DES FRACTIONS PERIODIQUES
Mais ce résultat est susceptible d'une modification qui le rend plus commode pour les applications.
Gomme on a 99999 = laoooo — i, il en résulte pqrs X 99999 ^=^pqrsoooùo *^pqrs ; d'oi p^^^ X 99999 •+• abcde zszpqrsabcde -*■ pqrs. Donc enfin Ift fi^action proposée a pour valeur ,
pqrsabcde — pqrs 999990000 *
Ce qui prouve c^* une fraction périodique mixte quelconque est équivalente à unefraction ordinaire aj^ant pour avMànATiVR Venserhble des cJiiJjfhes de la partie non périodique et de la première période, diminué de la partie non périodique , et pour TiàîfOMUfArEvn un nombre formé (fautant de 9 qu'il y a de chiffres dans la période , sui\^i Sautant de zéros qu*ily a de chiffres dans la partie non périodique.
Soit pour exemple , la fraction
En appliquant la formule précédente, on trouve
ou, divisant successivement les deux termes par les facteurs 9, aS, et 1 19 qui leur sont évidemment communs {vojez les caractères d« divisibilité établis pour ces trois nombres) ,
Nous proposerons pour exercice les fractions 16,285714285714....; 4>94^857i42857i.... ; 5,52027027... Mais dans l'application des règles précédentes, il faudra nécessairement faire d'abord abstraction delà partie entière, sauf ^l'ajouter ensuite à chacun des trois résultats réduits à leur plus simple expression.
2a8 AITTEES PnOPUtiTÉS
I6I.Urom>.le ^^ P^rsobde - pgrs
• I » lITlTiTl^i
conduit à des résulUU aaseï reiiiar«{sables.
D'abord , il est évideiit que , les calculs indiqués au nu« mérateur éunt effectués, le résulCat ne peut être termine par un ou plusieurs léros ; car, pour que cela fui, il faudrait que ([uelques-uns des derniers chiffres de pçrs fussent les mêmes que les derniers chiffres de aboie ; et dans ce cas , la période ne couunencerait pas après le 4* cliiffie décimal, comme on l'a supposé. (Par exemple^, si l'on avait « =:= e, r = <f y la fraction primitive serait Ojpqdcabcdeabcde. ., ; et la période, commençant au 3* chiffire, serait deabc» ) On Yoit donc qu'après la réduction de l'expression ci-dessus à ses moindres termes, le r^ultat doit être une fraction dont le dénominateur renferme les deux facteurs a et 5 , ou aa moins l'un des deux , à la 4* puissance, c'est*à-dire à une puissance d'un degré marqué par le nombre des chiffres qui ne font pas partie de la période.
Nous pouvons conclure de là les deux propositions suivantes:
1*. Toute fraction dont le dénormùioteur ne renferme aucun des deux Jiacteun premiers ^ et 5, ou est premier avec io> 4kmne lieu , étant réduite en décimales, à une fraction périodique simple.
En effet, si l'on pouTÛt parvenir à une fraction périodique mixte , il s'ensuivrait que la fraction ordinaire équivalente à laquelle on parviendrait d'après la i^le du n* iOD, étant réduite à ses moindres termes, serait ^le à la fraction proposée. Or cela est imposable: car on a vu (n* iiSS) qu'une firaclion dont les deux termes sont premiers entre eux, ou qni est irréductible, ne peut être ^ale à une autre fraction, si les termes de celle-ci ne sont des équimultiples des termes de la première ; il en résulterait donc que le dénominateur de la fraction proposée serait multiple de a ou de 5 ; ce qui est contre l'hypothèse.
a*. Toute fraction isrfpuctiblc dont le dénominateur ren^
DUS FRACTIONS k^ÉRiODIQUES. 209
ferme un des deMix facteurs tl el S, ou tous les deux, donne Heu à une fraction périodique mixte dont la période doit commencer après autant de chiffres qu^il jr a dt unités dans le plus granddes deux exposants de ^ et de 5, qui entrent au dénominateur.
D'abord y la fraction périodique ne peut pas être simple^
caria formule pour ces sortes de fractions, étant ^-^ , il
est impossible (n® IM) que cette dernière fraction , dont le dénominateur ne renferme aucun des facteurs a et 5, soit, après la réduction à ses moindres termes, égale à la fraction proposée dont le dénominateur renferme ces mêmes facteurs.
£n second lien, si n désigne le plus grand des deux exposants de 2 et 5 y qui se trouvent dans le dénominateur, la période doit commencer après n chiffres ; car supposons, par exemple, qu'elle commence après (n — i ) chiffres ; la fraction équivalente i cette fraction périodique aurait un dénominateur qui ne renfermerait les deux facteurs a et 5, ou l'un d'eux, qu'à la (n — I )^'*' puissance, et ne pourrait être égale à la fraction proposée, puisque d'ailleurs ces deux fractions sont supposées
irréductibles.
6 i3 Par exemple, les fractions -, — (n® Itf8) , ont donné lieu
à des fractions périodiques simples, parce que 7 et 3^ sont
premiers avec 10; mais la fractionna a donné lieu à une
fraction périodique dont la période coniniençait après le second
chiffre , parce que 8^ est égal à 2\ 21 .
Enfin, la fraction --^:, pouvant se mettre sous la forme — ^ — , ' 176 '^ 2*. 1 1
donnerait lieu à une fraction périodique dont la période corn*
mencerait après le 4"* chiffre décimal.
On trouve, en effet , pour la valeur de celle fraction en décimales , o , 8238636363 ....
162. Nous ne pousserons pas plus loin l'exainen des proprictés des fractions décimales pe'riodiques. Nous nous bornerons à
Arilh. B. 1^
aïO DES FRACTIONS CONTINUES.
observer que des propriétés analogues aux précédenles se manifesteraient dans un système quelconque de numération dont la base serait B.
D'abord, pour réduire une fraction ordinaire en subdivisions de B en fi fois plus petites que l'unité, il faudrait, conformément à la règle du n® 91, multiplier ie numérateur parB^ ou lo, cest'à'direj écrire un o à sa droite , et diviser le produit par le dénominateur, ce qui donnerait au quotient des unités B fois plus petites que Uunité principale, et uit certain reste ; écrire à la droite du reste un nouifeeu o , et diviser le résultat par le dénominateur, ce qui donnerait au quotient des unités B fois plus petites que les précédentes , ou B' fois plus petites que l'unité principale ; et ainsi de suite. Ceci admis :
Toute fraction ordinaire dont le dénominateur ne renferme pas d'autres facteurs premiers que ceux qui entrent dans la base B, étant réduite en subdivisions de B enB fois plus petites que V unité, donne lieu à une fraction d'un nombre LiMiri dt; chijffres. Mais toute fraction irréductible dont le dénominateur renferme des facteurs premiers différents de ceux qui composent la base, donne lieu à une fraction d'un nombre w- DÉFiNi de chiffres, et périodique ; etc.
Et ainsi des autres propriétés ; nous laissons aux élèves le soin d'en rechercher les énoncés et les démonstrations.
J IV. Des fractions continues {*)»
165. Les fractions continues doivent leur naissance à l'évaluation approchée des fractions dont les termes spnt considérables , et premiers entre eux.
Pour nous faire mieux comprendre, soit proposée la fraction
(*) Quelqnet-nns des naméros de ce paragraphe supposent des notion» d*Alg6bre un peu plus étendues que celles qui ont fait Tobict de rintro* duction au cinquième chapitre; mais les élèves peuvent passer onire,bauf à Y revenir lorsqu'ils se seront familiarisés davantage avec les opérations de l'Ali^èbrc, ou lorsqu'ils sentiront la nécessite dVtadier celte théorie.
DES FRACTlOffS CONTENUES. 211
^dout les deux lermes sont premiers entre eux, comme il est
aisé de le vérifier, et qui, pour cette raison , est (n* 1»5) irréductible.
En laissant la fraction sous cette forme, on s'en ferait difficilement une idée bien nette ; mais si, en vertu d'un principe connu, Ton divise ses deux termes par iSg, ce qui n'en change
pas la valeur, elle devient — 7-57-» ^^y effectuant la division
indiquée au dénominateur, jg-
Gela posé, négligeons, pour le moment, la fraction ^ ; la
fraction i qui en résulte, est plus grande que la proposée, puis-
que l'on a diminué le dénominateur.
D'un autre côté, si, loin de négliger -g-, on remplace cette
fraction par 1 , ce qui donne alors ^— ou 7 , cette nouvelle
fraction est, à son tour, plus petile que la proposée, puisqu'on a augmenté le dénominateur.
D'où Ton peut conclure que la fraction 7^ est comprise entre - et - . Ceci donne déjà une idée assez exacte de la frac-*
tien.
Si l'on veut un plus grand degré d'approximation , il n'y a
16 , . iSg
qu à opérer sur -^s- comme on a opère sur 7^,
On trouve ^^'^7^^'^'^''
Vie; 9^16
