CHAPITRE V

Propriétés générales des Nombres»

108. Introduction. -— Avant de pénétrer davantage dans la science des nombres y et pour en découvrir plus facilement de nouvelles propriétés , il est indispensable d^emprunter à l'Algèbre quelques-uns de ses matériaux, tels que les lettres et les signes , k Taide desquels on indique d'une manière gâ^rale et abrégée les opérations et les raisonnements que comporte la résolution d'une question.

Ces éléments sont au nombre de dix principaux , que nous allons faire connaître successivement.

i\ Les lettres, qu'on emploie à la place des chiffres pour représenter les nombres.

Leur usage offre à la fois une écriture plus concise et plus générale que celui des chiffres ; il fait mieux ressortir l'existence de telle ou telle propriété, par rapport à une ou plusieurs classes de nombres.

a®. Le signe + 9 dont on se sert pour marquer Taddition de deux ou plusieurs nombres, et qui s'énonce : plus.

Ainsi , 45 + 23 s'énonce : 4^ plt4s 23 , ce qui signifie ^5 augmenté de 23 ; de même, â+^ + ^ s'énonce : a plus b plus c, c'est-à-dire le nombre désigné par a, augmenté du nombre exprimé par 6 , et du nombre exprimé par c.

3° Le signe -— , qui s'énonce : moins j et que l'on place devant un nombre qu'il s'agit de soustraire d'un autre nombre.

NOTIONS SUR LES &IG(VCS ALGÉBRIQUES. l5l

Ainsi, 73-^49 s'ënonce: 78 moins ^'Q^ c'est-à^dii^ ^3 di^ minué de 49 > ou bien encore, l'excès de 7 3 sur 49» ^"^^ s'énonce a moins b,

4*> Le signe de la muUiplication, qui est X» wxvax point, que Ton place entre deux nonabres, et qui s'énonce: multi-' plié par.

Ainsi, sgx^f ou ag.SS, s'énonce: 29 multiplié par 35, c'est-à-dire /e produit de i,gpar 3S} aX ^ » ou a.6, s'énonce : a multiplié par 6.

A\ ^. -^ Lorsque les nombres dont il faut indiquer la multiplication, sont exprimés par des lettres , on convient encore de les écrire Us uns à la suite des antres sans interposition de signes ainsi ab signifie encore a multiplié par 6. Mais il est bien entendu que la notation où ne i)eut être employée que lorsque les nombres sont désignés par des lettres ^ car , si Ton voulait, par exemple, représenter le produit de 5 par 6, et que l'on écrivit 56, on confondrait cette notation avec te nombre cinquante^ix . Dans ce cas, il est indispensable d'employer le signe X ou ^xn point, et l'on écrit 5 x6 ou 5.6.

S®. Le signe de la division, composé de deux points : que l'on place entre le dividende et le diviseur, ou bien encore d'une barre-» , au-dessus et au-dessous de laquelle on place respectivement le dividende et le diviseur.

Ainsi , 24 î 6 , ou -^ ? s'énonce : ?4 divisé par 6 , ou /e quo^ tient de 24 ptir 6. De même, a : ^ , ou 79 s'énonce : a divisé

par b. La notation -=■ est la plus usitée.

6**. Le coe^c2en/> signe que l'on emploie pour indiquer l'addition de plusieurs nombres égaux exprimés par des lettres. Ainsi , au lieu d'écri rea4-^ + ^ + ^4"^» ^P^ représente Tad dilion de 5 nombres égaux à a, on écrit Sa, De même, i lâ exprime l'addition de 11 nombres égaux à a; t^ab^ l'addition de 12 nombres égaux au produit de a par b,

' ^ coefficient est donc un nombre particulier, écrit h la

i5^ noTioiis

gauche d'un autre exprimé par une ou plusieurs lettres, et qui marque combien défais on doit prendre la lettre ou le produit que représentent ces lettres.

7^. L'exposant, signe dont on se sert lorsqu'un nombre désigné par une lettre | doit entrer plusieurs fois comme fkcteui dans un produit. Ainsi , au lieu d'écrire aX^X^X^X^i ou aaaaa ^ on écrit plus simplement o^, que l'on prononce a cinq , ou plutôt a 5'"' puissance»

On appelle puissance le résiiltat de la multiplication de plusieurs nombres égaux , et degré de la piiissance , la quotité des nombres égaux multipliés entre eux.

L'exposant , signe de ce degré , s'écrit à la droite et un peu au-dessus dune lettre ; il marque combien de fois la quantité exprimée par cette lettre, doit entrer comme facteur dans un produit, ( Lorsque l'exposant de la lettre doit être i , on se dispense de l'écrire. Ainsi , a* est la même chose que a.)

On appelle racine 2* , 3* , 4*> à*VLn nombre , un second

nombre qui , élevé à la 2*, 3*, 4*« • • • • puissance , peut produire le premier nombre. Ainsi , 3 est la racine 2* de 9, parce que 3 fois 3 font 9 ; 7 est la racine 2* de 49 9 parce que 7 fois 7 font 49; 4 ^^^ 1^ racine 3* de 64, parce que 4 ^ois 4 font 16, et que 4 foî^ >6 font 64.

Les racines 2* et 3* s'appellent encore racines carrée et eubique,

8". Le signe y/, dont on fait précéder un nombre lorsqu'on

veut indiquer que l'on a à extraire de ce nombre une racioe

d'un certain degré. Ainsi , ^a s'énonce : racine troisième de a y

|/^ s'énonce : racine quatrième de b.

Lorsqu'on veut indiquer une simple extraction de racine carrée ou deuxième, on écrit seulement devant le nombre, le signe V/ sans placer aucun nombre en dedans du signe ; ainsi , ^a signifie racine carrée ou deuxième de a,

9^. Le, signe au moyen duquel on exprime que deux quantités sont égales. Ce signe est = , et s'énonce : est é^alà^ ou

SUR LES SIGNES ALGÉBBIQDES. l53

simplement, égale. Ainsi assib signiâe a est égal à ^, oua ëjjale à.

Pour exprimer brièyeraent que l'excès de d& sur a5 est égal à 1 1 , on écrit 36 — 25 =s 1 1 ; c'est-à-dire 36 moins aS égale 1 1 .

Les expressions a = 6| 36 — 25 = ti, se nomment des égalités ; la partie à gauche du signe ss , s'appeHe premier membre , et la partie à droite ,' second membre.

lo^. Le signe d'inégalité , ^ ou <^ , dont on se sert pour exprimer quSine quantité est plus grande ou plus petite qu'une autre (en observant que l'ouverture du signe doit toujours être tournée du côté de la plus grande quantité). Ainsi , a^b signifie a plus grand que b ;à^b signifie a plus petit que b.

109. Pour donner une idée de l'emploi de ces différents signes , et de la simplicité du langage algébrique , faisons quelques applications.

Supposons d'abord que l'on veuille exprimer qu'un nombre représenté par a doit être élevé â la 4'*' puissance , que le produit résultant doit être multiplié 3 fois de suite par h , et qu'enfin le nouveau produit doit être multiplié a fois de suite par c ; on écrira simplement a^b^c'^,

Veut-'On exprimer qu'il faut faire la somme de 7 nombres égaux à ce dernier, ou le multiplier par 7, on écrira ^a^b^.

De même , Mb^ est l'expression abrégée de 6 fois le produit de la 5* puissance de a par la deuxième puissance de b,

3a — 5b est l'expression abrégée de l'excès du triple de a sur le quintuple de b,

v^a"^ — Zab +4^* est l'expression abrégée du doublé du carré de a \ diminué du triple produit de a par b , et augmenté du quadruple du carré de ^.

On appelle monôme , ou quantité à un seul terme , ou simplemcnt terme, une quantité algébrique qui n'est pas composée de parties séparées les unes des autres par les signes de l'addition ou de la soustraction ; et polynôme ou quantité à plusieurs termes , une expression algébrique composée de plusieurs parties séparées par les signes -f- et — ; ainsi , 3a , 5fl*,

l54 HOTIONS éLiMCEiTAIAfiS .

7«'i% sont des monômes; 3fl — 56, 2<i* — 3«6 -4- 4^% sont des polynômes ; la première de ces deux expressions est dite un ^indme ^ parce qu'elle a deux termes; la seconde, un in'^ nôme, paixe qu'elle en a trois , etc. . . .

Voyons maintenant comment on peut effectuer sur des quantités exprimées algébriquement , les opérations fondamentales deTArithmétiquc, en nous bornant toutefois aux cas les plus simples , ceux sur lesquels nous aurons à nous appuyer dans la suite de ce Traité.

tlO. Addition.-^ Pour exprimer qu'il faut ajouter les deux nombres a et 6 , ou écrit simplement a -|- 6. De même , a+b + c indique l'addition des nombres a^bjC; cela résulte des notations convenues. De même, a— 6 et c + d-^f ajoutés ensemble , forment la quantité unique a — 6 -f- c -f* ^ -^Z'

Si l'on avait a«— 6 et 6— -c à ajouter, on écrirait 0^-6-1-6— c; mais comme, d'une part, b est soustrait, et que , de l'autre , il est ajouté , ces deux opérations se compen&ent; d'où il suit que l'expression se réduit à a — - c. Cette simplification se désigne, en Algèbre, sous la dénomination de réduction des termes semblables,

lit. Soustraction, -* Pour soustraire 6 de a, on écrira a— 6. De même, si l'on avait c à soustraire de a—- 6, on écrirait a — A — c.

Soit maintenant à soustraire l'expression c-^d de l'expression a — 6; on pourra d'abord indiquer la soustraction, de cette manière : a---ft — (c — d) , en écrivant entre deux parenthèses la seconde qutmiité c — d , et la faisant précéder du signe — . Mais quand on veut réduire le résultat à un seul polynôme , voici comment il faut raisonner :

Si l'on avait c tout entier à retrancher de a — b , il, viendrai! pour résultat , a — b — c ; or, comme ce n'est pas c, mais bien c diminué de d^ que l'on a à soustraire , le résultat a — b — c est trop faible du nombre d'unités qui se trouvent dans d \ ainsi, on ramènera le résultat à sa juste valeur, en ajoutant d à a-^fi — (?, et il viendra a— 6 — c-J-J.

D'où il résulte que , pour soustraire un polynôme étun

SUR LES OPÉRATIONS ALGÉBRIQUES. l55

autre, il foui écrire ie premier à la suite du second, en chan» géant les signes de tous les termes du polynôme à soustraire.

On trouvera d'après cette règle , et par des raisonoeinenls analogues,

im. Multiplication. — Soit à multiplier a^ par A^?

On écrira o^ X ^9 ou simplement a!^b^.

Mais si l'on a o^ à multiplier par a?, on observera que le nombre a étante fois facteur' dans le multiplicande, et 3 fois facteur dans le multiplicateur, doit être 5+3, ou 8 fois facteur dans le produit; ainsi Ton a a^Xâ^=a^ ; c'est-à-dire que, quand la lettre est la même dans les deux facteurs de la mul^ tipUcation, on V écrit une seule fois en lui donnant pour espo^ tant la somme des exposants des deuxjac^urs» On trouverait de même o*^* X a*b^ = a^b^ j a»6 X ab^ = a^b^ , eu ae rappelant (n^IÛS, ^j^) que 6=6% arsa', et se fondant sur le principe général établi n" 28.

Soit maintenant a—- b ^ multiplier par cl

On peut d'abord indiquer le produit de cette manière t (a'^b)c.

Mais si Ton veut obtenir un seul polynime , on remarquera que, multiplier (a — b) par c revient (n^ %I5) à multiplier c par (a— i) , c'est-à-dire à prendre c autant de fois qu'il y a d'unités dans a diminué de 6 ; si donc on multiplie d'abord c par a tout entier, ce qui donne ca ou ac , le produit est trop fort de celui de c par 6 , ou de 6c ; ainsi , il faut rétrancher bc de ac , et l'on obtient ac — bc pour le produit demandé.

C'est-à-dire que (a — b)cz=iac ^-^bc.

Soit encore (a — b) i2t multiplier par (c — d) ?

Le produit peut d'abord s'indiquer ainsi : (a — 6)(c — d).

Mais pour obtenir un seul polynôme, on commence par multiplier (a — b) par c, ce qui donne ac — 6c; et Tan observe ensuite que ce n'est pas par c tout ejitier que Ton ^vait à multiplier {a — 6) , mais bien par c diminué de d.

l56 IVOTIOlfS ÉiÉMENTAltiEB

Aînsî y le produit ac — ùc est trop fort du produit de {a — b) par </, c'est-à-dire trop fort de ad^ùd. Donc , pour ramener le premier à sa juste valeur, il faut retrancher ad — ùd de ac —bci ce qui donne, d'après la règle de la soustraction, ac — bc — ad-j- bd.

Pour ejffectuer la multiplication de deux binômes, multipliez séparément chacun des termes du multiplicande par chacun des termes du multiplicateur, en observant par rapport aux signes des produits partiels, la règle suivante : Si les deux termes que Ton multiplie sont tous les deux affectés du même signe, leur produit doit être affecté du signe -f- ; mais s^ils sont affectés de signes différents, leur produit doit être affecté du signe '^.

On trouvera , «Taprès cette règle, que (a + b){c^d)ss ac + bc—ad^bd',(a — b) (c+d)'=zac — bc+ad^bd.

lis. Division. — Nous ne considérerons qu'un seul cas de cette (^'ration. C'est celui de deux monômes composés de la même lettre.

Soit a' à diviser par a'?

On peut d'abord indiquer le quotient de cette manière, -7,

oufl' : «^. Mais observons que , comme aHesX un produit dont a^ et le quotient sont les deux facteurs, l'exposant 7 du dividende doit être ( n* itS ) égal â la somme de l'exposant 3 du diviseur et de l'exposant inconnu du quotient ; donc réciproquement , celui-ci est égal à F excès de l'exposant du dividende sur ^exposant du diviseur, c'est-à-dire à 7 — 3, ou à 4.

. . a' Ainsi , — 3 = a* ; en effet, «♦ X a' = a^

On Uouvera de même t-= ^^ ; — = c* ou c •

ftir analogie , on trouvera -^ = «•, -^ = ««, — = a°, . . . cl comme d'ailleurs chacune des expressions —, — 3 ,