CHAPITRE IL

Des Fractions.

44. On a déjà vu (n^* i et 8) ce que c'est qu'une fraction , et

quelle idée on doit s'en former. On distingue toujours deux

termes dans une fraction , le dénominateur et le numérateur.

Le dénominateur indique en combien de parties égales V unité

est divisée, et le numérateur, combien on prend de ces parties;

Tensemble des parties que Ton prend constitue la fraction.

Ainsi y dans la fi-action j , qu'on énonce trois quarts, 4

est le dénominateur et indique que Tunité est divisée en 4 parties égales ; 3 est le numérateur et indique qu'on prend

3 de ces parties. De même la fraction — , que Ton énonce

onze douzièmes , exprime 1 1 parties de l'unité supposée divisée en 12 parUes égales.

,3 On a vu également (n^ 42) qu'une fraction telle que —p est

équivalente à la i5* partie du tout exprimé par i3 ; c'est-à-dire (^une fraction peut encore être considérée comme le quotient de son numérateur divisé par son dénominateur; en sorte que treize fois le quinzième de l'unité, ou treize quinzièmes, et la quinzième partie de treize, ou treize divisé par quinze, sont des expressions identiques.

4tt. De la définition que nous venons de donner du numérateur et du dénominateur , résultent évidemment les conséquences suivantes :

bo PRINCIPU FONDAMEIITAUX

1°. «Si, fans altérer le dënominateur d'une fraction, on multiplie ou divise son numéraieur par un nombre , la nou^ yelle fraction sera ce nombre de fois plus grande ou plus pe^ tite que la première.

En effet , lorsqu'on multiplie le numérateur par s , 3, 4 v> on indienne par là qu'on prend a , 3 , 4 9* • • ^^^^ P^^^ ^^ parties; et, comme les parties sont les mêmes , la nouvelle fraction est

a» 3, 4"* ^^^ P'^ grande. Ainsi, soit la fraction -^; il est

clair que -^j -7, ~^, . . ., sont des fractions a, 3, 4 9 * * * ^^^'

plus grandes que la première.

Au contraire , en divisant le numérateur par a , 3 , 4 * ** > ^^

indique que l'on prend a, 3, 4»« * • ^^^^ moins de parties;

3 a donc, etc.... Ainsi, -7, -s, sont respectivement a, 3 fois

plus petits que -3.

2^. Si, sans altérer le numérateur, on multiplie ou divise le dénominateur d^une fixtction par un nombre, on divise ou multiplie la fraction par ce nombre.

En effet, lorsqu'on multiplie le dénominateur par a , 3 , 4«*m on indique que l'unité est divisée en 2, 3, 4f« fois plus de parties égales ; les nouvelles parties sont donc a , 3 , ^^...i6)& plus petites; et comme on prend toujours le même nombre de ces parties, il s'ensuit que la fraction résultante est a , 3, 4}'" fois plus petite.

Au contraire , si l'on divise le dénominateur par a , 3, 4 v) l'unité se trouve divbée en a, 3, 4r- ^oî^ moins de parties égales; les nouvelles «parties sont donc a, 3, 4»* • * ^^^ P^^ grandes; et comme on en prend toujours le même nombre, il s'ensuit que la fraction résultante est a, 3, 4v ^^^^ P^^ grande que la première.

3**. On ne change point la valeur dune fraction en mulù" pliant ou divisant ses deux termes par un même nombre.

£n effet, il résulte des deux premiers principes, que l'effet de

SUR LES FRACTIOVS. 6l

ropération exccutée sur le dénominateur détruit refTel de i'o* pcration CYéculée sur le numérateur, et qu'ainsi il y a com-pensa tion.

Par exemple, lesfraetions 5, 9. i- —,..., sont toutes * 01?. 10 20 '

équivalentes à la fraction 7, puisqu'elles résultent de la multiplication de chacun de ses deux termes par 2,3, 4> ^y**

De même , la fraction 7^ est éf;ale à chacune des fractions -7:.

— , -,..., puisqu'on obtient ces dernières en divisant lefs

LUe,a4p„=,î,4,...

Ces diverses propositions sont analogues aux principes éta* blis (n* 45) sur la division des nombres entiers, et doivent par conséquent être regai^dées comme une extension des mêmes principes aux fractions.