APPLICATIONS
question , parce que si, d'une part, l'unité est, dans la secondi fraction , divisée en un plus grand nombre de parties que dan la piemicre 9 d'autre part, on prend plus de parties puisque le numérateur 7 est plus grand que le numérateur 3. Mais 01 lèvera la difficulté par la réduction au même dënoininateur , car il est évident que de deux fractions qui ont un même dénominateur, celle-là est la plus grande qui a le plus grana numérateur.
Cette réduction opérée, il vient ^ pour la première fiac-
tion , et TT- pour la seconde ; donc la fraction ^ est la plus
grande des deux, et elle est en excès sur l'autre, de ^j
/ fi 8
On reconnaîtrait de même que, des trois fractions -, — f-z?
^ 7 II i3
la plus grande est -^, la plus petite — , et la moyenne-;
car, étant réduites au même dénominateur , elles deviennent
5*72 546 616 respectivement — - — , ^ , ,
* lOOI lOOI looi
On pourrait également réduire les fractions au même numcrateur (ce qui se ferait en multipliant les deux termes de chacune d^ eUes par le produit des numérateurs de totues les autres)', et de ees fractions, la plus grande serait celle qui aurait le plus petit dénominateur, puisque l'espèce des parties étant ptos grande, on en prendrait le même nombre. Mais le premier moyen a Parvantage de faire connaître en même temps les diffé- | rences qui existent entre les fractions comparées deux it deux. |
SEGOimE'QUEffMoN. •*— ^tie/ changement proéÊNt^an^dans une | fraction, en ajoutant un même nombre à ses d&uçcr termes? \
Soit ^ par exemple, la fraction —, aux deux tertnes de h'
i3 quelle on ajoute 6 : il vient -^ pour la fraction résultante.
Or, si l'on réduit ces deux fractions au même dénominateur,
DE LA TaANSFOHMATtaX PRÉCÉDENTE. C'y
la première devient — 7;, et la seconde — 7;: donc la fiaclioii
proposée a augmenté de valeur, et elle a augmenté île — ^.
Pour rendre compte de cçfails^ins aucun calcul, observons
que l'unité étant égale à -r— , l'excès de l'unité sur -*- est cx-
primé par — ; de même, l'excès de l'unité sur -^ est exprimé
par --g. Les numérateurs de ces deux différences sont les mê*
mes ; et cela doit être : car 18 et 1 3 ayant été formés parTad*
dition du même nombre 6 aux deux termes 7 et 12 , il s'ensuit
qu'il y a même différence entre 18 et i3 qu'entre 12 et 7.
Mais la différence —^ est nécessairement moindre que la diffé-
reoce — , puisque le premier dénominateur cstplusgrand, etqqe
les numérateurs sont égaux ; donc la fraction -^ diffère moins
lo
de l'iiniié que la fjraclian — ^ par conséquent la pri^fiiière est
plus grande que la seconde.
On conçoit d'ailleurs que plus le nombre ajouté aux deux
termes de la fraction -^ est grand , plus la difier^nce .entre
Tunité et la nouvelle fraction est petite, puisque le numérateur de cette différence étant toujours 5, le dénominateur augmente de plus en plus y et qu'ainsi la fraction devient de plus en pluA grande.
Ce raisonnement pouvant évidemment s'appliquer à tout» autre fraction , on peut en conclure que si, aux deux termes (f une fraction , on ajoute un même nombre, la fraction réiultanie est plus grande ^ue la frxiction proposée; et. elle est (t autant plus grande que le nombre ajouté est plus grand.
Par la raison inverse , une fraction diminue de valeur lors* qu'on retrofwhe un même nombre de ses deux termes.
68 smpMFirATio^r ors rhACTiORS.
Nous avons cru devoir entrer dans quelques de lai Is sur celte propoMtîon y aGn d'empêcher les comuiençants d'assimiler cette circonstance an cas où Ton nutlUpUe ou divise les deux termes dune fraction p4ir un même nombre. Dans ce dernier cas y on ne change pas (n* 46) la râleur de la fraction ; tandis i|a'en ajoutant ou soustrayant un même nombre, on augmente on diminue la fraction.
Réduction dune fraction à de moindres termes,
80. 11 arrive souvent y dans le calcul des fractions, que Ton est conduit à une fraction exprimée par de grands nombres; or, plus le numëiateur et le dénominateur sont grands, plus on a de peine à se faire une idée nette de la fraction.
Par exemple, la fraction —s indique qu'il faut diviser
Tunité en i5 parties égales , et prendre la de ces parties. Mais 12 et i5 étant en même temps divisibles par 3 , si l'on effec-
tue les divisions, il vient ^ , fraction équivalente à la proposée (n^ 46) ; alors, pour s'en former uneidée, il suffit de concevoir l'unité divisée en 5 parties égales et d'en prendre 4 % ^^ qui est beaucoup plus simple.
Lors donc que l'on a une fraction dont les termes sont asséï grands, il est utile de la réduire, s'il y a lieu, à une au4xe fraction dont les termes soient nioindres.
Le premier moyen qui se présente , c'est de diviser les deux termes par les nombres 2 , 3 , 4 > • • . , tan t que cela est possible.
Soit, pour exemple y la fraction -77 à réduire à de moindres
termes.
Il est aisé de voir que les deux termes sont divisibles par ?. ;
effectuant les divisions, on obtien t pour premier résultat, -^<
Les deux termes de cette nouvelle fraction sont encore divi' Bibles par a ; et il vient pour nouveau résultat, ^.
