations, il suffît de descendre à côté de chaque reste le chiffre suivant (lu IdiTÎdende ; et Ton continue ainsi jusqu'à ce qu'on les ait abaissés tous.

55. La détermination de chaque quotient partiel d'après le moyen indiqué jusqu'à présent, exige un tâtonnement plus ou moinslong ; et encore n'est-on bien sûr de l'exactitude du chiffre essayé, qu'après que l'on a*pu soustraire du dividende partiel le produit du diviseur par ce chiffre.

Il existe toutefois un moyen de s'assurer si le chiffre qu'on essaie est bon, avant d'entreprendre la soustraction dont nous venons de parler. Ce moyen consiste à diviser par la pensée le dividende partiel par le chiffre, en opérant comme dans le 3* exemple du n® 52, à pousser celle opération tant que les chiffres obtenus au quotient de cette division mentale , sont les mêmes que les chiffres correspondants du diviseur proposé, et à s'arrêter du moment ou Vun des chiffres obtenus

est plus grand ou plus petit que le chiffre correspondant du diviseur. Si le chiffre obtenu est plus grand, nul doute que le chiffre essaye' ne soit bon; si le chiffre obtenu est plus petit, on peut également affirmer que le chiffre essayé est trop fort; on le diminue alors d'une unité; puis on opère sur le nouveau chiffre comme sur le précédent.

Soit, pour exemple, à diviser 137836 par i583.

Le premier dividende partiel étant 137836 i583 13783, on est conduit à dire : en i3 com- 12664 87 bien de fois i? i3 fois. Mais le premier \

quotient partiel ne pouvant être que 9 au ^

plus, il faut essayer 9; et pour cela, on

dit : le 9* de 1 3 est i pour 9, et il reste 4 ; ii5

le 9* de 47 est 5 pour 4^9 et il reste 2; le 9* de 28 est 3 , chiffre plus petit que le 3* chiffre 8 du diviseur proposé ; donc 9 est trop fort , car le 9* de 13783 étant moindre que ce diviseur, on ne peut soustraire 9 fois celui-ci du dividende partiel. Essayons maintenant 8; or, le 8* de i3 est I pour 8, et il reste 5; le 8* de 67 est 7, chiffre plus grand que le 2* chiffre 5 du diviseur proposé ; ainsi le chiffre 8 est bon, puisque, le 8* de 13783 surpassant le diviseur proposé, on peut soustraire 8 fois ce diviseur du dividende partiel.

Multipliant i583 par 8 et soustrayant le produit 12664 du dividende partiel, on obtient pour reste, 1119, et pour second dividende partiel, 1 1 196.

On dit ensuite : en 1 1 combien de fois i? 11 fois; mais il est évident que le 2* quotient partiel ne peut être que 8 au plus , puisque le nouveau dividende partiel est moindre que le premier. Essayons donc 8 ; or, le 8* de 1 1 est 1 pour 8, et il reste 3 ; le 8* de 3 1 est 3 , chiffre plus petit que le 2* chiffre du diviseur proposé; d'où Ton conclut que 8 est trop fo^h puisqu'on ne saurait soustraire 8 fois ce diviseur du second dividende partiel. Essayons maintenant 7 ; or, le 7' de n est 1 pour 7, et il reste 4; le 7* de 4i est 5 pour 35, et il reste 6; le 7* de 69 est 9, chiffre plus grand que le 3* chiffre 8 du diviseur primitif; donc le chiffre "7 est bon, puisque le 7* de

- DE LA Division. /[q

II 196 étant plas {»Tand que 1583^ on peut soustraire 7 fois ce dernier nombre de 1 1 1«^.

Maliipliant i583 par 9 et soustrayant le produit 11 081 de II 1 g6, on obtient pour reste 1 1 5, et pour quotient cherché , 87 •

N. ^.'— Quand on est obligé de pousser l'essai j usqu'au chiffre des unités du premier ordre, il en résulte cet arantage, que la soustradion se trouve toute faite.

x^insi, pour diviser 12670 par i583, après avoir constaté que 9 serait trop fort, on essaie 8 en disant : le 8' de 12 est i pour 8 , et il reste 4 ; l^ &* ^^ 4^ est 5 pour 40 > et il reste 6 ; le 8* de 67 est 8 pour 64 et il reste 3 ; le 8* de 3o est 3 pour 24 > et il reste 6.

On reconnaît donc à la fois que le quotient est 8 , et que le reste de la soustraction est 6 ; c'est-à-dire que le dividende contient 8 fois le diviseur, et en outre 6 unités.

36. Règle générale.— Pour diviser deux nombres en tiers Tun par l'autre, écrirez le diviseur à la droite du dividende; séparez-' les par un trait vertical; et tirez une barre au-dessous du diviseur.

Gela fait , prenez à la gauche du dividende autant de chiffres qu'il jr en a dans le diviseur, ou un de plus si V ensemble de ces premiers chiffres est plus petit que le diviseur ; vous ob« tenez ainsi uif premier dividende partiel dont le chiffre à droite exprime des unités de même ordre que les plus hautes unités du qiA>tient. Cherchez (n^ 3) combien de fois ce dividende partiel contient le diviseur. Ce quotient obtenu, écrivez*le sous le diviseur; multipliez le diviseur par ce chiffre, et soustrajrez Reproduit, du premier dividende piurUeL

Abaissez à côté du reste le chiffre suivant du dividende, ce qui donne Dif second divioinde partiel. Cherchez , comme précédemment, combien défais ce second dividende partiel contient le diviseur, et élevez ce nouveau quotient à la droite du premier; multipliez ce diviseur par ce second quotient , et retranchez le produit, du second dividende partiel.

Abaissez à côté de ce second reste le chiffre suivant du di^ vidende, ce qui donne un troisième dividende partiel, surle^ quel vous opérez comme sur les précédents,

Ariik. B. / 4

5o DE lA DlVISIOlf.

Continuez celle série d'opéraiions jusqu^à ce que vous ayez abaissé le dernier chiffre , en ayant soin, à chaque opé" ration 9 décrire le quotient que vous obtenez j à la droite des précédents, afin de donuer à ceux-ci leur Yéri table valeur. Si, après toutes ces opérations, il ne reste rien, la division est dite exacte. Si vous obtenez un reste, vous l'ajoutes, dans la preuve , au produit du diviseur par le quotient trouvé.

57. Après s'être bien familiarise avec les diverses parties de ce procède' , on peut encore abréger beaucoup les opérations partielles, en effectuant les multiplications et les soustractions tout à la fois, comme on va le voir dans l'exemple suitant qui est un des plus difficiles qu'on puisse se proposer.

Diviser 9689475 par 2789.

Je prends d'abord les quatre premiers cbiffres à gaucbe du dividende, puisque leur ensemble contient le diviseur; et je divise 9689 par 2789 , ou simplement 9 par a ; il vient 4

pour quotient; mais il est aisé de voir

( n* M) que ce chiffre est trop fort. J'es- ^ ^^ saie donc 3, qui est le véritaUe chiffre 9 Lpo

car le tiers de 9 est 3, chiffre plus .^

grand que le premier chiffre 21 du di- '^

viseur.

Cela posé , au lieu de multiplier 2789 par 3 et d'écrire le produit sous 9639, pour en faire la soustraction , j'opère ainsi qu'il suit : je dis 3 fois 9 font 27 ; ôtez 27 de 9 (dernier chiffra a droite de 9689) , cela ne se peut ; je suppose 9 augmenté de 2 dixaines, ce qui donne 29 , et je retranche 27 de 29; il ^^^ que j'écris au-dessous de 9689, après avoir souligné ce oss^ nier nombre. Observons maintenant que les 2 dixaines ajoutée 809t censées avoir été empnintées sur le chiffre 3, ^^^ vaut plus que 1 ; mais (n* i4) il revient évidemment au mcfflc» et cela est plus commode, de retenir les 2 dixaines pour joindre au produit des dixaines du diviseur par le quotient ) et pour soustraire le tout, des dixaines du dividende 90^» prises en totalité»

Je dis donc ensuite 3 fois 8 font 24, et 2 de retenue font *'^

DE LA DIVISIOPT. 5t

26 de 3, cela ne se peut; mais empruntant 3 centaines sur le chiffre des centaines du dividende partiel , j'obtiens 33, et je soustrais 26 de 33 ; il reste 7, que j'écris sous le 3 du dividende partiel; je retiens d'ailleurs les 3 centaines.

3 fois 7 font 21 y et 3 de retenue font 24 > ^4 ^^ ^y ^^^^ "^ *^ peut; mais 24 ^^ ^^9 i^ reste 2, que j'écris sous le 6 du dividende partiel; et je retiens 2 mille.

Enfin, 3 fois 2 font 6, et 2 de retenue font 8 ; 8 de g, il reste 1 , que j'écris sous le 9.

Il reste donc 1272 ; à côté de ce nombre j'abaisse le cliifFre 4 du dividende ; ce qui donne le second dividende partiel \%^tl^ , sar lequel j'opère de la même manière.

En 12724 combien de fois 2789, ou en 12 combien de fois 2? Il y est 6 fois; or 6 et même 5 sont trop forts , comme il est aisé de le reconnaître (n° 51S) ; mais 4 est bon, et j'écris 4 AU quotient à la droite du 3 ; et je dis 4 ^o^s 9 font 36 ; 36 de 4 9 ^^^^ ^'^ se peut; mais 36 de 44 > il.reste 8» que j'écris au--dessous du 4) et je retiens 4*

4 fois 8 font 32, et 4 de retenue font 36; 36 de 2, cela ne se peut ; mais 36 de 4^, il reste 6, que j'écris au-dessous du 2, et je retins 4*

4 fois 7 font 28, et 4 de retenue font 32 j 32 de 37, il reste 5, que j'écris sous le 7, et je retiens 3.

Enfin , 4 ^^^ ^ ^^^^ ^' ^^ ^ ^^ retenue font 1 1 ; 1 1 de 12, il reste i, que j'écris sous le 2.

Le reste de cette nouvelle opération est i568> à côté duquel j'abaisse le chiffre suivant du dividende; j'ai 15687 pour troisième dividende partiel , sut lequel j*opère de la même manière, ainsi que sur les suivants; et j'obtiens enfin pour quotient, 34^6, avec le reste 691.

Voici le tableau des opérations pour un nouvel exemple s

52 DX I^ DIY1SI0I*.

38. Première remarque sur la division. — Ce deriûei' exemple donne liea à une obsciration importante :

Après avoir troavé pour premier quotient 5, et pour premier reste i473 , on abaisse à côté de ce reste le chiffre suivant, ce qui donne pour second dividende partiel 14739. Or, ce dividende partiel ne contient pas le diviseur ; donc le quotient total n'a pas de centaines, puisque, s'il en avait seulement une j son produit par 89837 devrait pouvoir être soustrait du dividende partiel 14739; ce qui n'a pas lieu. Mais pour conserver au chiffre 5 du quotient la valeur qu'il doit avoir, il faut écrire au quotient un o qui tienne lien des centaines; et abaissant ensuite à côté de 14789 le chiffre suivant 6 du dividende, on continue Topera tion ; ce qui donne successivement le chiffre des dixaines et le chiffre des unités.

En général, toutes les fois qu'en abaissant à côté d^un reste, le chiffre suivant, on obtient un nombre moindre que le diviseur, cela indique que le quotient n'a pas d'unités de l'ordre du chiffre abaissé; alors on met au quotient un 0, pour tenir la place des unités qui manquent, et donner ainsi aux chiffres significatifs déjà trouvés, leur valeur relative. On abaisse ensuite à côté de ce dividende partiel, un nouveau chiffre, et Von continue l'opération.

Z9, Seconde remarque, - Lorsqu'une opération partielleaeté bien faite, c'est^-à-dire lorsque le chiffre du quotient, relatif à cette opération , a été exactement déterminé, on ne peut pas, dans l'opération suivante , trouver plus de 9 au quotient: car supposer que l'on put obtenir seulement 10 , ce serait supposer que le chiffre précédent est trop faible d'une unité.

Il existe d'ailleurs un signe certain auquel on reconnaît qu'un chiffre du quotient est bien déterminé ^ c'est lorsqu'on soustrayant le produit partiel du diviseur par ce chiffre, on obtient un reste moindre que le diviseur. Si ce reste est supérieur ou égal au diviseur, il faut augmenter d'une unité le chiffre trouvé d'abord.

40. Gomme, dans les trois premières opérations de rArit"' i métique^ les calculs s'effectuent à commencer parla droite f

o£ LA Divisioir. 53

il est naturel de demander pourquoi , dans la division , ou i'ommeuce au contraire par la gauche. Pour répondre à cette ({aestion , il &ut observer que , le dividende étant la somme des produits partiels du diviseur par les unités ^ les dixaifies, les centaines, etc. , du quotient, tous ces produits partiels se fondent les uns dans les autres ; et il n'est pas possible de mettre d'abord en évidence le produit du diviseur par les unîtes, le produit par les dizaines, etc. ; tandis que, d'après le procédé indiqué précédemment, on détermine survie* champ dans quelle partie du dividende se trouve le produit parles unités les plus fortes .

(Au reste, on pourrait commencer l'opération par la droite, eo Teffectuant par des soustractions successives, comme on l'a indiqué n» 30) (♦).

41. Donnons maintenant quelques usages de la multiplication et de la division.

Première question. — On demande le prix de 2564 ^^^f^^ dun certain ous^rage, en supposant que le mètre coûte ^^^ francs.

Puisque chaque mètre coûte 47 francs, il est clair qu'en répétant cette valeur a564 fois , on aura le prix des 2564 "hêtres . Ainsi il suffit d'effectuer le produit de 47 pstr 2564, ^^ plutôt (n** 95) le produit de 2564 P^** 47 \ ^^ Voi\. obtiendra le nombre de francs demandé.

On a pour ce produit , 1 2o5o8 ; donc, 2564 mètres ont coûté i2o5o8 fr.

^) NoQS ajouterons eacore la remarque suivante :

P(Mir peu qu'on réfléchisse sar le proce'dé général Je la division et sur les exemples qui ont seryi à Tcxpliquer, on est conduit h cette conséquence ,.qne ^ Quels que soient le dividende et le diviseur, le nombre total des chiffres du quotient est égal au nombre plus vv des chiffres du dividende ^ <fuise trouvent h la droite du premier dividende partiel; poisqne le premier dividende partiel donne un chiffre an quotient, et que chacun des chiffres que Ton abaisse ensuite dans le dividende en donne un nouveau.

En d'autres termes, ce nombre total est égal à la différence entre le nombre des chères du dividende et le nombre des chiffres dit diviseur, ou bien, h cette différence plus un, suivant que le premier dividende partiel « un chiffre de plus ou le même nombre de chiffres que le divisenir*

54 DE LA Division.

Seconimb question,-— iLe mètre dun certain ou\frage en maçon» nen'e coule Z^ francs) on demande combien on fera construire de nôtres pour 83g5 francs»

Il est clair qu'autant de fois 89 sera contenu clans SSgS, autant de mètres on pourra faire construire ; ainsi , il suffit de diviser SSgS par 39 ; et le quotient qu'on obtiendra sera le nombre de mètres demandé.

Comme on obtient , outre le quotient 21 5, un reste 10, il faut savoir l'usage qu'on doit faire de ce reste.

Observons que, si le dividende renfermait i o francs de moins, il serait le produit exact de 39 par 2 15 ; ainsi , le nombre de mètres demandé serait 2 1 5 ; mais comme on a i o francs de plus, il s'agit de déterminer la fraction de mètre qu'on peut faire construire avec ces 10 francs.

Or, avec un franc, on aurait évidemment ■^- de mètre,

puisqu'on a un mètre pour 39 francs ; donc avec 10 francs, on doit avoir 10 fois ^ ou -^ de mètre (vojrez n® B)'; ainsi 2i5

mètres plus x- de mètre forment le résultat demandé.

Tel est, en général, l'usage qu'on doit faire du reste d'une division , lorsqu'en effectuant cette opération , on a en vue de résoudre une question relative à des nombres concrets :

On conçoit l^ uni té du quotient (dont la nature est toujours déterminée par l'énoncé de la question ) divisée en autant de parties égales quU jr a d* uni tés dans le diviseur; on prend Tune de ces parties autant de fois qu'il j a d unités dans le reste de la division ; puis on ajoute la fraction qui en résulte au nombre vnticr déjà obtenu.

Taoisième question. — On a pajré^i^'jSJ'r, pour 896 mhues d'une certaine étoffe ) on demande le prix du mètre de cette étoffe.

Si l'on connaissait le prix du mètre ^ en le répétant 895 fois , on devrait reproduire 21478 francs ; ainsi , il suffit encore de diviser 21478 par SgS.

Comme le dividende, outre le produit de 89$ par 23, contient encore 893 francs , il s'ensuit que le prix du mètre est 23 fr., plus une fraction qu'il s'agit de de'terminer.

Pour y parvenir, remarquons que -^-^ re'pété 895 fois,

donne 1 ; ainsi, ^^ répété 89^ fois , donne 893 ; et par coiw

8q3 séquent, 23 plus ^^ est un nombre qui, multiplié par 89S,

reproduit 21478. Donc enfin , le prix demandé est 23 francs

plus ~^ de franc.

Ce résultait s'accorde avec la règle établie dans l'exemple précédent.

Quatrième queStioit. — • Supposons que 498 personnes aient à partager également une somme de 1 348708 francs ; on demande l4^ part^ qj^i res^ient 4 chacune.

2708^- ift

Le quotient de cette division étant 2708 , et le reste 124 , on peut déjà conclure que , si la somme à partager était diminuçe

56 D£ L4 DlTlSiON.

d« 1 24 francs, chaque personne aurait pour sa pari, 2708 francs.

Mais comme la somme renferme ia4 francs de plus que le

produit de 2708 par 498, il s'ensuit que chaque personne doit

avoir 2708 francs, plus une partie des 124 francs. Pour se

former une idée de cette partie, on peut d'abord considérer le

nombre 124 comme uw Toirr qu'il faut diviser en 498 parties

égales; et tune de ces parties est la fraction qui doit compléter

le quotient; mais il est plus simple (n"* 8 ) de concevoir Vunité,

qui est ici le franc , divisée en 498 parties égales appelées

498'""', et de prendre 124 de ces parties , ce qui donne 7-g

pour la fraction à ajouter au quotient entier.

49. A^ /?. — Ce dernier exemple nous conduit à uneremarque dont nous ferons souvent usage ; c'est que , diviser le nombre 124 en 498 parties égales, revient à prendre 124 fois la 49^' partie de l'unité. £n effet, si, au lieu de 124» on avait seulement i à diviser en 49^ parties égales , chaque partie

serait 7-^ ; maïs comme le nombre à partager est X94 iois

plus grand , on conçoit que le résultat du partage doit être

124 fois plus grand, ou égal à 124 fois 7-g , ou bien enfin,

De même, diviser 1 5 en 28 parties égales , revient à prendre i5 fois la 28* partie de l'unité. Car, si Ton avait seulement 1

à diviser en 28 parties égales, chaque partie serait égale à -g ;

mais comme on a à partager lâT, ou un nombre i5 fois plus

grand , le résultat doit être égal à i5 fois -^, ou à -g.

En général , diviser un nombre en, autant de parties égales quiljr a d'unités dans un autre, revient à diviser r unité en autant de parties égales qu'il y a d unités dans le second,, ci à prendre fune de ces parties autant de fois qu'il j a d' unîtes dans le premier, ,