SD& LES FRACTIONS DÉCIMALES

d'écrire les fractions déciiTiales. Une fraction se compose ordi* nairement de deux nombres place's l'un au^-dessus de l'autre , savoir :l6 numérateur et le dénominateur. Ici, la place de la viiigule suffit pour indiquer le dénominateur, qui est égal à Vunitë suivie d'autant de zéros qu'il y a de chiffres décimaux , c'est-à-dire de chiffres à la droite diç U virgule- Quant au numérateur, il se compose de l'ensemble des chiffres qui sont à la droite de la virgule; ou biçn , si l'on considère Rentier comme réduit en fraction. , c'est le nombre proposé , abstraction faite de. la virgule.

Ainsi le nombre 23,5o37 mis sous la forme ordinaire d'une

fraction, revient à 23 ^ ou - — ^; le nombre 2,00409

lOOOO lOOOO

est égal à 2 ■ ^^ ou 2^^x^ ; «nfin, 0,0002164 équivaut à ^ I 00000 100000

Récimroatiein^ttt , 2 ou — ^ «e enangent en 2,033^

-^^ — -i2 en i7,2o49.«.-

lOOOO

« Ces transformations de fractions décimales en fractions ordinaires, et de fractions ordinaires en fractions décimales , sont d'uaj|6|ige contipMel dgns le calcul.

86. ïl resttlte d'abord de ce qui vient d'être dit , que si dans une fraction décimale, on avance la virgule dun ou de plusieurs rangs vers la droite, on> multiplie le nombre par 10, 100, 1000, efc; et qu'au contraire , e/i /a reci/fortf rf'irw ou ée plusieurs rangs vers la gauche , on divise le nombre par 10, lOO, xooo....

S0U, par exemple, le nombre 163,07295 ; et supposons

qu'en avance la virgule de 3 rcmgs vers la droiie, ce qui

donne 153072,96: je dis que le nombre est rendu ïooo fois

16307296 plu^^rand. En effet , le noiiOire primitif revient à - ^ ^^^^^ »

1 34 NOTIONS PRIÊLIM INAI&ES SUR LES FRACTIONS DÉGlXALES.

et lorsque la virgule est déplacée, il devient ^ , irac-

lioa dont le dénominateur est 1000 fois plus petit que celui de Taulre fraction ; donc (n''48 ) la seconde fraction est 1000 fois plus grande que la proposée.

Au contraire, si Ton recule la virgule de 2 rangs vers la

gauche, il vient i ,53o72q5 ou 2-2.. fraction dont le dé-

" ' ' ' ^ looooooo

nominateur est 100 fois plus grand que celui de la fraction proposée, 2-^; donc là nouvelle fraction est 100 fois

*^ ^ lOOOOO

plus petite que celle-ci.

On peut encore démontrer cela en observant que, parle déplacement de la virgule, la valeur relative de chaque chiffre devient 10, 100, 1000, etc. , fois plus grande ou plus petite. Ainsi, en comparant 153072,95 à 153,07295^ on voit que le chiffre 3 , qui exprimait dans celui-ci des unités simples , exprime maintenant des mille; le chiffre 5 à la gauche du 3, qui exprimait des dixaines, représente maintenant des dixaines de mille; et ainsi des autres chiffres.

87*. En plaçant un nombre quelconque de zéros à la droite d'une fraction décimale, on n'en change point la valeur.

Ainsi, 3,4i5 équivaut à 3,4i5o, ou 3,4i5oo, ou 3,4i5ooo...;

en effet , ces nombres peuvent (n® 89) se mettre sous la forme

34i5 34ï5o 34i5oo , , j •* r .•

--Ï — , -^ , — î ... : or les deux dernières fractions ne

1000 loooo I 00000

sont autre chose que la première dont on a multiplié les deux

termes par 10, 100, ce qui n'en change pas la valeur (n^ 46}.

Ou bien, on peut observer que les zéros placés à la droite des chiffres déjà écrits n'en changent pas la valeur relative^ et, comme ces zéros n'ont aucune valeur par eux-mêmes, la fraction reste toujours la même.

Cette dernière transformation sert à réduire des fractions df'cimalcs au même dénominateur. Par exemple , les fractions

ADDITIOif ET SOUSTRACTION. 125

1240^ I o>25 j 7,0456 I ^Sf^^reyïennenik 12^070 | o,25oo | 7,0456 I 23,4000 ; et^ sous cette forme, elles ont loooo pour dénominateur commun.

Ces notions e'tablies, nous pouvons passer aux opérations sur les fractions décimales.

88. Addition et Soustraction. — On effectue Taddition des fractions décimales de la même manière que celle des nombres entiers , après les asfoir toutefois induites au même dénomina'leur, et en ayant soin de séparer par une virgule, au résultat, autant de chiffres décimaux qu^il jr en avait dans celui des nombres qui en renfermait le plus.

Un seul exemple suffira pour édaircir cette règle.

Onpropose Rajouter les nombres 32,4o56 1 245,879! 12,0476 9,38 j et 459,2875.

J'écris d'abord i/n o à la droite du second nombre, tideux à la droite du quatrième ; puis je place les nombres ainsi préparés, les uns au-dessous des autres, de manière que les unités d'un même ordre se correspondent , et j^e fais l'addition comme à l'ordinaire. 82,4o56

Je trouve pour résultat 7584497 » ^^ 9 s^* ^45 ,8790 parant 4 chiffres décimaux vers la droite, 12,0476

768,44979 parce que les nombres qu'on a 9,8800

ajoutés, expriment des unités de l'ordre des 4^9 9 ^^7^

dix^millOmes, ^58,4497 Dans la pratique , on peut se dispenser

d'écrire des zéros à la droite des nombres ^^^ ««X0

qui ont le moins de cjiiifres décimaux ,

pourvu que Ton ait bien soin de disposer les unités dun même

ordre dans une même colonne.

La soustraction s'effectue aussi comme pour les nombres

entiers, après que ton a réduit les fractions décimales au même

dénominateur (n* 87).

Par exemple , soit à soustraire 28,0784 àe 62,09.

J'écris deux zéros à la droite de 62,09, ^^ V^^ "^^ donne

126 MULTIPLICATION DES FiUCTlONS DÉCIMALES.

62,0900; puis j'elTectue la soustraclion comme à l'ordinaire ; j 'ai soin seulemen t 69 , 0900 ile séparer 4 chiffres décimaux vers la 23 , 0784 droite du résultat. ômTc

Ces procédés sont fondés sur ce que ....^.^ les unités de différents ordres , dans les ^^ » ^9^^ preuve. fractions décimales , ayant les mêmes rapports tie grandeur les unes à l'égard des autres , que dans les nombres entiers , il doit en être pour les retenues , ou pour les emprunts auxquels on est conduit , comme s'il s'agissait d'opérer sur des nombres entiers.

89. Multiplication des/ractions décimales, -* Pour effectuer cette opération, multipliez les deux nombres proposés F un par l'autre, sans faire attention à la virgule qui s'j- trouve) et lorsque vous aurez obtenu le produit total, séparez vers la droite j par une virgule , autant de chiffres décimaux qu'il y en a dans les deux facteurs ,

Soit, par exemple, à multiplier 35 , 407 p^r 1 2 , 54.

Pottrnous rendre compte du procédéprescrit,

observons que les deux nombres proposés peu*- 35^ 4^7

, ^ 35407 1254^ ia,54

vent se mettre sous la lorme — -ï— ^ et -, Or, ^

1000 100 / fi «

pour multiplier deux fractions l'une par l'autre, ^^^

ilfaut(n*'ra) multiplier numérateur par numérateur, et dénominateur par dénominateur; mais les deux numérateurs ne sont autre chose

que les nombres proposés, abstraction fkite de ^^,ooZ'p la virgule»; on doit donc premièrement miilti^ plier ces deux nombres l'un par l'autre, ce qui donne 444^^^^' On a ensuite, pour le produit des di^nominatenrs , yooooo, c'est-à'-dire l'unité suivie d*au(ant de zéros qu'il y a de dbiffires décimaux dans les deux facteurs ; et il faiU diviser le produit obtenu, par ioodoo, ce qui revient évidemment à séparer 5 chiffres décimaux vers la droite ; on trouve ainsi pour résul' tat 444;^^^7S> donc, etc.