UU PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR

plus grand diviseur commun à 84 et à 276. Le plas grand commun diviseur de 276 et 84 9 et celui de 84 et 24 9 ne peuvent donc être plus grands Tun que l'autre ; donc ik sont ëgaux.

La question étant actuellement ramenée à rechercher le plas grand diviseur commun à 84 et 24 9 il faut de même diviser 84 par 24. En effectuant cette nouvelle division , on obtient 3 pour quotient et 12 pour reste; donc 24 n'est pas le plus grand diviseur commun; mais, comme ce plus grand commun diviseur est le même que celui qui existe entre 24 et le reste 12, divisons a4 par 12; nous trouvons un quotient exact 2 ; ainsi 1 2 est le plus grand commun diviseur entre 24 et 12; il l'est donc aussi entre 84 et 24 > entre 276et84f entre 36o et 276. Donc enfin , 12 est le plus grand commun diviseur cherché.

Dans la pratique , on dispose ainsi l'opération :

Après avoir divisé 36o par 276, ce qui donne pour quotient 1 , qu'on place au-dessus du diviseur (au lieu de le placer au-dessous comme à l'ordinaire) , et pour reste 84 9 on écrit ce reste à la droite du plus petit nombre 276, et l'on divise 276 par 84 ; ou obtient un nouveau quotient 3 que l'on place au-dessus du diviseur 849 et un reste 24 qui s'écrit à la droite de 84 ; et ainsi de suite. '

Règle générale. — Pour trouver le plus grand diviseur commun à deux nombres, divisez le plus grand nombre par le plus petit; s'il rCy a point de reste, c'est le plus petit nombre qui est le plus grand commun diviseur,

S'iljr auTireste, divisez le plus petit nombre par ce reste; et si la division se fait exactement , c'est ce premier reste qui est le plus grand commun diviseur.

Si cette seconde division donne un reste, divisez le premier reste par le second; et continuez toujours à diviser par le dernier reste le reste précédent ,. jusqu'à ce que vous obteniez

DU PLUS GilAND GOHMUlf DIVISEUR. 78

un quotient exact; alors le dernier diviseur que vous aurez employé , sera ie plus grand commun dwiseur cherché.

Si le dernier diviseur se trouve être l'unité , c'est une preuve que les deux nombres proposés tant premiers entré eux (n* Ht), puisqu'ils n'ont pas d'autre diviseur commun que Vunité,

Réciproquement , si deux nombres proposés sont premiers

entre euXj et qu'on leur applique le procédé , on trouvera /lé-

cessairement un dernier reste égal à i . Car, d'après la nature

du procédé, les restes vont en diminuant; d'ailleurs, on ne

peut pas obtenir un reste nul avant d'avoir obtenu un reste

égala \y puisque le diviseur autre que l'unité, qui donnerait

ce reste nul, serait commun diviseur des deux nombres.

Ainsi, l'on doit nécessairement , après un nombre d'opérations

plus ou moins grand, obtenir l'unité pour reste.