V '^ II

L'artifice qui sert de base au procédé pour approcher de la racine carrée d'un nombre , consiste à comprendre le nombre proposé entre les carrés de deux nombres fractionnaires dont le dénominateur commun soit celui de la fraction qui déter^ mine l* approximation , et dont les numérateurs ne dijffhrent entre eux que de r unité.

i8S. V approximation en décimales , qui est la plus usitée, est une conséquence de la règle précédente.

Pour obtenir la racine carrée d'un nombre entier à — ,

,... près, il faut, en vertu de cette règle, multiplier

lOO* 1000

le nombreproposé par (lo)', ((Oo)% (looo)^, . . . , c'est-à«dire, placer à la droite du nombre, deux, quatre, six, . . . , zéros, puis extraire la racine carrée du produit , à une unité près, et diviser cette racine par lo , loo , looo, • . .

En d'autres termes, écrivez à la droite du nombre proposé DEUX FOIS autant de zéros que vous voulez avoir de chiffres décimattx; extrajez la partie entière de la racine carrée de ce nouveau nombre, et séparez vers la droite du résultat le nombre de chiffres décimaux demandé.

Soit , par exemple, à extraire la racine carrée de 7, à —

près. /

En écrivant six zéros a la droite de 7 , on obtient 7000000,

PAR APPAOXIMATION. ^4^*

nombre iloui la racine carrée a pour partie entière, 264$. Ainsi 2,645 est la racine demandée ; ce qui veut dire que la racine carrée de 7 est comprise entre 2 ,645 et 2,646.

A^ B, — Gomme, après avoir écrit le nombre de zéros convenable, on est conduit à séparer le nombre en tranches de deux chiffres, à partir de la droite , on peut se dispenser d'écrire d'avance les tranches de deux zéros, et ne placer chaque tranche qu'au fur et à mesure qu'on veut obtenir un nouveau chiffre décimal à la racine.

Voici le tableau du calcul , pour l'exemple précédent t

Donc :i,645 est la racine demandée.

On trouverait pareillcmcnl

près ;

lOOOO

»res.

Remarque. — La fraction décimale provenant de la racine carrée d'un nombre entier qui n'est pas un carré parfait , quoique composée d'un nombre illimité de chiffres , ne saurait jamais èUe périodique; car si cela pouvait être, comme on a vu (n** i»9 et 160) que toute fraction périodique équivaut à une fraction ordinaire limitée, il en résulterait qu'un nombi*e commcnsurable serait égal à un nombre irrationnel (n* 176), 'ce qui est absurde.

184. Lorsque le noml;)re dont on deniande d'évaluer la racine carrée en décimales, est fractionnaire , il peut se présenter deux cas : ou le nombre proposé est déjà nne fraction décimale, ou

ft{6 EXTRACTION , DE LA IIAC1K£ CARRÉE

biea c'est une fraction ordinaire. Examinons 8iicc€ssiveuient ces deux cas.

Premier cas. — Soit proposé d'extraire la racine carrée de 3,4^5.

Cominf, d'après la r^le du n** 182, il faut mfiltijiiier ce nombre par (içoo)"* ou iopoooo,oela revient évidemment à écrire d'abord troi9 zéros à la droite du nombre, puis à suppri* mer la virgule* On obtient ainsi 3425ooo , nombre dont la racine, à une unité près, est 1849*

Donc 1 ,849 est la racine demandée, à près.

Règle générale. — Pour extraire la racine carrée d'unefrac' lion décimale, rendez- d^ abord le nombre des chiffres décimaux double du nombre des chiffres décimaux que vous voulez avoir à la racine, ce qui se fait en écrii^ant un nombre cons^enable de zéros à la droite du nombre proposé ; faites abstraction de la virgule dans le nom»eau nombre, et extrayez^en la racine, à une unité prhs; puis enfin, séparez vers la droite de cette ra" cine le nombre de chiffres décimaux demandé.

Cette règle est d'ailleurs une conséquence du procédé (n^ 89) de la multiplication des fractions décimales, en vertu duquel le carré d'une fraction décimale, ou le produit de cette fraction par elle-même , doit contenir le double du nombre des chiffres décimaux qui entrent dans la racine.

N. B. — Dans l'exemple précédent , si l'on demandait la racine de 3,4^5 à — {Très seulement, il suffirait, pour multiplier par (10)* ou iooy d'avancer la virgule de deux ranf,8 vers la droite, ce qui donnerait 34^ »5 ; puis (iV. ^., n^ i8S}, faisant abstraction delà partie à droite de la virgule , oji extrairait la racine carrée de 34^ à une unité près. On trouverait 18 pour cette racine ; et par conséquent i ,8 serait la racine demandée.

Second cas. — Pour évalueren décimales la racine carrée d'an nombre fractionnaire quelconque, réduisez d'abord le nombre f^n décimales, d'après le procédé du n" 01, et poussez l'opéra-

PAR APPROXlHATlOff. 14?

tion jusqu^à ce que vous ayez deux fois autant de chiffres dé'' cimaux que vous voulez en avoir à la racine} puis opérer comme dans le cas précédent.

Soit, par exemple , à extraire la racine carrée de — =• à

— près.

On trouve d'abord, d'après le procédé cité, — x- = 23 ,8461 ; d'où, appliquant la règle du premier cas ,

3io / 00 » ï —- = 4,88, a près.

Voici de nouvelles applications des deux règles précédentes

V^3i,027s= 5,570, à 0,001 près; t/o,o 1 00 1 ss o , 1 0004, à o , 0000 1 près -,