CHAPITRE III
Des nombres complexes.
67. Ce chapitre et le suivant ne sont, en quelque sorte, qu'une extension du second, puisqu'ils ne renferment que des applications de la théorie ge'uérale des fractions à des questions dans lesquelles on considère des fractions d'une espèce particulière.
La théorie des nombres complexes, qui fait l'objet de celuici, a, il faut l'avouer, perdu beaucoup de son utilité, depuis l'établissement du Système décimal des poids et mesures. Cependant, nous avons cm devoir l'exposer avec autant de développement qu'on lui en donnait dans les anciens ouvrages, parce que nous la regardons comme très propre à familiariser le» jeunes gens avec la considération des fractions , et à leur donner cette habitude de calcul dont ils ne sauraient trop apprécier l'importance (*). D'ailleurs, la complication même des opérations que cette théorie comporte n'en fera que mieux ressortir l'avantage du nouveau Système des poids et mesures sur l'ancien.
{*) Il existe nac autre raison puisée dan» la cotisidcfiition ^hs încsiiro étrangères, ile la division du temps, eic.
ga D£S NOMBRES COMPLEXES.
On a déjà vu (n® 8) que , pour évaluer l^s quantités plus petites que V unité principale, on conçoit cette unité divisée en un certain nombre de parties égales qu'on regarde eUes-mêmes comme formant de nouvelles unités. Mais afin de rendre les calculs plus commodes , au lieu de partager tout d'un coup l'unité en un grand nombre de parties égales, on ne la divise d'abord qu'en un certain nombre de parties ; puis on subdivise celles-ci en d'autres , et ces nouvelles encore en d'autres parties. C'est ainsi que, pour les monnaies, on partageait autrefois la livre en 20 parties égales appelées sous, le sou en 1 2 parties égales appelées deniers. De même , l'unité de longueur, ou la toise , était divisée en 6 pieds , le pied en douze pouces , etc. . . .
Chaque art subdivisait à sa manière l'unité principale qu'il s'était choisie ('*'). Voici un tableau qui présente les subdivisions des unités principales de ces différentes sortes de quantités :
Pour les monnaies.
68. La li\^re vaut 20 sous , le sou 12 deniers; donc la livre vaut 12 fois 20 , ou 240 deniers. ^
On dit encore que \esou est la 20* partie de la livre; le denier est le 12® du sou, ou la 240* partie de la lisfre.
Pour Içs longueurs.
La toise vaut 6 pieds, le pied lo^ pouces, le pouce 12 lignes; donc la toise vaut 12 fois 6, ou 72 pouces , 12 fois 72, ou 864 lignes.
Ou bien , le pied est le 6* de la toise ; le pouce est le 1 2* du pied, ou le 72* de la toise; la ligne est le 12* du pouce, ou la 864^ partie de la toise.
Pour les mesures itinéraires,
La lieue moyenne vaut 2260 toises ;e\[& se subdivise en demies , en quarts, et en demi-quarts ou huitièmes de lieue.
(*) f^ojrez, pour riiistoirc et Porigiacde ces sortes de mesarcs^ un ouvrage <lf M, Saiget, ayant poui litre : Traité de Métrologie ancienne et modecae.
OPERATIONS PRéummAinES SUR LES NOMBRES COMPLEXES. 93
Pour les poids,
La livre vaut 2 marcs, le marc 8 onces , l'once 8 gros, le gros 7a grains; donc la livre-poids vaut 8 fois 2 ou 16 onces, 8 fois 16 ou ia8 gros, 72 fois 128 ou gi\& grains.
Ou bien encore, le marc est la moitié de la livre^poids ; Vonce est le 8* du marc ou le 16* de la livre) le gros est le 8* de Vonce ou la 128* partie de la livre ; le grain est le 72* du gros ou la 9216* partie de la livre.
Pour le temps.
Le jour se subdivise en 24 heures, l'heure en 60 minutes, la minute en 60 secondes, la seconde en 60 tierces. L'année est de 365 jours (ou de 366 dans les années bissextiles).
On appelle nombre complexe tout nombre concret (n®9) qui est décomposé en plusieurs parties rapportées respectivement à des unités différentes ; et par opposition , celui qui est rapporté à une seule espèce d'unité s'appelle nombre incomplexe. Ainsi , i3*i7'^9**, 25^4^7'6S 4** ï"* 7*"' 5» 17*'.... sont des nombres complexes; 8 livres , 17 toises, 23 grains.... sont des nombres incomplexes.
69. Nous commencerons la théorie des nombres complexes par le développement de deux opérations qui lui sont particulières, et qui peuvent être regardées comme servant de base aux quatre opérations principales. La première a pour objet, un nombre complexe étant proposé, de le convertir en un seul nombreJr€u;tionnaire de runitéprincipale;\a. seconde jetant donnée réciproquement une expression fractionnaire dune unité prin^' cipaîe quelconque, à^ en déduire le nombre complexe qu'elle représente.
x°. Soit 17'^ 5^ 7P II* à réduire en^n seul nombre fractionnaire de toise.
Il est clair que si Ton parvient à déterminer le nombre de
g6 OPÉHATlOIfS PRÉLIMmAIEES
précédente , on verra que , pour la réduire en pouces, il suffit de inuUipUer le reste lo par i3 , et de diviser le produit lao par 23 y il vient alors pour quotient 5>^ et pour reste 5'.
Multipliant ce nouveau reste par la pour avoir des lignes, on obtient le produit 60, qui , divisé par 23 , donne au quotient 2, avec le reste i4'*
Donc en6n , le nombre proposé est égal à 26''' 4' 5? 2^ ~|.
Ordinairement, on néglige la fraction -^ de ligne, ou bien
on l'estime à peu près. Ici, par exemple , si l'on avait — au lieu
de -^, la fraction équivaudrait à ^ de ligne. Mais, comme le 23 «y
dénominateur est plus grand que 21 , il s'ensuit que -| est plus
petit que x de ligne. On reconnaîtrait de même que cette
fraction est un peu plus que une demi-ligne.
' Règle géhérale. — Pour effectuer la seconde opération, dMsei le numérateur du nombre fractionnaire proposé, par le dénominateur; vous obtenez ainsi un quotient qui exprime les unités principales , et un certain reste.
Multipliez ce reste par le nombre d'unités de la première subdivision, que renferme V unité principale, etdis^iset le produit par le dénominateur; vous obtenez un nouveau quotient qui exprime les unités de la première subdivision, et un nou^ veau reste.
Multipliez ce reste par le nombre d'unités de la seconde subdivision, que contient la première, et divisez le produit par le dénominateur; vous obtenez pour quotient les unités de la seconde subdivision, et un nouveau reste sur lequel vous opérez comme sur les précédents. Vous continuez ainsi l'opération jusqu'à ce que vous soyez parvenu à la dernière sub' division»
SUR LES NOMBRES COMPLEXES. q'j
71. Au reste, ces deux opérations se vérifient Tune par l'autre ,, comme il est aisé de le voir.
Par exemple, pour trouver le nombre complexe qui, dans la
I o3o3 première , a donné lieu au nombre q-, , on appliquera à.
celui-ci la règle précédente. Nous nous contenterons d'indiquer le calcul , qui n'offre aucune difficulté.
La preuve de la seconde opération a besoin de quelques éclaircissements.
Après avoir appliqué au nombre 26^ 4^ 5p 2}, le procédé de la première opération , on trouve pour résultat
28102*, ou -3^7- de toise. Mais,
comme à ces 28102 lignes se trouve
jointe la fraction -~ de ligne , il faut
multiplier 23ioa par 23 pour réduire en 23'% puis ajouter au produit i4; ce qui donne pour résultat, 53i36o, nombre auquel on doit ensuite donner pour dénominateur, 28 fois 864;-
AritK B,
g8 OPÉRATIONS PEÉLIMINAIRES SUR LES NOHDiiES COMPLEXES.
mais puisqu il faut que ^ . ^, soit égal à —5- , il sen-
tuit que 53i36o doit être diyisiUe par 864, ce qu'il est
aisé de reconnaître; et alors, en supprimant le facteur
commun 864. > on retrouve en eiBet — ^.
Voici un autre exemple de la seconde opération et de sa preuve :
Contenir en un nombre complexe de livres^poids , marcs ,
onces y gros, et grains , le nombre fractionnaire
de
lis^re^poids.
Opération.
35fto"«4*»"i«22*'i^
Preus^e.
35fto"»4'"'i2^^2^^^if;
ii5
Jl
Tf
Il 8609920 Après avoir obtenu, dans la preuve , le nombre 186099230,
