EXTRACTION QK LA RACINE CARRÉE
traire la racine carrée d'une fraction j- ayant pour dcnomina-
teur, ou un nombre premier, ou un nombre dont les facteurs premiers n'y soient éleve's qu'à la première puissance : tels sont les nombres i3 , i4 ou 2 X 7 , ï5 ou 3 X 5.
En multipliant les deux termes de cette fraction par le dénominateur ^, on obtient j^\ et si l'on désigne par r la parlie
entière de la racine du numérateur a6 , il s'ensuit que j^.ou j
est compris entre r^ et ^ — j^-^ . Donc la racine carrée de -r
r r "4~ I . . r est elle-même comprise entre ^ et — j — ; ainsi j représente
la racine de j-, à une fraction près marquée par j.
Le résultat n'est approché ici qu'à j. Mais si l'on voulait un plus grand degré d'approximation , on pourrait cherclier la racine carrée de a^ à une fraction près, - par exemple. (Foy,
n° 182.) Désignant alors par ~la valeur de cette racine, on au-
y r' r'+i lab
rait |/afr Compris entre — et , et par conséquent l/ jx
w T compris entre -y et — ^.
. / Fa
Ainsi ~T gérait la valeur de %/ 7, à une fraction près mar-
q««e par JL.
Soit, par exemple, -i la fraction proposée. Cette fraction
revient à * - ^ -" ou ^^ . Or la racine carrée de 91 est 9, à une unîlc près ; donc -^ est la racine demandée, à -5 près.
ou
PAH AFPROXIUATION. 2^9
Vcut-oii un plus grand degrc d'approxiuiation ? Extrayant la racine carrcc de 91 a 0,01 près (n° iB5), on trouve 9,53.
V i3 i3 i3oo i3oo "^ A^. B. — Dans cet exemple, on a trouve -^ pour une valeur
approche'e de la racine carrée de -^, c'est-à-dire une Jraction
plus grande que la fraction proposée elle«-inéfne. Or cela doit être, puisque le carré d'une fraction est le produit de cette fraction par elle-même, et que, dans la multiplication des fractions proprement dites (n^60), le produit est toujours plus petit que l'un des facteurs.
L'artifice de la transformation précédente , qui consiste à muhîplicr les deux termes de la fraction par le dénominaieur, a pour objet de rendre le dénominateur un carré parfait, afin que la valeur approchée. de la raciae à extraire sQÎt repré-* sentée par une fraction ordinaire exacte, et qu'on puisse juger ainsi du degré d'approximation obtenu. Or nous avons déjà dit (ii®8) qu'on ne peut se former une idée nette d'une fraction ou d'un nombre fractionnaire , qu'en concevant V unité divisée en un nombre exact de parties égales dont on prend un cer» tain nombre,
186. Il y a des cas ou l'on peut rendre le dénominateur d'une fraction un carré parfait sans être obligé de multiplier les deux termes par ce dénominateur : ce sont ceux où le dénominateur renferme déjà un facteur carré parfait. Dans ce cas , il suffit de multiplier les deux termes de la fraction par lefac*. teur non carré parfait.
Soit, par, exemple, la fraction j^.
Remarquons que 48 est égal à 16 X 3 ou (4)' X 3 ; ainsi, en multipliant les deux termes par 3 , on a pour fraction cquiva*
l^"lc, TTT -Tzr ou --—- : et le dénominateur tst ainsi rendu
