SUR L£S FRACTIONS IRRÉDUCTIBLES. I
les divisant par ce facteur , obtenir une fraction plus simple , ce qui serait contre la définition.
Réciproquement , toute fraction dont l&s deux termes sont premiers entre eux est irréductible.
En effet, désignons par j la fraction proposée , dont les
ternies sont , par hypothèse , prenaiers entre eux ; et soit une
autre fraction -^ égale à la première. *
^ a C 1» « ir 1 ' I • ^^
On a -=-, dou 1 on déduit css-r-.
ou ,
ad
Or, c est un nombre entier; donc -7- doit aussi être un
nombre entier; mais, par hypothèse , b est premier avec ai
ainsi (p?iM) b doit diviser dj et l'on a d-szbq.
Substituant cette valeur de d dans l'expression de c, on
obtient
abg
Cela prouve évidemment que pour qu'une fraction ^ soit
équivalents à une fraction t dont les deux termes sont premiers
entre eux , il figiut que les deux termes c et d soient des équi" multiples de a ef b.
Donc la fraction j ne peat être équivaleiUe à aucune autre
fraction plus simple.
Il résulte de là que quand on a divisé les deux termes d'une fraction par leur plus grand commun diviseur', la fraC" tien résultante est irréductible ; proposition que pous avons énoncée au numéro 54 , mais sans la démontrer.
154. On peut encore conclure de ce qui vient d'être dit, que deux fractions irréductibles ne peuvent être égales, à moins qu'iln'jrait identité, iune part entre les numérateurs, if autre part entre les dénominateurs.
En effet, la première fracliou étant irréductible , doil*avoir
Msdeni Urmes jiremicn riure eux; donc, pour que laacconde lui soit égale , il faut que ses deux ternies soient tks iquimultipUt des deux teriuesde U première ; et comme lasecondu fraction a aussi ses deux termes premiers entre eus, ceni-ci doiventêtre simplement égaux aux deux termes de la première.
J m. Det fractions décimales périodiques.
ta». L'évaluation d'une fraction ordinaire en fraction décimale, c'est-à-dire en dixièmes , centièmes de l'unité principale , donne lieu à des circonstances qui méritent d'être examinées; mais avant de les faire connaître, il est nécessaire de revenir sur le procédé qui sert à convertir une fraction ordinaire en fraction décimale.
Nous avons vu (n" 91) que, pour opérer cette réduction, il feui, après avoir écrit un zéro au quotient et une virgule à la (Iroiie de ce zéro , t°. placer à la droite du numérateur un o et diviser le nombre résultant par le dénominateur, ce qui donne au quotient des dixièmes et un certain reste ; 2". placer unnouveau o à la droite fie ce reste et diviser te nombre résultant par le dénominateur, ce qui donne au quotient des centièmes et un second Teste j 3». placer à la droite de ce reste un nouveau o, et diviser le nombre résultant par le dénominateur; on conliDue d'ailleurs cette série d'opérations, jusqu'à ce qu'on ait obtenu le degré d'approximation qu'on veut avoir.
Or, U est évident que poser successivement à la droite des différents restes autaut de zéros qu'on veut obtenir de cbiffies décimaux, revient à écrire tout de suite ces léros à U droite du nuniécaleur de la fraction proposée, c'est-à-dire à multiplier le numéraieurpar l'unité suivie d'autant de zéros que l'on veut avoir de chiffres décimaux , à diviser le produit résultant par le dénominateur, et à séparer ensuite vers la droite du qnctient, le nombre de chiffres décimaux demandé.- car, d'après Il [uwédéordinairede la division des nombres entiers, on est conduit ;\ abaisser surcessivemenl à la droite de chaque ixsW, lis reros qu'on a ccrils (nul d'abord;
DES FRACTIONS OÉGIMALES p£aiODIQU£S. 901
Celle remarque va nous servir à deinonlrer les deux pro* {)! iétc's suîvautes :
156. 1^. Toute fraction ordinaire dont le dénominateur ne renferme pas d^ autres facteurs premiers que 2 e/ 5 , est réductible en une fraction décimale d'un nombre limité de chijffres décimaux; c'est-à-dire qu'après un certain nombre d'operations, on doit parvenir à un reste nul; auquel cas la fraclion décimale obtenue exprime la valeur exacte de la fraction proposée.
En outre , si la fraction ordinaire proposée est irréductible (ce qu'oïl peut toujours supposer) , le nombre total des opérations à effectuer, est marqué par le plus grand des deux exposants de ^ et 5 y qui entrent dans le dénominateur.
Ainsi, les fractions 09 '~?9 7*9 — ^ 9 <iui peuvcfkii évidemr inent se mettre sous la forme
sont réductibles en une fraction décimale d'un nombre limité dechiflfres décimaux.
La première et la troisième dannent lieu à 3 opérations;; la seconde à 2 , et la quatrième à 4*
On trouve en effet , pour leurs valeurs ,
ce qu'on peut vérifier aisément en opérant leur réduction en décimales , d'après le procédé ordinaire.
Pour nous rendre compte de cette propriété, remarquons
que 10, 100, 1000,. . . étant égaux à 2.5, 2^.5% 2^.5^, ,
si, pour opérer la réduction en fraction décimale , on multiplie (n^ ii$â)le numérateur pario, 100, 1000. . . . , le produit résultant sera divisible par 2.5, 2*. 5*, 23.53. ... ; donc, si l'on multiplie ce numérateur par l'unité suivie d'autant de zéros qu'il y a d'unités dans le plus grand des exposants de 2 et 5 que renferme le dénominateur, le produit résultant sera nécessairement multiple de ce dénominateur.
%oa PEopRiÉrés des faactioiis décimales kébiooiques.
Donc le nombre des opérations à effectuer est limité, et égal au plus grand des deux exposants de 2 et 5 qui entrent dans le dénooiiDatear.
i^7. Toute fraction ordinaire dont le dénominateur ren- Jèrme un ou plusieurs facteurs premiers différents deitetS, qui n^ entrent pas en même temps dans le numérateur, donne lieu à une fraction décimale dun nombre de chiflres décimaux ILLIMITÉ ou iiiFiNi. De plus, cette fraction décimale est périodique , cVst^-dire qu^après un certain nombre d'opérations , les mêmes chiffres décimaux se reproduisent constamment d^ns le même ordre.
En effet 9 la muUiplicfttion du numérateur par 10, 100, looo. . . «y ne fait qu'introduire les facteurs premiers 2 et 5, chacun à une certaine puissance ; ainsi l^ facteur premier que l'on suppose exister dans le dénominateur sans entrer dans le numérateur, ne se trouvera pas davantage (o? iS9) dans le produit du numérateur par une puissance quelconque de i o . Donc, quelque nombre de zéros qu'on écrive, on ne pourra obtenir un produit exactement divisible par le dénominateur; ainsi les opérations se continueront à l'infini.
Je dis en outre que la fraction sera périodique. En effet, comme, suivant le procédé du n** 1UI$, chaque reste qu*on obtient est toujours moindre que le diviseur, qui reste constant, il s'ensuit que , quand oa aura ffût tout au plus autant d'opérations qu'il y a d'unités dans le diviseur moins un , on devra retomber sur l'un des restes déjà obtenus.
Or, en écrivant un zéro à la droite de ce reste, on aura un nouveau dividende partiel semblable à l'un des précédents ; et puisque le diviseur est le même , le nouveau quotient et le nouveau reste seront aussi semblables à ceux qu'avaient donnés le premier dividende retrouvé et le diviseur. Écrivant à la droite de ce reste un nouveau zéro, on reproduira le divi-*dende partiel qui suit immédiatement celui qu'on avait d'abord retrouvé , et par conséquent aussi le quotient qui vient après celui qu'on a déjà retrouvé. Ainsi de suite.
EX£HPL£S DE TRACTIONS PÉBIODIQDIS. 2o3
Donc certains chiffres du quotient doivent se reproduire pé' riûdiquemeni et dans le même ordre.
Faisons quelques applications.
158. Premier exemple, — Soil proposé de réduire en dccimales la fraction -.
Il suffit, pour cela, de lui 60 17 —^
appliquer la règle du n** 91. Ici 4^ 1 0,857 142)867 14^* '
la période coinmence après la 5o
6"' opération , c'est-à-Hlire après i o
autant d'opérations quHl y a d'u- « 3o
nités dans le diviseur 7 diminué ao
d'une unité. 6
Second exemple. — Soit la fraction 5—.
Dans cet exemple, la période se i3o i^t
manifeste après la 3*' opération, i9o(o,35i|35j . . .
c'e9t^*-dire beaucoup plus tôt que So
ne le marque le diviseur 37. i ï
Troisième exemple, • • • ^^
Ici , la fraction décimale est limitée , quoi* '47^ 1^7^
que le dénominateur 875, ou 7 X i sS, ren- SgSo i 0,166
ferme le facteur 7. Mais observons que ce 7000
uiéme facteur se trouve dans le numéra- 0000 teur; et, en le supprimant haut et bas^ on
trouve — = ou =3-, fraction qui (n® 1»6) peut être convertie
en une fraction décimale d'un nombre limité de chiffres dé«* cimaux .
Quatrième exemple . * . . g^.
2o4 SOHMATIOII DES FRACTIONS PÉBIODlQÇES.
Dans cet exemple, la période 290 |84
sa manifeste après la 8"*' opéra- 38o j 0,34523809! SsSSog ..
tion . Mais, ce qu'il y a de reinar- 44^
qaable , c'est que les deux pre- 200
miers chiffres de'cimaux ne font 32o
pas partie de la période ; tandis 680
que , dans les deux premiers 800
exemples, la période commence 44
au premier chiffre décimal.
Les fractions décimales périodiques dont la période commence au premier chiffre décimal , s'appellent/raolioraf périodiques simples j et celles dont la période ne commence que plus tard, se nomment Jractions périodiques mixtes,
ira. Nous venons de voir que certaines fractions ordinaires, réduites en décimales, donnent lieu à des fractions décimales périodiques.
Réciproquement, toute fraction décimale périodique , simple ou mixte , provient d'une fixu:tion ordinaire; et l'on peut re^ trouver fitcilement la fraction qui lui a donné naissance*
Cette question présente deux cas distincts : ou la fraction périodique est simple, ou bien elle est mixte.
Considérons d'abord le premier cas, et supposons, pour fixer les idées, une fraction périodique simple dont la période ait cinq chiffres.
Soit o,abcde abcde abcde, ... la fraction proposée , et désignons par X la valeur inconnue de cette fraction. On a d'abord
x = Ofabcde abcde abcde, , . . (1).
Multiplions les deux membres de cette égalité par 10^, ou par l'unité suivie d'autant de zéros qu'il y a de chiffres dans la période, ce qui se fait (n° 86) en avançant la virgule de 5 rangs vers la droite; il vient
I o^ . X , ou 1 00000 X ^ = abcde ^ abcde abcde.,. ,
ou 1 00000 X ^ = abcde -f- o , abcde abcde (2).
SOMMATION DES FRACTIONS P#.RÎ0D1QUES. 2o5
Si maintenant on retranche IVgaîité (i) tle rc{;alilé (2), en observant que 100000 j: — - or = 99999^,
on obtiendra 99999r = abcde ;
abcde
donc enfin
QQQQQ
Ce qui prouve qu'une fraction décimale périodique simple est équisfolente à une fraction ordinaire qui a pour numéro^ leur l'ensemble des chiffres de la période , et pour dénomina'^ leur un nombre composé et autant de 9 qu'il y a de chiffre^, dans la période.
Ainsi la fraction o,35i35i35i. . . est, d'après cette règle ,
35i équivalente à la fraction — .
Celle-ci peut être siinplifie'e si Ton remarque que ses deux
termes sout divisibles par 9. On obtient , par la suppression
de ce facteur , —^ ; supprimant de nouveau le facteur 3 qui
est encore commun, on trouve enfin pour la fraction réduite,
Y' ^'cst la fraction du second exemple traité au n^ IIS8.
Soit encore la fraction 0,03960396, ...
La période est ici 03^6; donc la fraction est équivalente à
--^, ou simplement, à — ^ . (On supprime le o comme inu-
yyyy 991^9 ■
tile; mais on a dû d'abord en tenir compte, parce qu'il fait partie des chiffres delà période. )
Le facteur 9 étant commun aux deux termes de ce résultat , on le supprime, et il vient --^ , fraction dont les termes sont encore divisibles par 11 ; et en supprimant ce facteur, on obtient enfin -—^ nour la fraction réduite à ses moindres
lOI ^
termes.
ao(> AUTRES l»ftOPr.iKTL5
Nous citerons, connue remarquables^ les exemples suivants :
iV. B, -^ Si la fraction périodique renfermait un entier^ on en ferait d'abord abstraction ; puis on l'ajouterait à la fraction ordinaire équivalente, après l'avoir réduite à ses oioindies termes.
Ainsi , soit proposé de trouver la valeur de 4 1 162162
On a d'abord o, 162162 = = = --— ;
donc 4»*^^i62***- = 4 + o" == T^-
i€0« Passons au cas A.û%f raclions périodiques mixtes.
Pour fixer encore les idées, nous supposerons qu'il y ait^uaire chiffres avant la période et cinq dans la période; mais la inanière de raisonner n'en sera pas mmns générale.
Soit donc o^pqrs abcde abcde, . . la fraction proposée.
Observons qu'en la multipliant et divisant en même temps par loooo , on peut la mettre sous la fomne
(dût*, abcde abcde, , . . ).
Or, la quantité entre parenthèses équivaut , d'apès la règle
abcde précédente, kpqrs H ; ou bien, réduisant l'entier en
99999 Dadc , si l'on désigne par x la fraction proposée .
,^ox = £?îl2i29ffî9±^*£±;
pqrs X 99999 + abcde
et par conséquent, x = ^-^ ^^^^^ .
