PRINCIPES SUR ^A MULTIPLICATION ET LA DITISION. S

Autres principes sur lu multiplication et la division.

43. Des propositions démontrées n*** SIS. . . .§8, on déduit quelques conséquences qu'il est bon de faire connaître , parce qu'elles sont d'un usage continuel en arithmétique.

Observons avant tout que^ diaprés les définitions mêmes de la multiplication et de la division des nombres entiers, on rend un nombre entier autant défais plus grand ou plus petit qv^il y a d'unités dans un autre , en multipliant ou divisant ie pre^ mier nombre par le second.

Ainsi y lorsqu'on multiplie 24 par 6, le produit i44qtt'oti obtient est 6 fois plus grand que 24» puisqu'il résulte de l'addition de 6 nombres égaux à 24 • De même, si l'on divise 24 par 6 y le quotient 4 est 6 fois plus petit que 24 9 puisque ce quotient répété 6 fois , reproduit 24*

Gela posé, je dis d'abord que si, dans une multiplication, en rend h multiplicande ou le multiplicateur un certain nombre de fois plus grand ou plus petit, le produit est , par ce changemeut , rendu le même nombre de fois plus grand ou plus petit.

Soit, par exemple , à multiplier 47 par 6 , et supposons qu'an lieu d'effectuer cette opération, on multiplie 47 par 24» qui est 4 fois plus grand que 6 ; comme , d'après ce qui a été dit n** 26, multiplieif 47 P^^ ^4 revient à multiplier 47 par 6 et le produit obtenu par 4 9 tl s'ensuit que le produit de 47 par a4 est ^l à 4 fois le produit de 47 par 6 , ou bien , est 4 fois plus grand que le produit de 47 par 6.

Réciproquement , le produit de 47 par 6 (qui est le quart de 24) étant six fo& plus petit que le produit de 47 par 24 9 il s'ensuit que si l'on rend le multiplicateur 4 fois plus petit , ou si on le divise par 4 » le produit est , par ce changement , rendu 4 fois plus petit.

On a vu d'ailleurs ( n*' 2^ ) que , dans une multiplication de deux facteurs , on peut intervertir l'ordre des deux facteurs ; donc ce qui vient d'être dit par rapport au multiplicateur,^ s'applique également au multiplicande ; donc, etc. . * . .

58 PRIHGIPES SDR LA ]fin<TlPUCAT10If ET LA DIVISION.

Il résulte de là qu'on ne change pas la valeur d'un produit, en rendant le multiplicande un certain nombre de fois plus grand, pourvu qiCon rende en même temps le multiplicateur le même nombre de fois plus petit , c'est-à-^ire en muliipliant le premier facteur par un certain nombre, et divisant le second par le même nombre : car, d'après ce qui Tient d'être dit, il y a évidemment compensation; c'est-à-^dire que la seconde opération détruit l'effet de la première.

C'est sur cette dernière conséquence que se fonde un moyen quelquefois employé pour vérifier la multiplication.

Soit 347 à multiplier par 72. Multiplier 347 P^^ 7^ revient à multiplier 2 fois 347, ou 694 9 par la moitié de 72, ou par 36. Ainsi , après avoir multiplié 347 par 72 , on peut ensuite multiplier 694 par 36 ; et si la première opération est juste, on doit retrouver le même nombre.

Maintenant , puisque , dans la division , le dividende est un prodqit dont le diviseur et le quotient sont les deux facteurs, il s'ensuit que , si F on rend le dividende un certain nombre de fois plus grand ou plus petit, c'est-à-dire si on le multiplie ou si on le divise par un certain nombre entier, le quotient est, par ce cbangement, multiplié ou divisé par le même nombre.

En effet , comme, après le changement, le quotient multiplié par le diviseur doit reproduire un dividende un certain nombre de fois plus grand ou plus petit que le premier, il faut nécessairement , le diviseur restant le même, que le quotient soit ce même nombre de fois plus grand ou plus petit.

Au contraire, si, sans altérer le dividende, on rend le diviseur un certain nombre de fois plus grand ou plus petit t le quotient est par^là rendu ce nombre de fois plus petit ou plus grand : c'est en effet la seule hypotbèse admissible pour que la multiplication donne le même produit ou le même c!i<vidende.

Donc, en multipliant ou divisant le dividende et le diviseur par un même nombre, on ne change pas le quotient; puisque si, par 1^ changement fait sur le dividende , on multiplie ou divise

DES FRAGTlOfis. Sq

le quotient par un certain nombre, le second changement rend le re'sultat le même nombre de fois plus petit ou plus (|[rand , et qu^ainsi il y a compensation.

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