DÉTERMINATION OU NOMBRE DE CHIFFRES DE LA RACINE

double de la racine déjà trouvée; écrivez le quotient à ht droite de ce diviseur, puis multipliez le nombre ainsi formé, par le quotient , et retranchez le produit , du second reste suivi de Ut troisième tranche. Continuez ainsi cette série d'opérations jusqu'à ce que vous ajez abaissé toutes les tranches.

Si y à la fin de toutes ces opérations , vous n'obtenez aucun reste , le nombre proposé est un carré parfait. Si vous obtenez un reste , le nombre n'est pas un carré parfait ; mais vous connaissez alors la racine du plus grand carré contenu dans le nombre, ou, ce qui revient au même, lapeurtie entière de la ra^ cine carrée de ce nombre. Ce reste doit être (n** 177) moindre que le double de la racine trouvée , plus i : autrement, les chiffres de la racine auraient été mal déterminés.

180. Nous proposerons pour nouvelles applications , d'extraire les racines carrées des nombres 1 7698849 et 698485 \ on trouvera

>^i 7698849= 4^07 > V/ 698485=835, avec un reste 1260.

première remarque. — Dans le premier de ces deux exemples, quand on a abaissé l'avantrdernière tranche et séparé le dernier chiffre, comme la partie gauche se trouve moindre que le double delà racine déjà trouvée, cela indique que la racine n'a pas d'unités de l'ordre des dixaines ; alors il faut mettre un G à la racine afin de donner aux chiffres déjà obtenus leur valeur relative.

Deuxième remarque, — Il résulte de la nature même du procédé précédent , que le nombre des chiffres de la racine est égal au nombre des tranches de deux chiffres qu'on peut for* mer dans le nombre proposé. Mais cette proposition se démontre à priori , c'est-à-dire sans le secours du procédé.

En effet, le carré de 10"""', ou du plus petit nombre de n chiffres,' est égal à l'unité suivie de 2 (/i — i) ou de 2/1 — 2 zéros, et exprime le plus petit nombre de 7.n — i chiffres.

D'un autre côté, le carré de i o", ou du plus petit nombre de (n -f 1) chiffres, est égal à l'unité suivie de 2/1 zéros, et exprime le plus petit nombre de (2/1 + 1) chiffres.

t^O CARACTÈRES d'uN NOMBRE NON CARRA PARFAIT.

Donc tout nombre composé de (2n — i) chiffres, ou de 2r au plas, c*est-à-*dire un nombre décomposabic en n tranches de 2 chiffres (dont Tune peut n'avoir qu'un seul chiffre), a sa racine comprise entre lo""* et lo*, et par conse'quent composée de n chiffres.

181. Troisième remarque, — On reconnaît souvent à la simple inspection d'un nombre entier, qu'il n'pst pas un carré |)arfait ; et cela peut être utile dans la pratique. Voici les indices principaux:

1°. Tout nombre pair pouvant être exprimé par an, son carré ^n^ est essentiellement divisible par 4*

Ainsi, Tout nombre pair qui n^est pas divisible par ^{n?iSS), nesl pas un carré parfait. De même, le carré d'un nombre impair (an + i) étant {^n^ + ^n-^ i) ^ noxahvQ i{VL\j diminué d'une unité, devient nécessairement divisible par 4? il s'ensait que tout nombre impair qui, diminué de i ^ ne donne pas un résultat divisible par 4 , ne peut être un carré parfait.

7?, En général , Tout nombre qui , ayant un facteur pre^ mier a, , n'est pas divisible par tt*, ne peut être un carré parfait. Car, la racine carrée de ce nombre, si elle était entière, ne pourrait être (n* 130) que de la forme etn dont le carré »'n* est divisible par a*. Ainsi un nombre divisible par 3 ou 5 doit être en même temps divisible par 9 ou 25 .pour pouvoir être un carré parfait. De même , un nombre divisible par i5, qui ne le serait pas par (i5)'' ou 226, ne saurait être un carré parfait.

3**. Aucun nombre terminé par un des quatre chiffres 2 , 3, 7 , 8, ne peut être un carré parfait. Car, d'après la composition du carré d'un nombre qui renferme plus d'un chiffre (n® i75), les unités simples de ce carré ne peuvent provenir que du carré de unités de la racine. Or, en formant les carrés des neuf premiers nombres, on voit qu'aucun d'eux n'est terminé par les chiffres 2, 3, 7, 8.

[f*. Aucun nombre terminé par le chiffre 5 ne peut être un carré parfait si le chiffre de ses dixaines n*estpas 2. Ce caractère se déduit encore de la composition du carré d'un nombre de deux

EXTRACTION DE LA RACINE CARRÉE PAR APPROXIMATION. q/^1

OU plusieurs chtfFres. Les deux derniers chifFr^du nombre pro« posé ne peuvent, dans ce cas, provenir que du carré des unUéB de la racine, puisque le clnfTre des unités étant S, le double produit des dixainespar ce cliifFre est nécessairement un certain nombre de centaines. Or le carré de 5 est 25 ; donc le nombre doit être terminé par 25.

5®. Enfin , Aucun nombre terminé par des zéros en nombre impair, ne peut élre un carré parfait. Cela est évident, puis** que, si la racine était exacte , elle ne pourrait être qu'un nombre entier terminé par un ou plusieurs zéros; et son carré devrait être terminé par deux fois autant de zéros qu'il y en aurait à la racine , et, par conséquent , pav un nombre pair tio zéros, ce qui serait contraire à la supposition.

. Extraction de la racine carrée par approximation,

18S. Lorsqu'un nombre entier n'est pas le carré d'un autre nombre entier, on ne peut (n** 176) obtenir la valeur exacte de sa racine carrée ; mais il est du moins possible d'approclier autant que l'on veut de la véritable valeur de celle racine.

Avant d'expo.'er les règles relatives à l'évaluation approchée des racines carr-ées, il est nécessaire d'établir que, le carré

d'une fraction ou d'un nombre fractionnaire, ti étant r X -.

ou Y^ , réciproquement, la racine carrée de y^ est j.

Donc y pour extraire la racine carrée d'une fraction dont les deux termes sont des carrés parfaits , it sujjit d'extraire la racine carrée du numérateur et celle du dénominateur, puis de diviser la première par la seconde.

Cela posé y soit, en p,énéral, proposé iï extraire la racine

carrée , 'A une fraction près, - {vojez la note du n® 93),

d*un nombre a , entier ou fractionnaire \ supposons, en d'autres termes , que l'on demande un nombre qui diffère de la racine

carrée de a, d'une quantité moindre que la fraction «,

Ariih, B. l6

a4a EXTRACTION DE LA RACINE CARR1ÉE

Pour y parvenir, obseiTons que a peut être mts sous ia forme

Or, 8i l'on désigne par r la partie entière de la racine carrée de €in\ ce nombre an^ est alors compris entre r* et (r-f- i)' ; donc

aussi *^ est compris entre -^ et ^ — ^; par conséquent

la racine de a est elle-même comprise entre celles de -; et

de ■■ L — • c e8t*à*dire entre - et — — .

Donc enfin - représente la racine carrée de a, à une

fraction près , -.

D*où Ton peut conclure le procédé suivant : MiUiipliez le nombre donné a, par le carré du dénominateur n, de lafraction qui détermine le degré d approximation que vous voulez avoir j extrayez la partie entière de la racine carrée du produit, et divisez cette partie entihre par le dénominateur u.

Soit, pour premier exemple, à extraire la racine carrée de

59 » « ^ près.

Multipliez Sg par (12)' ou i44» ^^ vient 84g6 dont la racine carrée a pour partie entière 92.

Donc ^ ou ^ est la racine carrée de 5q, à — près. 12 12 ^ 12 ^

Répétons sur cet exemple la démonstration qui a été déve*

loppée ci-dessus.

Le nombre 5q peut être mis sous la forme . . ^-^-r — ^ — i ,

ou, elTectuant les calculs du numérateur, -~^^.

Nais la racine de 8496 , à une unité près , étant 92 , il s'en-