Avant de passer à la résolution des deux questions du
EN NOUVELLES ET RÉCIPROQUEMENT. l43
nuiuéroiOi, il est nécessaire de rechercher d'abord la valeur de la toise en inètre , et du mètre en toise , c'est-à-dire dVorprimer Vunité linéaire ancienne en mesures nouâtes , et , re'ciproquement, la nouvelle unité linéaire en mesures anciennes.
Or on sait que la toise vaut 864 lignes; d'un autre côté, le mètre équivaut (n® 94) à 3** o^ 11^296, ou, réduit en lignes, à 44^^29^• I^onc si Ton divise 864 par ^^Z^io/o , ou plutôt 864000 par 44^296 r le quotient , réduit en décimales , exprimera la valeur de la toise en mètre.
On trouve, tout calcul fait, que la toise équi\faut, en mètre, à i ",949036, c'est-à-dire à i mètre 949 millimètres, à un diX" millimètre près.
De même , si l'on divise 44^9^9^ P^' ^4 > d'après la règle (lu numéro 92 , on obtiendra la valeur du mètre en toise et fraction décimale de toise.
Ce nouveau calcul étant effectué, on reconnaît que le mètre équivaut, en toise , à 0*^,51 3o74<^ > à 0,0000001 de toise près.
Conséquence, — Lemyriamètrc étant égala loooo mètres , vaut donc loooo fois o'*',5i3o74o, ou 5i3o'^*,'j4^ î ^^ *1**^ prouve que le mjrriamètre est un peu plus fort que le double de la lieue de i^Soo toises , comme nous l'avons énoncé au 4iuméro 94.
Cela posé, 1®. on demande en mètres, décimètres, centimètres , etc., la valeur de 1 7**' 5^ 4^ ^^^
Commencez par réduire ce nombre en lignes , ce qui donne 15464 lignes; /JKW divisez 16464 par 44^>^9^ (nombre de lignes que renferme le mètre) , ou bien 1 5464000 par 443^9^» ilvient pour quotient 349884149 ^ 0,00001 près.
Donc, 17"^ 5^ 4P 8* équivalent à 34'",884i4, c'est-à-dire, à 34 mètres 884 millimètres , à un millimètre près.
2**. On demande la valeur de 34'",884i4 > ^^ toises, pieds , pouces, lignes?
Puisque 1 mètre vaut en toise 0*^,513074, il s'ensuit que pour avoir la valeur de 34,88414 > '^ ^Hffl^ ^^ multiplier o''*,5i3o74 par 34,884i4; ^^^^ produit que Ton obtiendra,
l44 CONVERSION DES ANCIENNES MESURES
exprimera en toîses el fraction décimale de toise, la valeur cherchée; il restera ensuite à convertir cette fraction décimale en pieds , pouces , lignes.
Voici le tableau du calcul :
On prend de préférence 34,884i4 34,88414
pour multiplicande, parce que l'opéra- q SiSonl
tion est plus simple. On trouve pour ~—
produit 15^898, en négligeant les 8 i3953(ï56
derniers chiffres décimaux . î44*8Hgo
Pour convertir o^ 898 en pieds, on io4653i43i
multiplie par 6, ce qui donne 5ï',388. 34884i4
Multipliant o,388 par 12, pour en '744^<>70
faire des pouces , on obtient 4^,656. 1 7''', 8981 4524^36
Multipliant enfin o,656par 12, pour 6
avoir des lignes, on trouve 7^,872 , ou ^p ^88
simplement 8 /i^/te^ y donc, 34'",884i 4
équivalent à 1 7*** 5^ 4^ 8* ; ce qui vérifie
la première opération. ^ ,t>oo
A^. B. — Dans cette dernière opéra- ^
tion, on a négligé les 8 derniers chif- 7*, 872
fres décimaux du produit, lorsqu'on a voulu Tévalueren pieds, pouces, lignes. En voici la raison :' comme multiplier un nombre successivement par 6 , 1 2 , et la, revient (n» 26 ) à le multiplier par le produit de cês\roi's nombres ou par 864 , on voit que , si Ton ne tient compte que
des iooo"duproduiti7T 89814... ., le dernier rcsul Ut sera gg/
^***^^ ^ T^ *** ^^^ P*^^' c'est-à-dire, à moins d'une ligne près. Cette observation abrège de beaucoup les calculs.
Soit encore à évaluer en mètres et. fraction dt'cimale du mètre la taille d'un homme de S^ 6p 7*?
Réduisons ce nombre en lignes ; il vient 799 lignes ; divisant 799 par 443,296, ou 799000 par 443296, on trouve pour quotient i",8o2 milliniètres, à i millimètre près.
EN NOUVELLES ET RÉCIPROQUEMENT. l^^
Pour les étoffes.
104. Oiï sait que Taune vaut 3^ 8^ ou 44 pouces ^ c'est-à-dire S28 ligues ; donc, en divisant 528 par 44 3, 296 , ou 628000 par 443296, on obtiendra la valeur de l'aune en uiètre.
Effectuant cette division , on trouve que Vaune a pour valeur i"',i9i milliaiètres, ou plus exactement, i"*,i9i077.
Réciproquement , ^^'^^T.o/i divisé par 628 , donne pour quo-
lient 0,839576, à près ; donc , 1 mètre équivaut à
0,839576 daune.
On demande la valeur de 29 aunes — , en mètres et frac'^
tion décimale du mètre ?
On pourrait, comme pour la toise et ses subdivisions, conver^
tir 29 aunes— en i2** de ligne, en multipliant,^^ -2- ou ,
par 528, nombre de lignes que renferme l'aune^ convertir pa^ reiUemeni le mètre, ou 443S296^ en 12*' de ligne , en muU tipliant ce nombre par 12 , puis diviser les deux résultats ainsi obtenus, t un par Vautre, et évaluer le quotient en décimales. Mais. il est plus simple d'opérer ainsi qu'il suit :
L'expression de l'aune eu mètre étant, comme on l'a vu t)lushaat, i"',i9i077, on multiplie d'a-^ bord ce nombre par 29 , ce qui donne les 1,191077
deux produits 10,719693 et 28,82 i54o. 29 ~
Après quoi, décomposant -2- en — et 10,719693
~, on prend d'abord pour —, la moi- tz- • .0,595538
'^ ^*Loo -fî... 0,099256
tié de 1,191077, qui est 0,090530, et . ■
qu'onccrit au-dessous des produits déjà 35,286027
obtenus ; puis, pour — , le 6* de 0,595538 , qui est o , 099256,
et qu'on place au-dessous des produits précédents. Addition^ nant tous les produits , on obtient pour résultat 35,286027.
Ariik. B, lO
1^6 CONVERSION DES ANCIENNES MESURES, CtC.
Donc 29 aunes -^équivalent à 35"", ^36 millimètres, à i millimètre près.
On pourrait également appliquer ce procédé aux toises, pieds, pouces, etc. , en partant de la valeur d'une toise en mèire; mais on serait entraîné dans des calculs beaucoup plus compliqués.
iW, Poids, — On sait que la livre-poids contient 9216 grains {Voyez n** 68). Nous avons dit également (n* 98) que le kilogramme vaut i8827f^'''f i5; donc, en divisant 9216 par 18827,15, ou 921600 par 1882715, on obtiendra la valeur de la livre^ poids , en kilogrammes et subdivisions décimales du kilogramme. Réciproquement, si Ton divise 1882716 par 9216, le quotient, évalué en décimales, exprimera la valeur du kilogramme en livres-poids et subdivisions décimales de la livre-poids.
En effectuant ces' deux opérations qui n'offrent aucune difficulté, on trouve :
I*. Que la livre-poids équivaut à o*",4895o585 j
2°. Que le kilogramme est égal à 2^^,04287652.
N. B. — Ce dernier résultat indique 'que le kilogramme surpasse le double de la livre, de -2- ou de -y de livre environ :
I 5i c'est-à-dire qu'un kilogramme vaut 2 livres -t. , ou -s, de livre
à peu près; ou bien, que 25 kilogrammes font 5 1 livres, ou que 100 kilogrammes valent 204 livres-poids.
Maintenant , on demande la valeur de 69^ o"* 7°" 4^^ 20^'' en kilogrammes et subdivisions décimales du kilogramme?*
Le nombre proposé, réduit en grains d'après la méthode connue, donne 640253 grains; donc, si Ton divise 64o253 par 18827,1 5, ou 64025300 par 1 8827 1 5, le quotient 34,006899, que l'on obtient par cette opération , est le nombre demandé ; c'est-à-dire que 69» o" 7*« 4^ 29^^ équivalent à 34*,oo6899, ou bien, à 34 kilogrammes, 6 grammes, et 899 milligrammes.
Réciproquement , on propose d'évaluer 34%oo6899 en livres, marcs, onces, etc.?
TABLEAUX DE COMPARAISON. l47
Noas avons vu tbut-à-rbeare qu'an kilogramme vaut 21^,04287653 ; donc 34^,006899 est égal au prodvit de ces deux. derniers nombres, évalué en livre»^poida.
Ce produit doit renfermer 1 4 décimales ; 69^47 189
mais, en ne tenant compte que des cinq ^
premièresà gauche, on trouve 69^,47 < 89. -
Multipliant 0,47 189 par a pour avoir des o"*j9437*'
marcs, on obtient o"" ,94378. ^
Multipliant ce dernier nombre par 8 , on 7^*,55o24
trouTc 7^",55oa4* ^
Multipliant o,55oa4 V^^ 8, on a 4'4* * 9^- /^ Xoioa
Enfin, multipliant 0,40192 par 72, on
trouve 28^^,93834*
Donc. 34*,oo6899 équivalent à 8o384
Ggtt 0" 7" ^i 29*^ ; ce qui vériOe l'opération ^^'^^4
précédente. 28^% 93824
N.B, — On n'a tenu compte, dans le premier produit, que des 5 premiers cliifi&es décimaux , parce que la multiplication par a , 8, 8, et 72, revenant à la multiplication par 9216, Ter-
reur commise est moindre que -^ de gram, approximation
plu$ que suffisante.
106. Il existe des tableaux de comparaison des anciens poids et mesures aux nouveaux , et réciproquement, à l'aide desquels OD peut aisément opérer toutes les réductions dont nous venons de parler. Voici le moyen: de former ces tableaux :
Supposons qu'il s'agisse de construire le tableau de compo" raison des mesures linéaires anciennes aux nouvelles , ou réei^ prwpiement.
On a d'abord déterminé la valeur de la toise en mètre, valeur qai, calculée (n® 103) avec huit chiffres décimaux, est égale à 1 ",9490363 1.
De là, en multipliant par 2, 3, 4» •• «99 on déduit les valeurs de 2,3,4* • - '9 toises.
Avançant successivement , dans tous ces résultats , la virgule
l48 APPLICATION. DES REGLES PRÉGÉOKIftES.
à' un, de deux, de trois,, . . rangs vers la droite, on obtient lès Taleursde lo^aoySo,. . .y 100, 200y3oo, . . ., looo, 2000, 3 000, • . . toises ; et ainsi de suite.
D'un autre côté, si l'on prend le 6* de 1,94903681, on en déduit la valeur du pied, et, par suite, celles de 2, 3, 4» 5 pieds.
Prenant le 1 2* de la valeur du pied, on a la valeur du pouce, et, par suite, celles de 2 , 3, . . . , 1 1 pouces.
Même opération pour les lignes.
Quant au tableau inverse, sa formation est absolument semblable , pourvu qu'on parte de la valeur du mètre en toise, valeur que l'on a trouvée égale à o''',5 1307407.
Gela posé, soit à évaluer en mètres, décimètres, cenùmhr très, etc. , 254*^ 3^ 7' 11'.
On prend successivement dans le tableau , les valeurs de 41*^ So***, 200''', puis celles de 3^, 7P, 1 1* ; et l'on ajoute toutes ces valeurs. On obtient ainsi les valeurs demandées , par de simples additions.
Dans la question inverse, on trouve d'abord la valeur d'un certain nombre de mètres et subdivisions décimales du mètre, exprimée en toises et fraction décimale de la toise ; on convertit ensuite cette dernière fraction en pieds, en la multipliant par 6; puis on multiplie la fraction décimale résultante par 12 , pour en faire des pouces, etc.
Mais, outre que ces tableaux peuvent être fautifs , leur usage même ne donne pas toujours le degré d'approximation que l'on désirerait obtenir. Joignez à cela> qu'on peut ne pas les avoir à sa disposition à l'instant où l'on en aurait besoin. Il était donc nécessaire de développer les moyens d'opérer ces transformations , en admettant ces seuls résultats : la valeur du mètre est 3^ oP ï i ^,296 ; celle du kilogramme est 1 882 7^"'"', 1 5 ;
le franc vaut h- de livre»
107. Reprenons actuellement le problème dun° iOl qui nous avait arrêtés, faute de données suffisantes.
Vn marchand de drap avait vendu jusque alors Vaune d'un
APPLICATION DES KÈGhM^ PBÉCÉBt»TES, l49
certain drap, 36* 17-^ 6^; on demande à combien de francs ^ en proportion, doit revenir le mètre du même drap ?
Réduisons d'abord 36** 17-^6'^ en ftancs, décimes, etc., soit par le moyen des tableaux , soit d'après la règle du n° 102 ; il vient 36^|4'97 pour la valeur de l'aune.
D'un autre côté, le mètre exprimé en aune (n® tM), a pour valeur o'',839576 ; donc , le prix du mètre est égal à une partie de yify^i^^yVL\9sc[aée par le produit des deux nombres 36,4197 et 0,839576. Cette multiplication étant effectuée , on trouve
D'où il suit que le prix du mhtre doit être de 3o^ 58^.
Soit encore proposée cette question : La livrer-poids dune certaine marchandise coûtant 26^1 1*^ 9**, on demande le prix de 375*" 175* de la même marcfumdîse ?
D'abord, le nombre aS* 1 1-'" 9** réduit en francs, etc. , rejjent à 25^,271606 ; ce qui donne déjà le prix de la livre-poids en francs, etc....
D'ailleurs, 375*", 176 réduits enlivres-poids, d'après les ta* Meaax , ou d'après la règle du a^ iW , donnent pour résultat 766^,436198 (en ne tenant compte que des six premiers chiUres décimaux, ce qui su£St); donc, si l'on multiplie 25^,271 6o5 par 766,436198, le produit sera le prix demandé.
On trouve pour ce produit, à un centime près, 19369,07 ; donc 375*", 1 75 cotf/cm 19369^,07* (*).
(*) Avant la i3« edilion, nous avions terminé ce chapitre par TexpoM lion de deaz méthodes abrégées, l'une pour la mnltiplication, Tautrc ponr la division, lorsque les termes de ces deux opérations sont composé! (l'on grand nombre de chiffres, et que l'on n'a besoin d'obtenir les résnltats <{q'5 un certain degré d'approximation. Mais ces m<;ihodes abrégées font maintenant partie d'une note placée à la (in de Touvragc, et ayant pour titre : iVbte sur les /approximations nutnériques.
m i VMfiWftVXWKVWWU llWW ^ UU t fM^W l M(VV)nWVY \ n' \ ' \ ^''''''^^^*^'^^^''*'''''""^''^^'''''' \
