EXTRACTION DE LA RACINE CARRÉE

contient encore des dii[aine8 provenant du carré des unités. Pour vérifier si le quotient 8 exprime les unités , il suffît de récrire à la droite de 1 4 9 ce qui donne 1 48 , puis au«-dessous de lui-même , et de multiplier 148 par 8. On forme évidemment par là , I ^ le carré des unités, 2® le double produit des dizaines |)ar les unités. Or, cette multiplication effectuée donne pour produit 1 184 y nombre égal au résultat de la première opération ; et en le retranchant de ce résultat , on a o pour reste ; donc 78 est la racine demandée.

En effet , il résulte des opérations précédentes , que l'on a retranché successivement de 6084 n le carré de 7 dixaines ou de 70 9 plus le double produit de 70 par 8 , plus enfin le carré de 8 9 c'est-à»dire les trois parties qui entrent dans la composition du carré de 70 «f- 8 ou 78 ; et comme le résultat de la soustraction est o , il s'ensuit que 6084 ^^^ ^6^^ ^^ carré de 78.

Soil, pour second exemple, le nombre 841.

Ce nombre étant compris entre 100 et 8.4 i ^9 1 000 , sa racine se compose encore (lé 4 49

deux chiffres , ou de dixaines et d'unités. T^T

4 4*^9 On prouvera, comme dans l'exemple pré- . , tt:

cèdent , que la racine du plus grand carré

contenu dans 8, ou dans la partie à gauche ^

des deux derniers chiffres , est le chiffre des dixaines de la racine. Or, le plus grand carré contenu dans 8 est 4» dont la racine est 2 : c'est le chiffre des dixaines. Si l'on retranche le carré de 2, ou 4 9 du nombre 8, il reste 4; abaissant à côté de ce reste la tranche suivante 4<t on obtient 44^ 1 résultat qui renferme encore le double produit des dixaines par les unités, plus le carré des unités.

On prouvera encore, comme dans l'exemple précédent, que, si l'on sépare le dernier chiffre i par un point, et qu'on divise la partie à gauche 44 P^i* 4 9 double des dixaines , le quotient sera le chijffre des unités , à moins qu'il ne soit plus fort que ce chiffre. Ici , le quotient est 11, et il est évident qu'on ne peut pas avoir plus de 9 pour les unités (car autrement , ce serait supposer que le chiffre trouvé pour les dixaines ne serelit pas

. d'un nombre entier. 235

le véritable). li faut donc essayer 9 : pour cela , on place g à la droite de 4 9 double des dixaines, puis au-dessous de luimême , et l'on multiplie 49 V^^ 9* ^^j ^^^^ multiplication donne le produit 44^ 9 V^^ ^^ ^S^^ ^^ i-ésultat de la première opération; ainsi, 29 est la racine demandée.

£n réfléchissant sur le procédé qu'on vient de suivre pour extraire la racine carrée d'un nombre de trois ou de quatre chif^ fres y on voit qu'il se compose de deux opérations principales. La première consiste , après avoir séparé les deux derniers chiffres à droite , à extraire la racine du plus grand carré contenu dans la partie à gauche, et à retrancher ce carré. Cette racine exprime nécessairement les dixaines de la racine totale ; car le carré de cette racine suivie d'un zéro,' et le carré de cette même racine augmentée d'une unité et suivie également d'un xéro , comprennent évidemment le nombre proposé. La seconde opération consiste, après avoir abaissé les deux chiffres à droite du reste , et après avoir séparé le dernier de ces deux chiffres par un point, consiste, dis-je, à dis^iser la partie à gauche par le double du chiffre déjà trouvé à la racine. Le quotient exprime les unités, à moins qu'il ne soit trop fort; et pour s'assurer s'il n'est pas trop fort , on formç le carré de ce quotient, et le produit du double des dixaines par ce quotient. Si la somme qu'on obtient est égale ou inférieure au résultat de la première opération , on est sur que le quotient représente les unités , et on l'écrit alors à la droite des dixaines ; dans le cas contraire , on diminue le quotient d'une ou de plusieurs unités.

Remarque. — Dans la recherche de ia racine carrée d'un nombre, on ne peut obtenir d'abord le carré des unités :.car ce carré donu^ en général (n° i^^) des dixaines qui se combinent avec celles que fournit le double produit des dixaines par les unités; en sorte .qu'il est impossible de déterminer d'une n^^nièr^ précise dans quelle partie du nombre proposé se trouve, le carré des unités.

Nous prendrons pour troisième exemple , un nombre qui n'est pas un carré parfait : soit le nombre 1287.