DU PLUS GAAMD COMMUN 01V1S£UR

£isayaiit maiotenanl la division par 3, on trouve -^ , fraclion dont les deux termes sont encore divisibles par 3 ; ce qui donne enfin y pour la fraction -yy réduite à son expression la plus

simple.

Cette méthode est facile et commode ; mais elle ne peut être généralisée maintenant.

Voici une autre manière de réduire une fraction proposée à sa plus simple expression : elle consiste à déterminer directement le plus grand nombre qui divise à la fois les deux termes de la fraction, ou, en d'autres termeç, leur plus grand commun diviseur,

ISi. Goounençons par établir quelques notions préliminaires :

Un nombre est dit multiple d'un autre nombre lorsqu'il le contient un nombre entier de fois , c'est*à-dire quand le premier nombre est exactement divisible par le second.

Réciproquement, le second nombre est dit un sous^multiple, ou une partie aliquote , ou un diwfW du premier.

Ainsi, 24 est multiple de 6, parce que 4 fois 6 font a4t réciproquement, ^ eX ^ sont diviseurs, sous^multiples , ou parties aliquotes de 24* ^^ même, 60 est multiple de la,. puisque 5 fois la donnent 60 ; réciproquement, 5 et la sont diviseurs ou sous^multiples de 6o.

On appelle nombre premier un nombre qui n'est divisible exactement que par lui-même et par l'unité ( laquelle est dhiseurde toiU nombre). Ainsi a, 3, 5, 7, 1 1> i3, . . . sont des nombres premiers; mais 4* ^9 ^* 9' '^9 °^ ^^^ pas des nombres premiers , puisqu'ils admettent tous pour diviseurs , l'un des nombres 2,3, ou tous les deux à la fois»

Deux nombres sont dits premiers entre eux, lorsqu'ils n'ont aucun diviseur commun (autre que l'unité); ainsi, 4 ^^9» 7 ^^ 12, 12 et 25, sontdesnombres/irem<erf entre eux; 8 et 12 ne !>ont pas des nombres premiers entre eux , puisqu'ils sont di?visibles en même temps , soit par 2 , soit par 4*

70 DU PLUS GRAflD COMHUIC DITISEUT..

pAUftER PRiHCiPE. — Toui nombrc qui divise exademenl un autre nombre , dix^ise aussi un multiple quelconque de ce second nombre.

Par exemple , ^4 éUmt diTÎitble par 8, el donnant povr quotient 3 , 5 fois 24 ou 120 divisé par 8 , donnera ( n* 45) pour quotient 5 fois 3, ou 1 5. De même. 60 étant divisible par 12 et donnant pour quotient 5, 7 fois 60 ou 4^0 divisé par 12 , donnera pour quotient 9 fois 5 , ou 35.

Decxième principe. — Toutnombre décomposé en deux parties divisibles Fune et T autre par un second nombre, est lui-même divisible par ce second nombre.

En effet, le quotient de la division du nombre total étant évidemment égal à la somme des deux quotients partiels, si ces deux quotients partiels sont entiers, leur somme, c'e8t*à-dire le quotient total , sera entier.

Troisièks PRiifciPE. — - Tout nombre qui divise séporémeni uifB SOMME décomposée en deux parties , et Tune des parties y divise aussi Vautre partie.

Car, le quotient total étant égal à la somme des deux quotients partiels, si l'on de ces quotients paràtfls étant entier, l'autre était fractionnaire, il s'ensuivfait qu'un nombre entier serait égal à un nombre fractionnaire (n^ 1); ce qui est absurde.

ra. Cela posé , soient les deux nombres 36o et 276 entré lesquels on se propose de déterminer le plus grand coMiIttRi diviseur (n^ HO).

11 est d'abord évident que ce plus grand commun diviseur ne saurait surpasser le plus petit nombre 276; et comme 2^6 se divise lui-même , pourvu qii'il divise 36o , il aéra le ]^tfs grand commun diviseur cherché.

Essayant la division de 36o par 276 , on trouve pouf quo* tient t et pour reste 84; donc 276 n*estpas le plus grand commun diviseur. Je dis maintenant que le plus grand commun diviseur entre 36o et 276 est le même qu'entre le plus petit nombre 276 et le reste 84 de la division,

Fn effet, le plus grand commun diviseur therciic dcvaut