EXTRACTION DE LA RACINE CARRÉE

« Ea appliquant à ce nombre le procédé ci- dessus y on trouve 35 pour racine, et 62 pour reste ; ce qui indique que le nombre 1287 ^'^^^ f^ ^^ carré parfait, mais qu'il est compris entre le carré de 35 et celui de 36. En effet, le carré de 35. est i225, et ^ ^

celui de 36 est 1296, nombre qui surpasse i225 de 71 ou de 35 X 24-1 (n*» 177).

Ainsi, lorsqu'un nombre entier n'est pas un carré parfait, le procédé prescrit fait connaître la racine du plus grand carré coni^u dans ce nombre, ou bien encore, la partie entière de la racine carrée de ce nombre.

Nous verrons bientôt comment on obtient approximativement la fraction qui doit compléter la racine.

179. Passons à l'extraction de la racine carrée d'un nombre de plus de quatre chiffres.

Soit 56821444 ^^ nombre proposé.

725 ^So^ 120544

Le nombre proposé surpassant 10000, sa racine doit être plus grande que 100, c'est-à-dire avoir plus de deux chiffres. Maisquoi qu'il en soit, on peut toujours la regarder comme une collection d'tuiités simples et de dixaines ( car soit 5367 un nombre quelconque, il est décomposablc en 536o + 7, ou 536 dixaines plus 7 unités ).

Dès-lors, le carré de cette racine, ou le nombre proposé, se

d'un nombre entier. 237

compose de trois parties , savoir : le carré des dixaines, plus le double produit des dizaines par les unités , plus le carré des unités. Or le carré des dixaines donne au inoins des centaines ; donc la dernière tranche y 44) ^^ P^^^ ^^ ^^^^ partie ; et c'est dans la partie à gauche que se trouve ce carré.

Je dis maintenant que , si l'on cherche la racine du plus grand carré contenu dans 5682 14 considéré comme exprimant des unités simples , on aura le nombre total des dixaines de la racine demandée.

En effets soit a la racine du plus grand carré contenu dans 568214 ; il s'ensuit d'abord que la racine demandée a au moins . un nombre a de dixaines, puisque a* X 100 peut alors être retranché de 5682 i4oo, et à fortiori, de 5682 1 444* l^'ailleurs, la racine ne saurait avoir (a -}- i) dixaines ; car, (a-f- 1)^ étant plus grand que 5682 14» (a+i)' X 100 surpasse 56821400 d'une centaine au moins , et par conséquent est plus grand

que 56821444* Donc enfin , la racine demandée se compose de a dixaines

plus un certain nombre d'unités moindre que dix^ et la question est ainsi ramenée à extraire la racine carrée du nombre 568214» considéré, pour le moment, comme exprimant des unités simples.

En raisonnant sur ce nombre comme sur le nombre proposé, on est conduit , pour avoir les dixaines de sa racine, à extraire la racine du plus grand carré contenu dans la partie gauche de 14, c'est-à-dire dans 5682 ; et pour obtenir les dixaines de cette nouvelle racine, il faut encore faire abstraction des deux derniers chiffres 82 , et extraire la racine du plus grand carré . contenu dans 56.

Extrayons donc la racine de 56 : il vient 7 pour 49; on écrit 7 à la droite du nombre proposé , et l'on retranche 49 de 56, ce qui donne pour reste 7, à côté duquel on abaisse la tranche suivante 82 (parce qu'il faut maintenant déterminer le second chifire de la racine du plus grand carré contenu dans 5682). Séparant le dernier chiffre à droite de 782, puis divisant 78 par 14 ) double de la racine déjà trouvée, on a pour quotiebt 5,

238 PROCÉDÉ GÉNÉAAL DC LA llACl^E GARhÉE.

que Ton écrit à la droite de 14* ce qui donne i45 ; puis écrivant 5 au-dessous de i45y on multiplie i^S par 5, et l'on soustrait le produit 726 , de 782; 76 représente alors la collection des dixaines de la racine du nombre. 5682 1 4»

Pour en obtenir les unités , on abaisse à côté du reste 67, la tranche 14? ce qui donne ^714 dont on sépare le dernier chiffre. Divisant 671 par i5o, double de la racine déjà trouvée, on a pour quotient 3 que l'on écrit à droite de iSo, ce qui donne i5o3; puis écrivant 3 au'-dessous de i5o3 , on multiplie i5o3 par 3 et l'on retranche le produit 4^09 , de 5714; 753 exprime alors le nombre total des dixaines de la racine demandée.

Enfin , pour avoir le chiffre des unités , ou abaisse à côte du reste i2o5, la dernière tranche 44» P^^^ faisant abstraction du dernier chiffre, on divise la partie à gauche i2o54 par i5o6, double de la racine déjà trouvée ; il vient pour quotient 8 que l'on écrit à la droite de i5o6, ce qui donne i5o68. Multipliant i5o68 par 8, et soustrayant le produit 120544» on obtient zéro pour reste. Donc 7538 est la racine demandée. Pour vérifier l'opération , il suffit de multiplier 7538 par luimême f d'après les règles de la multiplication arithmétique.

Si l'on a bien saisi les différentes parties de l'opération précédente, on en conclura facilement le procédé suivant :

Séparez le nombre en tranches de deux chiffres chacune , à commencer par la droite (le nombre des tranches ist égal AU NOMBRE DES CHIFFRES DE LA ' RACINE ). Prenez la racine du plus grand carré contenu dans la première tranche à gauche, qui peut n'avoir qu'un seul chiffre , et retranchez le carré du chiffre troussé, de la première tranche à gauc/ie.

Abaissez à côté du reste la seconde tranche à gauche , dont vous séparez le dernier chiffre par un point f puis divisez la partie à gauche de ce chijff're par le double de la racine déjà trouvée. Écrivez le quotient à côté du double de la racine ; multipliez le nombre ainsi fomté f par ce quotient, et retranchez le produit, du premier reste suivi de la seconde tranche.

Abaissez à côté du nouveau reste la troisième tranche; séparez le deraier chiffre , et divisez la partie à gauche par le