la proposition serait manifeste

Or, pour ramener réqui-difTérence à cet état, il suffit d'augmenter chacun des conséquents, de la lucme différence 4* Mais par cette addition , on a évidemment augmenté l'un des moyens et l'un des extrêmes, du même nombre 4; ainsi, in somme des moyens et la somme des extrêmes se trouveni augmentées en même temps de ce même nombre. Donc, puisque , après cette addition , les deux sommes sont égales, les précédentes l'étaient aussi. C. Q. F. D.

Remarquons d'ailleurs que , s'il n'y avait faLséqui-dijfference entre les quatre nombres , il faudrait , pour rendre les conséquents égaux à leurs antécédents , ajouter à chacun d'eux un nombre différent; et, puisque, après cette addition , la somiue des extrêmes deviendrait égale à celle des moyens, il s'ensuit que les deux sommes devaient être inégales avant l'additiou.

Donc , si quatre nombres , énoncés dans un certain ordre, ou écrits sur une même ligne, forment une équi- différence , ta somme des extrêmes est égale à la somme des moyens.

DES ÉQUI-DIFFÉRERCES. 3^ r

Réciproquement, ^i la somme du premier et du dernier nombre est égule à la somme du second et du troisième, oa si la somme des exirêrnes est égale à celle des moyens, les quatre nombres forment une ëqui^tjff'érence , dans Tordre oit ils sont énoncés ou écrits. Car s'il n'y avait pa« équi-<liflerence, on vient de voir que la somme des extrêmes ne serait pas égale à celle des moyens ; ce qni serait contraire à la supposition.

JV. B. — Il peut arriver que les antécédents soient plus petits que leurs conséquents, comme dans réqui-différence

Mais les raisonnements seraient les mêmes que dans le cas pre cèdent; il suffirait d'ajouter aux deux antécédents la différence commune 5; ce qui reviendrait à ajouter le même nombre à la somme des extrêmes et à la somme des moyens.

Voyons avec quelle précision les notations algébriques s'appliquent à la propriété précédente et à sa réciproque.

Soient quatre nombres a^byCy J, que nous supposons former entre eux une équi^différence :

On a donc a,b l cd^ ou bien encore a — b=:c — d. Cela posé , ajoutons aux deux membres de cette é{;alité, 1» somme ^ + ^j j^ vient

ou, réduisant, û -f- rf = c -|- ^ ;

donc la somme des extrêmes a et à est égale à la somme des moyens c el b.

Réciproquement, soient quatre nombres a,b,Cydy telsque

Tenait fl-f-rf=^-|-c;

retranchons b + d des deux membres de cette épalitéj il

vient a"\'d — b — dic^b -{-c — b — d^

ou , réduisant , a — b = c — d^

ou a.b Ic.d.

27% D£S ÉQUI-DIFFÉBENGES.

Doue , ces quatre nombres forment une équi-^iffiêrence dont les extrêmes sont les deux termes de Vune des deux sommes^ et les moyens les deux termes de l'autre.

9051. GonsiSqdence. — Il résulte de la propriété précédente, que, connaissant trois termes d'une équi^ifférence, on obtiendixi le quatrième, si c'est un extrême, en retranchant de la somme des moyens, l'extrême connu , et, si c'est un moyen, en retranchant de la somme des extrêmes, le moyen connu.

Ainsi, soit réqui^ifférencc

aS . II \ ^<Q , X

[x dési(>nant le tenue inconnu).

Comme on a, d'après la propriété fondamentale ,