CHAPITRE \II

Applications des règles de V Arithmétique. — TTiéorie des Rapports et des Proportions.

197. Introduction, — Après avoir fait connaître les pro* cédés relatifs aux diverses opérations de l'Arithmétique, il nous reste une tâche assez difficile à remplir, c'est celle d'initier les commençants à la résolution de toutes sortes de questions sur les nombres.

On distingue deux genres principaux de questions , les théorèmes et les problèmes.

On peut avoir pour but de démontrer l'existence de certaines propriétés dont jouissent des nombres connus et donnés, auquel cas la question porte le nom de théorème. Le cinquième chapitre offre une foule de question^ de ce f{;enre : les principes

sâti DES IIAPP0KT3 ET PROPORTIONS.

sur la divisibilité des nombres > les propriéiés des fraclions décimales périodiques et des fractions continues, sont autant de théorèmes.

Ou bien , on se propose de déterminer certains ndknbres d'après la connaissance d'autres nombres qui ont avec les premiers des relations indiquées par l'énoncé ; et alors c'est un prpblkme que Ton veut résoudre. Telles sont les questions que nous avons présentées , dans le cours des deux premiers chapitres, comme applications des diverses règles de rArithmétique.

Maïs on peut avoir à résoudre des problèmes plus compli* qués , dont les énoncés soient tels qu'on ait quelque peioe à découvrir et à déterminer la série des opérations qu'il faut effec* tuer sur les nombres connus et donnés, pour parvenir à la connaissance des nombres que Von cherche; c*e8i celte délerminatioii qui constitue ce qu'on appelle l'ana/^^^e ou la résolution du problème.

Il existe toutefois une certaine classe de problèmes pour la résolution desquels on peut établir des règles fixes et certaines : ce sont ceux qui dépendent de la théorie des rapports et des proportions. Il est donc naturel de commencer par le développement de cette théorie, qui , d'ailleurs, à catise de ses nombreuses applications, doit être regardée .comme Tune des plus importantes des Mathématiques. .

§ l. Des Rapports et des Proportions,

iOd. Nous avons déjà dit (n*" i) qu'il n'y a point de grandeur absolue ; que , pour se former une idée d'une grandeur quelconque, il faut la comparera une autre grandeur convenue, de même espèce , qui peut d'ailleurs être prise arbitrairement ou dans la nature. Le résultat de cette comparaison est ce que nous avons appelé nombre.

Mais si, au lieu de comparer une (grandeur à son unité , ou veut comparer deux (grandeurs quelconques d'une même esjUH'OjCcqui rcvieiU ti couiparci los deux nombres qui les ex-