Quant aux caractères de divisibilité d'an nombre par
l86 RECHEftCUE
les mulliplcsô, 12, iS, 18, 36, 45, des nombres premiers 2, 3 et 5 y ils sont assez simples pour trouver place ici.
I®. Un nombre est divisible par & ou par 1 8 lorsque, ce nombre étant pair, la somme de ses chiffres, considérés dans leur valeur absolue , est divisible par 3 ou par 9.
Car ce nombre est alors divisible par 2 , et par 3 ou par g ; or, 2 et 3, ou 2 et 9 , sont premiers entre eux ; donc (n® 133) le nombre est divisible par 6 ou par 18.
2®. Un nombre est divisible par 1 2 ou par 36 lorsque les deux derniers chiffres , considères dams leur valeur relative , formant un nombre multiple de ^^ la somme des chiffres est , en outre , disàsible par 3 ou par g. Car alors, le nombre est divisible par 4 , et par 3 ou par 9 ; donc il est divisible par 4x3 ou par 4X9, c'est-à-dire par 12 ou par 36.
3**. Enfin , un nombre est divisible par i5 ou par 45 lorsque, le dernier chiffre étant un o ou un 5 , la somme des chiffres est divisible par 3 ou par 9 ; car alors le nombre est divisible par 5, et par 3 ou par 9, et par conséquent par i5 ou par 45.
Passons actuellement à la recherche de tous les diviseurs d'un nombre , tant simples que composés. Gomme celle question est d'une très-grande importance , nous allons l'exposer d'une manière complète et générale.
144. Soit N un nombre dont il faut trouver tous les divi* seims tant simples que composés.
Désignons par a le plus petit nombre premier, à partir de 2, qui diirise N , et effectuons la division de N par a autant dé fois successives qu'il est possible ,- soit n le nombre de fois que la division a ptt s'effectuer, en sorte qu'on ait N =«• xW, N' ne renfermant plus le facteUr a. Puisque tout nombre premier différent de a^ qui divise N , doit (n® 129) diviser N', il s'ensuit que la recherche des facteurs premiers de N , autres que a , est ramenée à celle des facteurs preiiliers de N'^ nombre plus simple que N.
Désignons de même par b le plus petit nombre premier qui divise N', et par p le nombre de fois que ce facteur y entre;
DE TOUS LES DIVISEURS d'uN NOMllRE. 1 87
on aura N' = ^z» x N'', d'où Ton déduit N = a"ùP X N", N" ne i^enferinant plus les facteurs premiers aet ù.
Désignons encore par c le plus petit nombre premier qui divise N", et par q le nombre de fois que ce facteur y entre ; on trouvera N" = c^ X N**, et par conséquent Nssa^^Pc* X N*.
En continuant cette série d'opérations, On obtiendra bientôt un quotient qui sera un nombre premier ou une certaine puissance d'un nombre premier (circonstance qui se reconnaît à ce (ju'en prenant ce nombre premier pour diviseur, autant de fois successives qu'il est possible ^ on finit par trouver un quotient égal à V unité).
- Supposons, pour fixer les idées, que ^'^ soit égal h d',d étant un nombre premier ; on aura alors N = a^bPtléty a, b, Cy d représentant ( n® 132) les seuls facteurs premiers que puisse renfermer N.
Le nombre N est dit alors décomposé en ses facteurs simples.
Si l'on vent ensuite former les diviseurs composés , il faudra (n** IM) déterminer tous les produits qu'on peut obtenir en multipliant deux à deux, trois à trois, etc.. , les puissances de ces facteurs premiers , comprises depuis la première Jusqu'à la puissance n^'*"' pour «, p*^^' pour b , ^'*"*' pour c . . .
Pour être sûr d'obtenir tous les diviseurs , il est tonvenable de suivre un certain ordre ; et pour cela, on forme les deux tableaux suivants :
Soit proposé le nombre '588o.
Premier tABLEAu. — Retherche des diviseurs simples.
ODOO
Apres avoir tracé à la droite de 588o une banc verticale
t88 RECHERCHE
on écrit 2 qui est le plus petit diviseur de 588o , à côté de la barre, et sur la même ligne que 588o ; puis on effectue la division, et Ton place le quotient 2940 au-dessous de 588o.
2940 étant encore divisible par 2 , on écrit ce nouveau diviseur au-dessous du précédent, et le nouveau quotient 1470 au-dessous de 2940.
1470 étant encore divisible par 2 , on place ce nouveau diviseur au-dessous du précédent , et le nouveau quotient 786 au-dessous de 1470.
Le quotient 735 n'est plus divisible par 2, mais il f est par 3, nombre premier le plus simple après 2. On écrit 3 au-dessous du dernier diviseur 2 , puis on divise 735 par 3 , ce qui donne pour quotient 245 qu'on pkice au-dessous de 735.
245 n'est plus divisible par 3 , mais il l'est par 5 que Ton écrit aU'ndessous du diviseur 3 ; et l'on a pour nouveau quotient 49» qu'on place au-dessous de 245.
49 n'est plus divisible par 5, mais il l'est par 7, qu'on écrit sous le diviseur 5. Le quotient de 49 f^^ 7 est 7, qu'on place au-dessous de 49*
Enfin , 7 étant un nombre premier^ on l'écrit de nouveau comme diviseur, dans la colonne à droite ; et , comme on ob« tient 1 pour quotient, l'opération est terminée.
On trouve alors pour le résultat de toutes ces opérations ,
et le nombre se trouve ainsi décomposé en ses /acteurs sim^ pies,
Secoic TABLEAU. — Fomiation de tous les diviseurs , tant simples que composés. {T^ojrez la page suivante.)
Pour obtenir tous ces diviseurs , on écrit d'abord sur une même ligne horizontale les quatre nombres 1^2,498, qui sont évidemment diviseurs de 588o , puisque i est diviseur de tout nombre, et 'que, d'après la décomposition opérée cidessus, 588o a pour facteurs 2*, 2*, 2''.
Cela posé, on multiplie tous les termes de cette première ligue par le facteur 3, et Ton obtient une nouvelle ligne de
DE TOUS LES DIVISEUIlS d'UN NOMBRE. 189
diviseurs, 3, 6, 12, 24, qu'où placé respectivement au-dessous des précédents.
Passant au facteur 5 , on multiplie tous les termes des deux lignes précédentes par ce facteur, et Ton obtient deux nouvelles lignes de diviseurs, 5, 10. . . , i5, 3o. . . .
Passant au facteur 7 qui entre deux fois dans le nombre proposé, on multiplie d'abord tous les termes des quatre lignes précédentes, par ce facteur, ce qui donne ^ua/re- nouvelles lignes de diviseurs , puis tous les termes de ces quatre dernières lignes , par le même facteur 7., ce qui donne encore quatre nouvelles lignes de diviseurs.
On a donc, en tout, 12 lignes de 4 nombres chacune , ou 48 nombres qui sont autant de diviseurs de 588o.
loS,
Il est d'ailleurs facile de voir, i**. que tous les produits obtenus dans cette opération , sont des diviseurs du nombre proposé (cela résulte de l'expression 588o =s2^ . 3. 5 . 7'); 2^. que ce nombre ne saurait eu avoir d'autres. (^Fayez n^ 132.)
N. B. '^ Dans la pratique , il convient , pour la formation du second tableau , d'écrire sur la première ligne horizontale, les puissances du facteur premier qui entre le plus de fois dans be nombre proposé ; l'ordre des autres facteurs est ensuite lout-à-fait indifférent.
Nous proposerons pour exercice, de trouver tous les divi-
igo RECiiEKCiii: oi: tous les uiviseuus i» un nombre.
seurs des nombres
que 1*011 reconnaîtra respectivement égaux à
148. Dès qu'on a opéré la décoiuposition d'un nombre en ses facteurs simples, on peut aisément obtenir l'expression du nombre total des dwiseurs que renferme le nombre proposé, sans être obligé de former le second tableau.
Reprenons en effet l'expression générale
N=:a« bP c^ d\ et considérons la première ligne de diviseurs
dont le nombre est exprimé par (« + i).
En multipliant tous les nombres de cette première ligne, successivement par les termes A* , ^* , b^^ . . . , /^^, qui sont en nombre/; , on forme un nombrep.de nouvelles lignes de diviseurs de (fi + 1) termes cbacune, ou (n-f- i)Xp diviseurs, auxquels il faut ajouter les (w+i) diviseurs de la première ligne, ce qui donne (n+i) /?-|- (72+ i), ou (n-f- 1) (/?-f-i). [ Tous ces diviseurs sont des puissances de ^ et de 6 prises isolément ou combinées deux à deux.]
Multipliant maintenant tous les termes de ces différentes lignes de diviseurs, successivement par les termes c' ,c*,cr^, .. . ,d, qui sont en nombre q , nous obtiendrons un nombre de nouvelles lignes de diviseurs, exprimé par («-f- i) (/?-f- 1) X ^, auquel il faudra ajouter le nombre (n-f-i) {p -^ i.) des diviseurs formés précédemment.
Ainsi le nombre total des diviseurs déjà obtenus est exprimé par
(71+1) (i^+Ox^ + Cï+O [p+ i),ou (/2+I) (p+0(7-J-0;
et ainsi de suite.
GARACTèaES DES NOMBRES PREMIERS. I9I
D'où l'on déduit cette règle : augmentez d'une unité chacun des exposants n , p, q, des différenis facteurs premiers qui en^ trent dans N > puis multipliez entre eux ces exposants ainsi augmentés d*une unité j le produit exprime le nombre total des diviseurs de N , jr compris l'unité et le nombre lui-même, qui doiveat l'un et l'autre entrer en ligne de compte.
Dans l'exemple traité ci^dessus, comme on a trouvé
on doit avoir (S+O (i+J) (^ + C^+O^^^** 4-2*2«3, ou 48, pour le nombre total des diviseurs; c'est eu effet ce qui résulte de la formation du second tableau.
146. Remarque» — îl arrive quelquefois qu'e,n essayant la division d'un nombre N par les facteurs premiers 2 ^3, 5^ 7. . . , on n'en trouve auciin (]ui le divise exactement. Or, lorsqiCon a poussé Vépreus^e jusqu'à la partie entière de la racine carrée de N {voyez le n® 108, 7**), sans trouver aucun diviseur exact, il est inutile d essayer de nouveaux diviseurs , et Von peut assurer que N est un nombre premier.
Ainsi, 73 est un nombre premier; car la racine carrée de 73 est comprise entre 8 et 9, el aucun nombre entier jusqu'à 8 inclusivement, ne divise exactement 73.
Pour démontrer cette proposition , soient deux nombres A et B , dont le produit est égal à N ; et désignons par R la racine carrée deN.
On a AxB = RxK.
Or, pour que cette égalité subsiste, il faut cvidenimcnt que, si l'on a A> R , on ait par compensation , B <; R; ce qui prouve qu'il ne peut exister un diviseur de N , plus grand que R, par cela seul qu'il n'y en a pas de plus petit. Ainsi le nombre est premier.
Les jeunes gens qui savent déjà extraire des racines carrées reconnaîtront sans peine, d'après la remarque précédente,
■ 91 FORMATION It UHE TABLE OEB NOMBHES PHEMIERS.
que Ii3'',7i9,9'j7, 33a9,8ia3,. .., sont des nombres pre-
147, Formation d'une table des nombres premiers.
Soit proposa , par exemple , de former une tftbie de tous les nombres premiers depuis i jusqu'à looo.
Ëa concevant les i ooo premiers nombres écrits à la suite les uns des autres, on commence par supprimer, i". tous les notiibies pairs, autres que 3^ a", tous les nombres multiples de 3 , autres que 3 (n'IST) ; 3". tous les uombres terminés païuiiS, autres que 5 (n° 138}.
Ces premières suppressions opérées, on peut déjà afiirmec que tous les nombres, compris depuis i jusqu'à 7 X 7 ou ^Qi et qui n'ont pas été effacés, sont des nombres premiers [puisque le plus petit multiple de 7 restant ne peut ètie que 1X7).
Ainsi, tous les nombres premiers depuis 1 jusqu'à 47 incluaivemenl sont déjà connus.
Maintenant, si l'oneflace toiw les multiples de 7 à partir de 4g, on peut affirmer que les nombres non supprimés, jusqu'à 11 X II ou lai exclusivement, sont des nombres premiers (puisque tous les multiples de II infértears à celui-là ont du disparaître).
Donc tous les nombres premiers depuis 1 jusqu'à 1 13 sont connus.
Eftaçant de nouveau tous les multiples de 11, à partir de 1 1 X I >, on pourra conclure que tons les nombres non efiacés . et compris depuis ii3 jusqu'à 167, nombre premier iminédinlcnient inférieur à 169 ou i3 X iS, sont des nombres premiers; et ainsi de suite. On voit avec quelle prouiptitudi;
('] Cmx nUiqoeU cvuo oprialion ne mail pu faniUicn: peaicnl te bor-
l.ni«l)U«, Klirit mvoif mayt iHrcwiitVMCM , smiu aucun tuceèi, lei h^xmAtm ftfWNtcn II 5, 5, 7>...
/jr <fiii> te ilrmirr rftii'ipHr rua
RiDUGT. DES FRACT. AU PLUS PETIT OéNOMIPTAT. COMUITm. K)3
on peut former une table de nombres premiers assez éten-* •Jue (♦).
148. Réduction des fractions au même dénominateur, — La règle ge'ne'rale établie , n^ 47 , pour réduire deux ou plusieurs fractions au même dénominateur, conduit ordinairement à des fractions dont les termes sont très-grands. Cependant , lorsque les dénominateurs primitifs renferment des facteurs communs, il est possible d'obtetiir un nombre beaucoup plus petit que leur produit, qui serve ensuite de dénominateur commun à toutes les fractions. C'est (fbncune question importante à traiter, pour la simplicité des calculs , que celle qui consiste à déterminer le plus petit multiple commun aux dénominateurs de deux ou de plusieurs fractions.
Or, voici la règle qu'il faut suivre pour obtenir ce nombre : Décomposez, d'après la règle n" £44, les différents dénominaleurs dans leurs facteurs premiers y formez ensuite le produit de tous ces fréteurs premiers éles^és respectivement à la plus haute des puissances auxquelles ces fréteurs se trouvent élevés dans les différents dénominateurs. Le produit ainsi formé est le nombre demandé.
D'abord , ce nombre est multiple de chaque dénominateur, puisqu'il contient tous les facteurs premiers à une puissance au moins égale à celle qui entre dans ce dénominateur. Je dis, en outre, que c'est le plus petit multiple commun à tous; car, pour contenir exactement un dénominateur quelconque, il faut qu'il renferme cliaque facteur premier à une puissance au moins égale à celle qui entre dans ce dénominateur.
Soit, par exemple, proposé de réduire à un même dénominateur les six fractions suivantes :
i3 17 23 173 319 5^3 60 ' 28 ' 7.^0 * aaS * 490 * 72^*
Les six dénominateurs décomposés dans leurs facteurs sini-
OCeUc méthode est connue soiu le nom de Crc^/e d^ÉnATOSTHÈNB. àriûi. B* l3
194 BÉDDGT.DES FRACT. AU PLDS PETIT DÉIVOMIliAT. COMMUK.
pies, d'après la règle connue, reviennent à
2*.3.5, 2*,7, 2<.3.5, 3'. 5% îs.5.7*, a*.3*.5.
Les seuls facteurs premiers qui entrent dans ces dénominateursy sont 2, 3, 5y«t 7; et les plus hautes puissances auxquelles ces (acteurs premiers s'y trouvent élevés, sont 2^ 3*, 5*, 7^ Formant donc le produit de ces plus hantes puissances , on trouve 1 76400 pour le plus petit multiple commun à tous les dénominateurs ; et ce nombre est le dénominateur commun auquel il s'agit de réduire toutes les fractions.
Pour exécuter cette opération , on divise séparément le dénominateur commun par le dénominateur de chacune des fractions proposées ; et l'on multiplie le numérateur par le quotient correspondant.
Ainsi , dans cet exemple , considérons d'abord la première fraction.
La dîviùon de 176400 par 60 donne 2940 pour quotient;
d'où, en multipliant le numérateur de cette fraction par 2940,
. 38220 on obtient — -r-: — .
Passant à la seconde fraction et divisant 176400 par 28 , on
a pour quotient 63oo ; d'où, multipliant le numérateur par
63oo , on déduit — ^ — .
On trouverait de même pour les quatre dernières fractions,
Ces diverses opérations sont déjà assec compliquées ; mais elles seraient bien plus laborieuses, et Ton parviendrait à un
dénominateur incomparablement plus grand, si l'on suivait
la règle établie n® 47. (On trouverait 320o6o 16000000.)
Au reste, les décompositions des dénominateurs dans leurs
facteurs simples se font, le plus souvent , à la seule inspection
de ces nombres , surtout lorsqu'ils renferment plusieurs fois
les facteurs 2,3,5, pour lesquels on a des caractères de di"
REMARQUES SUR LE PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR. iqS
visibilité, ainsi que pour leurs niuUiples 4, 6, 8,9, 12, i5,
Nous proposerons pour exercice les fractions suivantes ,
i3 17 ii3 527 1211 36i3 5237
(Le plus petit multiple de tous les dénominateurs est 7^. 3'.5*.7^ = 4939200.)
149. Remarques sur le plus grand commun diviseur. — Nous avons e'tabii , n° ^8 , un procédé pour obtenir le nombre le plus grand qui puisse diviser à la fois deux nombres proposés. Ce procédé est simple^ et la démonstration que nous en avons donnée , ne laisse rien à désirer sous le rapport de la vigueur. Cependant nous allons faire connaître quelques propriétés importantes de ce plus grand commun diviseur, qui nous conduiront à des simplifications dans la pratique.
Puisqu'un nombre entier quelconque, décomposé en ses facteurs simples, ne peut avoir d'autres diviseurs (n"i52) que ces facteurs premiers et leurs combinaisons deux A deux, trois a trois, etc. , il s'ensuit que deux nombres entiers n'ont pour diviseurs conununs, que les facteurs premiers communs, ou les combinaisons communes de ces facteurs.
Donc le plus grand commun diviseur de deux ou plusieurs nombres est le produit des facteurs premiers communs à ces nombres, élevés respectivement à la plus faible des puissances auxquelles entrent ces facteurs dans les^ nombres proposés.
CoxsÉQDENCt. — Tout diviseur commun à plusieurs nombres divise leur plus grand commun diviseur^ cette proposition a tléjàété établie, u** M, pour deux nombres.
iBO. Cette propriété fournit un autre moyen de déterminer leplus^rand eomuitin diviseur de deux noanbres  et fi : Com-» ntencezpar rechercher tous les diviseurs du nombre A, diaprés la méthode du n** £44 ; déterminez de même tous les diviseurs du nombre B. Voyez ensuite quel est le plus grand de tous les diviseurs qui se trouvent communs aux deux tableaux; vous obtenez ainsi le diviseur demandé,
Ig6' REMARQUES
Ou bien encore , ce qui est plus court , après ai^oir seulement décomposé les deux nombres en leurs. facteurs simples (n® 144), faites un produit des facteurs premiers communs', élevés respectivement à la plus faible des deux puissances auxquelles ces facteurs entrent dans les deux nombres.
Soient, par exemple y les deux nombres 2i5o et 36i2, dont on veuille obtenir le plus grand commun diviseur.
3oi
On trouve pour les diviseurs simples de 2i5o.. 2,5,5,439
et pour les diviseurs simples de 36 12 2,2,3,7 ,43-
Donc 2 X 43 ou 86 est le plus grand commun diviseur cherché. On voit de plus, que 5 X 5 ou 25, et 2 X 3 X 7 ou 42, sont les quotients de la division de 21 5o et 36 12 par 86.)
£51. Ce procède est toutefois moins simple , en ge'ne'ral , que le procédé ordinaire , surtout lorsqu'on apporte , dans la pratique de celui-ci , les modifications suivantes :
Puisque le plus grand commun diviseur de deux nombres iie se compose que des facteurs premiers communs aux deux nombres, on jjeul, sans ïnconwémeni , supprimer dans*Vun d'eux un facteur premier qui s'jr trouve en évidence et qui n'entre pas dans l'autre.
On peut mémo, si Ton veut, supprimer un facteur qui est évidemment commun aux deux nombres , pourvu qu'à la fin de l'opération subséquente , on en tienne compte en multipliant le résultat auquel on parvient, par le facteur supprimé.
Observons d'ailleurs que le plus grand commun diviseur de deux nombres étant (n^ tfS) le même que celui qui existe entre le plus petit nombre et le premier reste, entre ce reste et le second, etc. . . . , ces suppressions peuvent se Jaire dans chacune des opérations que comporte le procédé.
