DIVISION D£S FRACTIONS DÉCIMALES
nombres proposés au même dénominateur (n" 87); effectuez ensuite la disfision en faisant abstraction de la virgule^ vous obtenez ainsi le quotient demandé.
Soit à diviser 43,o47 p^ar 2,536g8.
Je commence par écrire deux zéros 43^47®^ 253698 k la droite de 43,o47> ce qui donne 1767720 43,04700 ; puis je divise 43o47oo par 24^532
253698 , et j'obtiens, pour le véritable
En effet , après avoir écrit deux zéros à la droite du dividende , ce qui n'en change pas la valeur, on peut mettre#les
, 1 r 4304700 ^ 253698 deux nombres proposes sous la forme - — -- — et ^»
* * I 00000 lOOOOO
Or, pour diviser le premier par le second , on doit (n" 62) multiplier la fraction dividende par la fraction diviseur renversée. On aura donc , en observant que 1 00000 est facteur commun
des deux termes, le résultat Aoi^^ î c'est- à-dire quil faut
faire la division sur les deux, nombres considérés sans les virgules, après avoir toutefois ramené le nombre des chiffres décimaux à être le même de part et d autre.
On peut dire encore que , les deux fractions décimales étant réduites au même dénominateur, si Von 6te la virgule dans les deux termes , on rend le dividende et le diviseur le même nomj^re de fois plus grands ; donc, le quotient ne change pas (n*45)i
On trouvera parce procédé, que le quo- 347o3 tient de la division de 3,47o3 par 0,027, 77^
est 128 —ï-, - /o
' Celui de 0,596 par 0^00201 est 296 — -.
91. Dans les exemples précédents , on a obtenu facilement la partie entière du quotient de la division ; mais les fractions propres ù compléter le quotient, ayant des termes très-grands,
RÉOUCTiOiV d'une FHACT. OBDINAIRE £N FRACT. DÉCIMALE. I ÎQ
sont dîlHciles à évaluer. Il est alors naturel de cliercher à exprimer cette fraction en parties plus simples de l'unité principale , par exemple, en dixièmes, centièmes, millièmes, elc. Proposons-nous donc cette nouvelle question générale r Une fraction quelconque de l'unité principale d'une certaine nature étant donnée, éi^aluât cette fraction en décimales, ou bien , la convertir en fraction décimale.
Soit proposée d'abord la fraction 7-.
Le nombre proposé, étant rapporté à Tu- - 360
nité principale, ex prime les 7- de cette uni ' ^
té; mais , comme une unité simple vaut 10 ^5^^
dixièmes , il s'ensuit que -7- revient à -7— 27
(le dixième; ainsi, lorsqu'on a disposé
les deux nombres i3 et 47 comme dans
la division ordinaire , si l'on met d'abord
un zéro au quotient pour tenir lieu des
entiers, que l'on place une virgule, et qu'on divise i3o par 47,
le quotient 2 ainsi obtenu , et écrit à la droite de la virgule ,
représentelenombrede^/ar/é/nejcontenusdansT- ; c'cst-à*dire
que 7- est égal à 2 dixièmes, i}\\xs -j- de dixième. Pareillement ,
comme i dixième vaut 10 centièmes, il s'ensuit que 7- de
36o dixième est égal à -7— de centième, ou, effectuant cette nou-
velle division, à 7 ce/i/zèmcj, plus ^ de centième. Eu écrivant un nouveau o à la droite de 3i, et divisant 3iopar47, on trouve pou|* quotient 6 millièmes que l'on écrit à la droite des deux chiffres précédents, et pouv reste 28 à côté duquel on pose un nouveau o pour en faire des dix^miillièmes ; ainsi de suite. t^n poussant l'opération jusqu'à ce qu'on ait obtenu 5 chiffres Arith. n, 9
l3o RÉDUCTION b'UN£ FRACTION ORDINAIRE
décimaux , on trouve que j- équivaut à 0,27669, pîus -~ de
cent-millième, fraction qu'on peut négliger; et Ton dit alors
que 0,27659 est la valeur de^ ^ moins éCun cent-millième
près, attendu que la fraction négligée est moindre queTunile de cet ordre.
En (général pour convertir une fraction ordinaire en fraction décimale I disposez les deux nombres comme dans la division; écrivez un o au quotient, et à la droite de ce zéro une virgule. Cela posé, mettez un o à la droite du numérateur, et divisez le nombre résultant par le dénominateur; vous obtenez un quotient qui exprime les dixièmes , et un certain reste. Placez un o à la droite de ce reste, et divisez le nombre résultant par le dénominateur; vous obtenez un quotient qui exprime les csNTiàMEs, et un nouveau reste ; écrivez un o à la droite de ce reste, et divisez le nombre résultant par le dénominateur; vous obtenez" un quotient qui exprime /ej millièmes^ et un troisième reste sur lequel vous opérez de la même manière. Enfin, vous continuez cette série d'opérations jusqu'à ce que vous ayez obtenu autant de chiffres décimaux que vous désirez en avoir, ou que la question rexif,e. S'il y a un reste, la fraction décimale que vous obtenez ainsi , ne diffère de la fraction proposée qoe d*une quantité moindre que V unité de Vordre décimal auquel vous avez arrêté le quotient.
Si le numérateur de la fraction est plus grand que le déD(H uiinateur, vous commencez par extraire les unités; vous les écrivez au quotient, et vous posez une virgule pour les séparer des chiffres de la partie fractionnaire.
11 est aisé d'apercevoir l'analogie qui existe entre cette operation et celle qui a pour objet de convertir un nombre fractionnaire d'une unité principale quelconque , en un nombre complexe, c'est-à-dire, en unités principales et subdivisions de cette unité. {Voyez n"" 70.)
Nous allons maintenant faire l'application de cette rè{>le au% exemples d« division traités dans le numéro précédent
EN FRACTION DÉCIMALE. l3l
Soit proposé de diviser 43,o47 /^ar 2,53698, tt dés^aluerle
quotient à moins de près.
Après avoir trouvé, comme pré- 4304700 î^SSôgB cédemment, le quotient 16 avec le i «167720 jg Qg
reste 245532, on considère ce reste , 245532© I
comme le numérateur d'une fraction ^ n2o38o *^
dont le dénominateur est 253698; 1081020
et alors on écrit un o à. la droite de 2o6o3i
ce reste ; puis on continue la division ,
ce qui donne ^dixièmes pour quotient, et pour reste 172038, à la droite duquel on écrit encore un o ; puis 011 divise le résultat par le même diviseur ; on obtient pour quotient 6ceniihmes, et pour reste 198192, à côté duquel on place un o ; on divise de nouveau par le même diviseur, ce qui donne pour quotient 7 millièmes, avec un reste qu'on néglige.
On obtient ainsi 16,967 pour le quotient à moins de
près, puisque la quantité négligée est une fraction de mt7lième.
On trouverait également pour le quotient de la division de 34703 par 0,027 ^ f^oins de 0,0001 près, 128,5296.
De même 0,596 divisé par 0,00201 donne pour quotient à moins de 0,0 1 près , 296,5 1 .
Nous reviendrons plus tai*d , v* chapitre , sur la conversion d'une fraction ordinaire en fraction décimale , parce que cette opération présente plusieurs propriétés remarquables que nous ne pouvons développer d'une manière complète pour le moment.
92. Lorsque , dans la division , le diviseur est un nombre entier, ou renferme moins de chiffres décimaux que le dividende, au lieu d'écrire à sa droite des zéros pour le réduire au même dénominateur que le dividende, il est plus simple d'opéirer ainsi qu'on va le voir.
r22 io5
|32 AUTRE MAfflÈRE u'éFFECTL'ER LA DIVISION
1". Soit à dis^iser 437,4825 y^^r 56.
La division pouvant ici être considérée comme ayant pour objet de prendre la 56* partie du dividende, on pr^nd d'abord le 56* de 437, ou Ton divise 437 par 56 , ce qui donne pour quotient 7 unités, et pour reste 45 qui, suivi des 4 dixièmes du dividende, forme 454 dixièmes dont il faut prendre encore le 66*; c'est-à-dire que l'on divise 454 par 56, et l'on trouve pour quotient 8 dixièmes qu'on écrit à la droite du 7, apès avoir placé une virgule.
Le reste'6y suivi des 8 centiimes du dividende, donne 68 centièmes dont le 56* est i centième , et il reste 12 qui, suivi des a millièmes du dividende , fotnie 122 millièmes ^ divisant 122 par 56, on obtient pour quotient 2 millièmes, et pour reste 10, à côté duquel on abaisse le dernier chiffre 5; on a io5 qui, divisé par 56, donne au quotient 1 dix^milUème ; donc enfin, le quotient demandé est 7,8121.
Ce quotient n'est exact que jusqu'aux igoog*^*""; mais si l'on voulait obtenir un plus grand degré d'approximation, il faudrait poser un o à la suite du reste 49* et continuer suivant la règle du numéro 91.
Il est facile de reconnaître que cette manière d'opérer est plus simple que si l'on eût d'abord écrit 4 zéros à la droite du diviseur, afin de le réduire au'^nême dénominateur que le tlividende.
On trouverait de même que 1 4,37586, divisé par 2x9, donne pour quotient 0,06564, ^ moins de 0,00001 près.
2**. Soit à diviser 3, 40567 par 0,039.
Observons d'abord qu'en vertu des principes démontrés aux numéros 45 et 66, on peut, sans altérer le quotient d'une division, multiplier le dividende ci le diviseur par un même nombre.
Cela posé , si Ton multiplie le divi-
D^ FRACTiO?(S DÉCIMALES. l33
scur par ipoo , ce qui revient (u® 86) à. supprimer la virgule, cl qu*OQ multiplie le dividende par .1000 , ce qui revient (même numéro) à avancer la virgule' de trois rangs vers la droite y on aura ramené la question à diviser 3405,67 par 39, opération qui rentre dans le cas précédent.
Règle GÉiiÉAÂiE. — Toutes les fois que le dividende renferme plus dé chifFi^s décimaux que Je diviseur, supprimez Sabord la virgule dans le diviseur, puis avancez la virgule , dans le dividende, d^ autant de rangs vers la droite qu^il jr avait de chiffres décimaux dans le diviseur; et effectuez la division comme dans le cas où le dividende seul contient des chiflfres décimaux.
Par une raison semblable , si le diviseur est un nombre entier terminé .par un ou plusieurs zéros , on peut les supprimer, pourvu qu'on ait le soin de reculer la vir[^ule dans le dividende, d'autant de rangs vers la gauche qu'il y avait de zéros à la droite du diviseur.
Ainsi, par exemple, diviser 234* i5 par 8900 revient à diviser 2,341 5 par 89, puisqu'on n'a fait autre chose que rendre en même temps 1 00 fois plus petits les deux termes de la division. . Au reste, nous n'avons présenté ces dernières règles que comme des moyens plus simples d'opérer dans la pratique ; car (a règle établie précédemment (n* 90) convient à tous les cas.
