DES

PI&CTIOHS coimnuE».

«t la proposée devient

Si l'on négUs. i|

On « - qui est plus grand que

ik-"

il suit que . est

p,..p.a.,..ig.M^.-i-

— reTiem

'(ÉS°°â' """

i proposée est encore comprise entre

U difiënnce d« ces

ou n. Dwicrencnr que l'on commet CD preuuit spourlsva-

leur de U proposée, ost mùndre que ^.

Opëruit sur -ji cooiine on a opéré ]^écédeminent , on s

jç ^ 775\ ^^ T î ** " fraction proposée peut se mettre

Cîs) ' + 75

sous h forme ' -i —

Hëgligeons -*, Lcoombic-, ou i,«t plos grand que -^j

RÉDUCTIOIV D'iJffE FRACT. ORDINAIRE EN FRAGT. GONtlMIE. ftlS

Donc , OU 7 OU 5^, est plus grand que t-^»

D'où Ton voit que -3-^ est compris entre -^ et r-* La première fraction est trop petite , et la seconde trop grande. Or, la diffeVence de ces deux fractions est 5- — -^ , ou 5^5;

ainsi, Terreur que Ton commet en prenant, soit -^, soit 5-»

pour la valeur de la fraction proposée, est moindre que ggg •

On voit comment, par cette suite d'opérations , on parvient à trouver, en termes plus simples , des fractions qui donnent des valeurs approchées d'une autre fraction dont les termes sont très-grands.

L'expression —

est ce qu'on appelle une fraction continue.

En général, on entend par fraction continue, une fraction qui a pour numérateur Vunité, et pour dénominateur un nombre entier plus une fraction qui a elle-même pour numérateur F unité y et pour dénominateur un entier plus unefrac'^ tion^ et ainsi de suite.

Souvent, le nombre proposé est plus grand que l'unité. Ainsi, pour généraliser davantage la définition d'une fraction continue, il faut dire s Une fraction continue est une expression composée ttun entier, plus une fraction qui a pour numéra* teurFunité, et pour dénominateur y etc.

Telle est l'expression a -j-

Of b^ Cyd,,,,^ étant des nombres entiers.

St4 nfoCCTIOH d'OHE FRICT. «MNAIRE Ot rHACT. COHTlHtrE.

161. En rtfflécliissant sur U marche qui vient d'être suivie pour réduire -r-f en fraction continue, on voit que l'on a divisé d'abord 493pari59, ce qui a donné 3 pour quotient cl i6 pour reste. On a divisé ensuite tSg par |6, cequiadonnépoui' quotient 9, et pour reste i5; puis on « divisé 16 par i5, ce '|ui a donné i pour quotient et t pour reste. De là il est facile de conclure le procédé suivant pour réduire une fraction ou un nombre fractionnaire en fraction continue :

Opères tur les deux termes de ta fraetion proposée, comme pour trouver leur plus grand commun diviseur. (Voyez n" 8S.) Poussez l'opération jusqu'à ce que vous obleniet un resteêgd àxéro. Les quotients successifs auxquels l'eus sens parvenu, seront les dénominateur* des fractions proprement dites qui constituent la fraction continue.

Dans tkjpoif^se oii le nombre proposé est plus grand que Vunité, le premier quotient représente la partie entière qui rnlre dans l'expression de la fraction continue.

On peut , d'après ce procède , réduire en fractions continues

les deux nombres —7- et —-^.

Voici le type des opérations :

3", Haii 347 1 35 : 58

DÉFINITIONS. S!l5

d'où -5^ = 2 +

Les fractions continues jouissent d'an grand nombre de propriétés dont la recherche a dté l'objet des tra'vaux des plus ce-» lèbres géomètres. Nous ne voulons en faire connaître ici quo les propriétés élémentaires , celles dont on fait un usage fré-> quent, et dont les démonstrations sont fondées su ries premiers principes de l'Algèbre. Nous renvoyons , pour de plus amples détails , aux Additions de L,agrange à V Algèbre d^Euler,