CHAPITRE VI

Formation des Puissances, et extraction des Racines carrées et cubiques des nombres.

j 1*'. FonnaUOH du carré et extraction de la racine carrée,

i7tt. Notions préliminaires. — On appelle carré (q^ 108) ou seconde puissance à*utk nombre, le produit de ce nombre multiplie' par lui-même , ou le produit de deux facteurs égaux à ce nombre, et racine carrée ou 2"^ d'un nombre , un second nombre qui , multiplié par lui-même , ou élevé au carré , donne pour résultat le nombre proposé.

Ainsi, 7 a pour carré 49; et réciproquement, 49 & pour racine carrée 7. De même, 12 a pour carré 12X12 ou i44) ^^ réciproquement , la racine carrée de i44 ^st 12.

La formation du carré d'un nombre entier ou fractionnaire n'exige aucun procédé particulier : il suffit de multiplier ce nombre par lui-même, d'après les règles connues.

Mais il n'en est pas de même de l'extraction de la racine carrée , qui a pour objet : Un nombre étant donné , trouver le nombre qui, multiplié par lui-même, peut produire le nombre proposé. Cette question ne peut être résolue que par une opération essentiellement différente de celles qui ont été expose'es jusqu'ici ; elle est d'ailleurs d'une très-grande importance dans la Géométrie et dans l'Algèbre.

Gela posé, les dix premiers nombres entiers étant

I, 2, 3, 4> 5, 6, 7, 8, 9, 10, dont les carrés sont

d'un nombre entier. 23 1

il en résulte que réciproquement, les nombres de la seconde ligne ont pour racines carrées les nombres de la première.

A Tinspection de ces deux ligues, ou reconnaît que, parmi les nombres entiers d'un ou de deux chiffres , il n'y en a que neif^qui soient des carrés d autres nombres entiers; les autres ont pour i-acine carrée un nombre entier plus une fraction.

Ainsi , 53 , qui est compris entre 49 et 64 > a pour racine carrée 7 plus une fraction. De même , 91 a pour racine carrée 9 plus une fraction.

176. Mais,xe qui est très-remarquable , c'est qu'un nombre entier qui n'est pas le carré d'un autre nombre entier, ne peut pas avoir non plus pour racine, un nombre fractionnaire exact.

Cette proposition qui , au premier abord , peut paraître un paradoxe , est une conséquence du principe établi (n® 150) sur la divisibilité des nombres. En effet , pour qu'un nombre fractionnaire exact, Ti puisse être regardé comme la racine carrée

d'un nombre entier, il faut que son carré, t X t? ^^ 7; 9 '^'^ égala un nombre entier. Or, cela est impossible : car, supposons, ce qui est toujours permis, que -r soit réduit à sa plus

simple expression ; a* et b* n'ont pas (n^ 180) d'autres facteurs

premiers que ceux qui entrent dans a et b; et puisque ces

deux derniers nombres sont premiers entre eux , il en est

a* de même dea^et 6'. Ainsi, jz est un nombre fractionnaire

irréductible , et ne peut , par conséquent , être égal à un nombre entier.

La racine carrée d'un nombre entier qui n'est pas le carré d'un autre nombre entier, ne pouvant être exprimée par au* cun nombre exact , s'appelle nombre incommensurable ou irrationnel; c'est-à-dire qui ne peut pas se mesurer exactement au moyen de l'unité. Ainsi, ^2, y/S, V/> > > sont des nombres incommensurables ou irrationnels.

9t32 EXTRACTION DE LA RACINE CARRÉE

On dit alors que le nombre proposé n*est pas un carré parfait,

177. La différence de deux carrés parfaits consécutifs est d'autant plus considérable que les racines de ces carrés sont plus grandes; et l'expression de cette différence est utile à connaître.

Soient , à cet effet, deux nombres entiers consécutifs, a et (a + 1).

On a (n<» liS) {a+by= (a +b){a + b) = a* + 2ab + b*;

d'où , en faisant b=zi, (a -f- 1 )• =a*+ 2a -f- i .

La différence entre (a-rO* ^^ ^ ^^^ donc 2a + M ^'^^ l'on voit que la différence entre les carrés de deux nombres entiers consécutifs est égale au double du plus petit de ces deux nombres , augmenté d*une unité. Ainsi , la différence entre les carrés de 348 et de 347» est égale à 2 fois 347 plus 1, ou à 6^5; ou bien , en d'autres termes, les carrés de 347 6t de 348 comprennent 694 nombres entiers, qui ne sont pas des carrés parfaits.

Ces notions établies, proposons-nous de rechercher un procédé pour extraire la racine carrée d'un nombre , en commençant par les nombres entiers.

178^ Extraction de la racine carrée d'un nombre entier.

Si le nombre n'a qu'un ou deux chiffres , sa racine s'obtient immédiatement d'après l'inspection des neuf premiers nombres (n° 17^ ) ; considérons donc un nombre de plus de deux chiffres , 6084 par exemple.

Ce nombre étant composé de plus de 6 o S 4

deux chiffres , sa racine en a plus d'un ; 4 9

d'ailleurs, il est plus petit que loooo, j j 8 /£ 8

qui est le carré de 100 ; ainsi, la racine i i 8 i — 0}

n'a ni plus , ni moins , que deux chif- ^

fres , c'est-à-dire qu'elle renferme des dixaines et des unités. Or, si l'on dé' signe les dixaines par a, et les unités par ^, on a (n"" 177)

6084 = (a+ by =za^ + !iab + 6* ;

d'un nombre £1VTI£R. 233

ce qui prouve que le carré d'un oombre composé de dixaioes et d'unités renfenne le carré des dixaines, plus le double pro^ duîi des dixaines par les unités, plus le carré des unités.

Gela posé , si l'on pouvait découvrir dans 6064 le carré des dixaines de la racine, on obtiendrait facilement les dixaines; mais le carré d'un nombre exact de dixaines ne pouvant donner qu'un nombre exact de centaines , il s'ensuit que ce carré doit se trouver dans la partie 60 à gauche des deux derniers chiffres j que l'on sépare , pour cette raison , par un point ; mais cette partie peut d'ailleurs, outre le carré des dixaines, renfermer des centaines et mille , provenant des autres termes du carré. Or, le nombre 60 est compris entre les deux carrés 49 et 64 > dont les racines respectives sont 7 et 8 ; et je dis que 7 est le chiffre des dixaines cherché ; car 6000 est évidemment compris entre ^'goo et 6400 , qui sont les carrés de 70 et 80 ; il en est de même de 6o84> Donc la racine demandée se compose de 7 dixaines , et d'un certain nombre d'unités moindre que dix.

Le chiffre des dixaines, 7, étant trouvé, on l'écrit à droite du nombre donné, en le séparant par un trait vertical ; puis on retranche son carré 49 » de 60 , c<^ qui donne 1 1 pour reste , à côté duquel on abaisse les deux autres chiffres , 84- Le résultat 1184 de cette première opération contient encore le double produit des dixaines par les unités et le carré des unités. Or, des dixaines multipliées par des unités ne pouvant donner au produit des unités moindres que des dixaines , le dernier chiffre 4 ne fait pas partie du double produit des dixaines par les unités ; ainsi ce double produit se trouve renfermé dans la partie à gauche 1 18 qu'on sépare du chiffre 4 ps^r un point. .

Donc, si l'on double les dixaines, ce qui donne i^^ ^t qu'on divise 118 par \^y\e quotient 8 est le chiffre des unités, ou un chiffre plus fort que celui des unités. Ce quotient ne peut pas être trop faible, puisque 1 18 contenant le produit du double des dixaines , 14 , par les unités , il faut qu'on puisse en retrancher le produit de i4 par le chiffre qu'on essaie ; mais il peut être trop fort, parce que 1 18 , outre ce douille produit,