ScoLiE GÉNÉRAL. — I) résulte évidemment des principes

SUR L'fXTRACTlON DE LA RACtUE CARRÉE. StSi

qui ont été développés ci- dessus, qu'un nombre entier étant dounéy on peut toujours obtenir l'expression exacte de sa racine carrée si ce nombre est un carré parfait, ou bien, une valeur aussi approchée que l'on veut de cette racine si le nombre n'est pas un carre parfait; et il en est de même des nombres fractionnaires.

Ces principes sont d'ailleurs tout-à-fait indépendants du système de numération dans lequel on opère ; c'est-rà-dire que les procédés qui ont été établis pour la recherche de la racine carrée des nombres, soit entiers, soit fractionnaires, dans le système décimal , seraient absolument semblables dans tout autre système de numération. Les commençants, pour se familiariser avec ces procédés, feront bien d'effectuer des extractions de racine dans divers systèmes, par exemple dans le système duodécimal. Us reconnaîtront sans peine que, pour l'extraction de la racine carrée d'un nombre entier, soit exactement, soit en fractions duodécimales, il suffit d'opérer d'après les rè^cs exposées aux n^* âVO et idS; que, pour l'extraction de la racine carrée des fraettons, il faut faire subir aux frac-*tions des préparations analogues à celles qui ont été indk[ttéeB aox n^' 164, 18», 186.

Telle est , enfin , la nature des nombres reconttiA pour êtite des camés pmfaits dans le système décimal , que ces m^es nombses exprimés dasi& im tout autre système, y sotit«iMOPe des carvés parfaits; et ks nombres qui n'ont pas d« ftdiies exactes dans 1« système décnaal n'en «nt pas davantage dafts un autre syslième. Ainsi, ks nombres quatre, nmrf'y sme, • . • , çuaranêe-neuff • • . , quatre^ngt-^n,^ . . , soat des carrés patw faits dans tous les systèmes; et les nombres deux, trois,, . . , sept,. . . , onze, . • . , n'ont de racine exacte dans aucun système. Cela tient à ce que la proposition du iV* 176 repose sur les principes démontrés aux n®' 129 et 150, et que ces principes sont indépendants de toute hypothèse particulière sur le sys« lènie de numération.

252 EXTBACTION DE LÀ BACINE CUBIQDE

J II. Formation du cube et extraction de la racine cubique

des nombres.

189, On appelle ci/^e ou troiaieme puissance d'un nombre, le produit de trois facteurs égaux à ce nombre , et racine cu^ bique ou troisième d'un nombre, le nombre qui, élevé au cube, reproduit le nombre proposé.

La formation du cube d'un nombre entier ou fractionnaire se réduit donc à deux multiplications successives, que l'on effectue d'après les règles connues.

Les dix premiers nombres étant

I, 2, 3, 4, 6, 6, 7, 8, 9, lo, on trouvera pour expressions de leurs cubes ,

Par exemple , le cube de 7 étant égal à 7 X 7 X 7 9 on dit d'abord : 7 fob 7 fout 49 » ^^ ensuite 7 fois 49 font 343 ; ei ainsi des autres.

Réciproquement, les nombres de la seconde ligne â-dessus ant pour racines cubiques les nombres de la première.

On reconnaît, à Tinspection de ces lignes, que parmi les nombres d'un, de deux , ou de trois chiffres , il n'y en a que neuj qui soient des cubes parfaits; chacun des autres a pour racine cubique un nombre entier plus me fraction , laquelle ne peut s'exprimer exactement. En effet, admettons pour un instant qu'un nombre entier N ait pour racine 3* exacte un nombre

fractionnaire tel que ?; il faudrait qu'en élevant 7 au cube , on pût reproduire N. Or cela est impossible, car ^ X y X r donne pour résultat ^j et comme on peut toujours supposer qucT est un nombre fractionnaire irréductible, il s'ensuit

d'on VOMBKE EmiEft. 253

que a ei ù sont premiers entre eux ; donc (n® 130) il en csC de

même de a? et ^^; ainsi p est aussi un nombre fractionnaire

iiTéductible, qui, par conséquent, ne peut être ëgal à un nombre entier N.

iLes racines cubiques des nombres entiers qui ne sontpaâ des cubes exacts d autres nombres entiers ne peuvent donc pas s'obtenir exactement, ei sont aussi (n* 176) , par àonséqnent, des nombres incommensurables ou irrationnels.

190. De même que , pour découvrir le procédé de Textraction de la racine carrée d'un nombre entier quelconque, nous avons eu besoin de nous fonder sur l'expression du carré d'un binôme (A-f* ^) » c'est-à-dire de la somme de deux quantités} de même , pour l'extraction de la racine cubique, il est indispen« sable de connaître la composition du cube de cette somme [a + b).

Or, on a déjà trouvé (n® 177) que

{a + by ou {a + i) {a + b)= a* +7.ab + b*.

Si l'on multiplie ce premier ré- a* + aa^-j-^*

sultat par « -f- i , % a + b

d'après la règle établie (n"" iiS) à^-^-^à'b+ab^ pour la multiplication des poly- +a''b -^-lab^ ^ b^

nômcs , et qu'on fasse la réduction a^^-f- Za^b -f- Zab'' -f- b^ des termes semblables , on obtiendra

(Il + bf = û* + Zà'b + Zab^ + b^.

Soit fait dans cette formule, Z> =: i ; elle devient

(a-h i)^ = «^ -}- 3fl*+ 3a -I- I , d'où l'on déduit {a + i)^ ^ «^ = Sa' +Za -f- i ,

re qui nous apprend que la différence entre les cubes de deux nombres quelconques qui différent d'une unité, est égale au triple du carré du plus petit nombre, plus le triple de ce nn-me nombre, plus i .

254 EXTRACTION DE LA RACIKE CUBIQtiE

AÎRsiy la différence entre le cube de 90 et celui de 89 est égale

Oft peut juger^ d'après cela , combien deux cubes parfaits consécutifs sont différents l'un de l'autre , dès que leurs racines prises- dans la série naturelle des nombre, sont dfis nombres un peu consulécables.

IM. Reobevchons maintennnt an procédé pour extrmre la racine cubique d'un nombra entier,

X>'abord, si le nombre n'a que tn»scfaiffres au pluB, sa racine tobdent immédiatement if après V inspection des cubes des neuf premiers nombres. Ainsi ^ la racine cubique de 1 25 est 5, la racine cubique de 7a est 4 plus une fraction , ou 4 , à une u«ité près. La racine cubique de 84 1 est 9 , à une unité près , puisque 841 tombe entre 729 ou le cube de 9, et 1000 ou le cu1)e de ro.

Considérons donc un nombre de plus de trois chiffres.

Soit , par exemple , 1 o3823 le nombre proposé.

110592 io3823

Ce nombre étant compris entre 1000 qui est le cube de lo, et loooooo qui est le cube de 100, sa racine cubique est nécessairement composée de deux cliiffres, c'est-à-dire de dixaineset d'unités. Désignons par a les dixaines et par b les unités , nous

o'OPf flOlIBRE ENTIER. 7.55

aurons {nM90)

io3823 = (û + bf = a^ + Zarb + ^ab^ + b\

D'où Ton voit que le cube d'un nombre compose de dizaines et d'uni te's contient le cube des dixaines, plus le triple produit du carré des dixaines par les unités, plus le triple produit des dixaines par le carré des unités, plus le cube des unités.

Cela posé, le cube des dixaines ne pouvant donner des unite's d'un ordre inférieur à celui des mille, les trois derniers chiffres à droite n'en peuvent faire partie ; et c'est dans la partie xo3 (qu'on sépare des trois derniers chiffres par un point) que se trouve le cube des dixaines. Or, la racine du plus grand cube contenu dans io3 étant 4 pour 64, 4 ^^^ ^^ chiffre des dixaines de la racine cherchée; car io38a3 est compris entre 64000 ou (4o)^ et f 25ooo ou (5o)'^; donc la racine est composée de 4 dixaines, plus un certain nombre d'unités moindre que dix.

Le chiffre des dixaines étant trouvé , retranchons son cube 64 de io3 ; il reste 39, qui , suivi de la tranche 823 , donne 89823 ; et ce résultat contient encore le triple carré des dixaines par les unités , plus les deux autres parties énoncées précédemment. Or, le carré d'un nombre de dixaines ne pouvant donner des unités d'un ordre inférieur à celui des centaines , il s'ensuit que le triple produit du cari^ des dixaines par les unités ne peut se trouver que dans la partie à gaucbe 898 dcis deux decpî^s chiffres a3 ( qu'on sépare encore , pour cette raison , par ui^ point). D'un autrie câté, l'^ peut former le triple du carré des 4 dixaines , ce. qui donne 48 ; donc,. si l'on divise 898 par 48, le quotient 8 sera le chiffra des unités de la racine , ou un nombre plus fort que ce chiffre, parce que les 898 centaines contiennent, outre le triple produit du carré des dixs^ines par les u^nités, des retenues provenant des deux autres parties. Pour vérifier si le chiffre 8 n'est pas trop fort, on pourrait, comme pour la racine carrée , former, à l'aide do ce chiffre 8 et du chiffre 4 des dixaines, les trois parties qui