NOMBRE DES TRAKGHES EST EGAL AU NOMBRE DES CHIFFRES DE I.A

RACINE ) ; extrajrez la racine du plus grand cube contenu dans la première tranche à gauche, et retranchez ce cube, de la première tranche ^ abaissez à côté du reste le premier chiffre de la seconde tfanche , et divisez le nombre ainsi formé, par le triple carré du chiffre déjà trouvé à la racine ^ écrivez le quotient à la droite de ce chiffre, et élevez au cube F ensemble des deux chiffres ; si ce cube est plus fort que V ensemble des deux premières tranches du nombre proposé , diminuez le quotient, dune ou de plusieurs unités, jusqu à ce que vous obteniez un cube qui puisse se retrancher de Vetisemble des deux premières tranches; la soustraction faite , abaissez à côté du reste le premier chiffre de la troisième tranclie , puis divisez le nombre ainsi formé , par le triple carré de l* ensemble des deux chij^ fres déjà trouvés; le quotient, s'il n est pas trop fort , doit être tel qu'en récrivant à la droite des deux premiers chiffres de la racine , et élevant au cube le nombre qui en résulte, on puisse retrancher le produit , de l'ensemble des trois premières tran-^ ches. Cette nouvelle soustraction faite , abaissez à côté du reste le premier chiffre de la quatrième tranche, et continuez la même série d* opérations jusqu* à ce que vous ajez abaissé toutes les tranches.

Rembarque. — Souvent, dans le cours des opérations, on est conduit à soupçonner qu'un des quotients dont nous venons de parler, est beaucoup trop fort, et alors on croit pou-

a6o EXTRACTION DE LA' HAGINE CUBIQUE

voir le diminuer d'avance de deux ou plusieurs unités ; inais eu élevant au cube la racine déjà trouvée , suivie de ce chiffre , et retranchant ce cube , de l'ensemble des tranches considérées dans le nombre proposé , on peut obtenir Un reste très grand , qui donne à penser que le dernier chiffre placé à la racine est trop faible. Or, pour savoir si cette présomption est fondée , il faut s'assurer si le reste surpasse ou égale le triple du carré de la racine déjà obtenue , plus le triple de cette même racine, plus un. Dans ce cas, on doit augmenter la racine d'une ou de plusieurs unités de l'ordre du dernier chiffre obtenu.

Voici des exemples sur lesquels on peut s'exercer :

1/483249 = 78, avec un reste 8697.

V^9i6325o864i = 4^^8, avec un reste 20644129.

V/329773402 18432 = 32068, exactement.

195. — Extraction de la racine cubique par approximation. Lorsque le nombre proposé n'est pas le cube d'un autre nombre entier, le procédé ci-dessus ne donne que la partie entière delà racine. Quant à la fraction qui doit compléter la racine , nous avons déjà vu (n° 189) qu'elle ne peut être obtenue exactement; mais on peut trouver une autre fraction qui n'en diffère que d'une quantité aussi petite que l'on veut , d'après une règle analogue à celle du numéro 189.

Soit , en général , proposé d? extraire la racine cubique, ou troisième , du nombre a (entier ou fractionnaire) , à une frac-

tion près - .

Le nombre a peut être mis sous la forme ^^ — ^ et si l'on

désigne par ria racinedu plus grand cube contenu dansan^, c'està-dire la racine cubique de an^ , à une unité près , le nombre

an^ f^ (''+0^ '

--^ , ou û , est compris entre -r^ et 5-^ ; donc aussi , v' a est

PAR APPROXIMATIOIV. 26 1

comprise entre les racines y'"" de ces deux nombres, ou entre ~

et ; donc enfin, ->'est la racine demandée, à une fraction

près -«

Ainsi, j:^aiir extraire la racine S'*' d'un nombre, à une

fraction près - , multipliez le nombre par le cube du dénomi"

nateur u\ extrajrez, à moins dune unité près, la racine cubique du produit , et divisez le résultat par n.

Exemple. — On demande la racine cubique de iS, à —

près.

On a i5x 12^= i5x 1728 = 25920. Or, la racine cubique de 26920, à une unité' près, est 29. Donc la racine demandée

est -^,ou2 — .

Soit encore à extraire la racine cubique €/e 87 -5 ou -=-^ , — près?

On a 7^X(2o)3=^î-2 = -2 — := 300923 ^.

Or, la racine cubique de 300923 ~x ou de 300923, à une unité

près . est Gn ; donc—, ou 3—, est la racine demandée, à — près ^ * ' 20 20 ao ^

On trouverait pareillement

1/4*7= — = 3 — =3 =, à — près:

i/-=^:;- = -^,9-r- pics.

26?t EXTRADITION DE LA RACINE CUBIQUE

194. L'approximation en décimales est une conséquence de la règle précédente.

Soit proposé (T évaluer {/^S à o,oo\ près.

Il faut (n° 193) multiplier 25 par le cube de looo, ou par looooooooo, c'est-à-dire placer neuf zéros à la droite de aS, ce qui donne aSooooooooo. Or, la racine cubique de ce nombre est 29241 à une unité près. Donc 2,924 est la racine demandée,

a près.

En général , pour évaluer la racine cubique dun nombre entier en décimales , écrivez à la droite du nombre , trois fois autant de zéros que vous voulez avoir de chiffres décimaux à la racine) extrayez ^ à une unité près, la racine cubique du nouveau nombre ; puis séparez vers la droite du résultat, le nombre de chiffres décimauxldemandé.

N, B, — On peut, comme pour la racine carrée (n® 4Ô3) , se dispenser d'écrire sur-le-champ toutes les tranches de trois zéros, et ne les placer que successivement et au fur et à mesure qu'on veUt obtenir de nouveaux chiffres décimaux à la racine.

193. Lorsque le nombre proposé est fractionnaire, il y a deux cas à considérer : Ou ce nombre est décimal, ou il est quelconque.

Premier cas. — Soit à extraire la racine cubique de3,i^i5à

près

Gomme , en vertu de la règle du n? 193 , il faut multiplier le nombre par (100)^ ou 1 000000, il suffit évidemment d'écrire deux zéros à la droite de 3,i4i5, puis de supprimer la vit- {;ule, ce qui donne3i4i5oo. Or, la racine cubique de ce dernier nombre , à une unité près, est 146. Donc 1,46 est la racine demandée, à près.

. loo*^

Si l'on voulait un nouveau chiffre décimal à la racine , il suffirait de placer à la droite du reste obtenu , une nouvelle trancho de trois zéros ; et Von continuerait Topcration.

PAR APPHOXIMÀTKMT. 263

Règle générale. — Pour extraire la racine cubique d'une fraction décimale , à un degré d'approximation détermine, faites en sorte (en plaçant à la droite de la fraction proposée UD nombre convenable de zéros) que le nombre des chiffres décimaux soit triple de celui quon veut avoir à la racine ; supprimez la virgule; puis extrayez la racine 3* du nombre résultant , à une unité près , et séparez vers la droite de cette racine le nombre de chiffres décimaux demandé.

Second cas. — Lorsqu'il s'agit d'un nombre fractionnaire quelconque ^ on le réduit d abord en décimales ( n^ 91 ) , en poussant l'opération jusqu'à ce qu'on ait au quotient trois fois autant de chiffres décimaux que Von veut en avoir à la racine ; puis on opère comme dans le cas précédent.

Voici de nouvelles applications :

1/70 = 4,2Qo8, à près,

1/3,004 i 5 = i,442Q, à — . — uiès ^ ^^ ^ loooo*^

V/o,ooioi = 0,10, à •-• — prèsi

^ = 0.824 > à près.

a5 ' -r» iQQ^j r

196. Remarque sur l'extraction de la racine cubique des fractions.

Toutes les fois que l'on a à extraire la racine cubique d'une fraction , et que le degré d'approximation n'est pas fixé d'à • vance , on doit, comme pour la racine carrée (n** 185), faire subir au nombre proposé quelques transformations.

Soit 7 le nombre proposé , b étant supposé d'abord un nombre premier y ou un produit de facteurs premiers élevés à ia première puissance.

Commençons par rendre le dénominateur un cube parfait, en multipliant les deux termes par 6*j la fraction se cbange