CHAPITRE I

Définitions.

52. Lorsqu'un nombre contienl exactement un autre nombre, on dit que le premier est divisible par le second. Ainsi 28, contenant 7 quatre fois exactement, est divisible par 7.

On appelle multiples d'un nombre les produits que Ton obtient en répétant ce nombre, deux fois, trois foi?, etc. Les multiples de 7 sont : 2 fois 7 ou 14, 3 fois 7 ou 21 , etc. Le nombre 7 lui-même, ou une fois 7, est considéré comme le premier multiple de 7.

Tout multiple d'un nombre, se composant d'un certain nombre de fois ce nombre, est divisible parce nombre, et, réciproquement, tout nombre divisible par un autre est un multiple de ce dernier.

Il est évident que la somme ou la différence de deux nombres divisibles par un troisième est divisible par ce troisième. On ajoute, par exemple, les deux nombres 21 et 35, divisibles par 7; la somme, se composant de trois fois 7, plus cinq fois 7, est égale à huit fois 7, et par conséquent est divisible par 7.

Mais si l'on ajoute deux nombres, l'un divisible par un troisième, l'autre non divisible, la somme ne sera pas divisible. On ajoute, par exemple, les deux nombres 2t et 38, le premier

divisible par 7, le second non divisible; le nombre 38 égale 5 fois 7, plus un reste 3; la somme se composera d'un certain nombre de fois 7, plus le même reste 3. Ainsi dans ce cas, la somme n'est pas divisible, et elle fournit le même reste que la partie non divisible.

Restes de la division d'un nombre entier par 2, 3, 5, i — Caractères de divisibilité par chacun de ces nombres.

Divisibilité par 2.

5 3 . Les nombres divisibles par 2 s'appellent nombres pairs ; ceux qui ne le sont pas s'appellent nombres impairs. Si Ton considère la suite des nombres,

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, il, 12,...

on voit que les nombres pairs et les nombres impairs se succèdent alternativement. Les nombres 2, 4, 6, 8 sont pairs; les nombres 4, 3, 5, 7, 9, sont impairs. Tout nombre impair égale un nombre pair plus un.

Nous allons démontrer qu'un nombre est pair lorsqu'il est terminé par un zéro ou par l'un des chiffres pairs, 2, 4, 6, 8, et qu'il est impair lorsqu'il est terminé par l'un des chiffres impairs 4, 3, 5,7, 9.

Considérons d'abord un nombre terminé par un zéro, par exemple le nombre 230. Ce nombre égale 23 fois 10; mais 40 égale 5 fois 2 ; donc 230 égale un certain nombre de fois 2, et par conséquent est divisible par 2.

Soit maintenant tin nombre, comme 236, terminé par un chiffre pair. Ce nombre se compose de deux parties, l'une 230 divisible par 2, l'autre 6, aussi divisible par 2; donc ce nombre est lui-même divisible par 2.

Mais si le nombre est terminé par un chiffre impair, il n'est pas divisible par 2. Soit, par exemple, le nombre 237, terminé par le chiffre impair 7; ce nombre 237 égale le nombre pair 236, plus un ; c'est donc un nombre impair.

En appliquant cette règle, on voit immédiatement que les

DIVISIBILITE. 55

nombres 1 50, 78, 1004 sont pairs, et que les nombres 21, 153> 67 sont impairs.

Divisibilité par 5.

54. En examinant la série des nombres, on reconnaît que les mulliples de 5 se succèdent de 5 en 5. Le premier multiple que l'on rencontre est le nombre 5 lui-même; après le nombre 5, viennent les quatre nombres 6, 7, 8, 9, ou 5+1, 5+2, 5+3, 5+4; ces nombres ne sont pas divisibles par 5 et donnent pour restes les quatre premiers nombres 1, 2, 3, 4. On trouve ensuite le nombre 5+5 ou 2 fois 5; c'est un nouveau multiple de 5. Les quatre nombres suivants, étant égaux à 40+1, 10+2, 10+3, 10+4, ne sont pas divisibles par 5, et donnent pour restes les quatre premiers nombres; vient ensuite iO+5 ou 3 fois 5, nouveau multiple de 5. Ce raisonnement est général; les quatre nombres qui suivent un multiple quelconque de 5 sont égaux à ce multiple, plus 1, 2, 3, 4; le cinquième nombre égale le multiple précédent plus 5, c'est un nouveau multiple de 5.

Nous allons faire voir qu'un nombre est divisible par 5 lorsqu'il est terminé par 0 ou par 5.

Considérons d'abord un nombre tel rjuc 210, terminé par un zéro. Les raisonnements que nous avons faits sur le diviseur 2 s'appliquent au diviseur 5. Le nombre 240 égale 24 fois 10; mais 10 égale 2 fois 5; donc 240 égale un certain nombre de fois 5, et par conséquent est divisible par 5.

Soit maintenant un nombre comme 245, terminé par 5. Ce nombre se compose de deux parties, l'une 240 divisible par 5, l'autre 5 aussi divisible; donc ce nombre est lui-même divisible par 5.

Mais si le nombre n'est pas terminé par 0 ou par 5, il n'est pas divisible par 5. Par exemple, le nombre 243 égale le nombre 240 divisible par 5, plus le reste 3. De même le nombre 247 égale le nombre 245, divisible par 5, plus le reste 2. On voit donc que dans ce cas le reste est le même que celui fourni par le dernier chiffre.

56 LIVRE II. — CHÀPITRB I.

Dwistbtiile par 9.

55. Je remarque d'abord qu'un nombre composé de plusieurs 9 est un multiple de 9. Ainsi 99 égale 9x14 ; de même 999 égale 9x1 11, et ainsi de suite.

Considérons un nombre quelconque, 13257. Ce nombre peut être décomposé de la manière suivante :

La seconde partie 50 égale 5 fois 10; mais 10 égale 9 plus 1 ; donc 50 égale 5 fois 9, plus 5 fois un, c'est-à-dire un multiple de 9 plus 5. De même, la troisième partie 200 égale 2 fois 100 ; mais 100 égale 99 plus 1 ; donc 200 égale deux fois 99, plus 2 fois un, c'est-à-dire un multiple de 9 plus 2. La quatrième partie 3000 égale 3 fois mille; mais 1000 égale 999 plus 1; donc 3000 égale 3 fois 999, plus 3 fois un, c'est-à-dire un multiple de 9 plus 3. Enûn la cinquième partie 10000 égale 9999 plus 1, c'est-à-dire un multiple de 9 plus 1. On a ainsi :

13257 = multiple de 9 + 18

En ajoutant les multiples de 9 on obtient un multiple de 9; le nombre proposé égale donc un multiple de 9, plus la somme de ses chiffres. Si la somme des chiffres est divisible par 9, le nombre sera lui-même divisible par 9. C'est ce qui a lieu'dans l'exemple actuel; la somme des chiffres du nombre proposé 1 3257 est 18 ou 2 fois 9 ; ce nombre, étant égal à un multiple de 9, plus 18 qui est un autre multiple de 9, est lui-même divisible par 9.

Mais si la somme des chiffres n'est pas divisible par 9, le nombre n'est pas divisible. Soit, par exemple, le nombre 2685. En vertu des raisonnements précédents, ce nombre égale un multiple de 9, plus la somme de ses chiffres 21 ; mais 21 n'est pas divisible par 9; le nombre, se composant de deux parties,

Fune divisible par 9, l'autre non divisible, n'est pas divisible. Dans ce cas, on peut dire que le reste de la division du nombre par 9 est le même que le resle fourni par la somme de ses chiffres. Car, la somme des chiffres 21 étant égale à 2 fois 9, plus un reste 3, le nombre proposé 2685 contiendra un certain nombre de fois 9 plus le même reste 3.

On conclut de ce qui précède : 1° Un nombre èst divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 9.

2° Lorsque la somme des chiffres n'est pas divisible par 9, le nombre n'est pas divisible, et le reste est celui que fournit la somme des chiffres.

En appliquant cette règle, on voit de suite que les nombres 27, 81, 435, 2403 sont divisibles par 9; que les nombres 52, 41 3, 2301 ne sont pas divisibles et donnent respectivement pour restes 7, 8, 6.

On abrège l'addition des chiffres en retranchant 9 successivement dans le cours de l'opération, toutes les fois que c'est possible; car, en retranchant9, on ne change pas le reste. Pour cela, toutes les fois que la somme surpasse 10, on ajoute les deux chiffres qui la composent, ce qui donne le reste. Soit, le nombre 6753897; négligeant le second chiffre Ç, j'ajoute 7 et 8, ce qui fait 15; mais 15 égale 9, plus la somme de ses chiffres 6; 6 et le chiffre suivant 3 font 9, que je néglige; 5 et 7 font 12, reste 3 et 6 font 9. Le nombre est divisible par 9.

On appliquera de même au nombre 28067895746, en disant : 6 et 4.... 10,reste 1 et 7.... 8 et 5.... 13, reste 4 et 8.... 12, reste 3 et 7.... 10, reste 1 et 6.... 7 et 8.... 15, reste 6 et 2.... 8. Le nombre n'est pas divisible par 9 et donne pour reste 8.

Divisibilité par 3.

56. Nous avons démontré qu'un nombre quelconque égale un multiple de 9, plus la somme de ses chiffres. Puisque 9 égale 3 fois 3, un multiple de 9 est évidemment multiple de 3. Il en résulte qu'un nombre quelconque égale un multiple de 3, plus la somme de ses chiffres.

Si la somme des chiffres est divisible par trois, le nombre est

lui-même divisible par 3. Soit, par exemple, le nombre 174. D'après ce que nous avons dit, ce nombre égale un multiple de 3, plus la somme de ses chiffres 12; mais 12 égale 4 fois 3; le nombre 174, étant égal à la somme de deux multiples de 3, est lui-même divisible par 3.

Mais si la somme des chiffres n'est pas divisible par 3, le nombre n'est pas divisible. Examinons, par exemple, le nombre 527. Ce nombre égale un multiple de 3, plus la somme de ses chiffres 14; mais 14 n'est pas divisible par 3; le nombre proposé, se composant de deux parties, Tune divisible par 3» l'autre non divisible, n'est pas divisible. Le reste de la division ne peut être que l'un des deux nombres 1 et 2, et sera donné par la somme des chiffres. Dans l'exemple actuel, la somme des chiffres 14 étant égale à 4 fois 3, plus un reste 2, le nombre 527 contiendra un certain nombre de fois 3, plus le même reste 2.

Ainsi : 1° Un nombre est divisible par 3, lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3.

2° Lorsque la somme des chiffres n'est pas divisible par 3* le nombre n'est pas divisible, et le reste est celui que fournit la somme des chiffres.

En appliquant cette règle, on voit que les nombres 54, 162, 1251, 2010 sont divisibles par 3; que les nombres 31, 62, 145, 2056 ne sont pas divisibles et donnent respectivement les restes 1,2,1,1.

Dans la pratique, on abrégera l'addition des chiffres en négligeant les multiples de 3. Soit le nombre 6519; négligeant 9 et 6, qui sont des multiples de 3, on ajoutera 1 et 5, ce qui donne 6; le nombre est divisible par 3. De même pour le nombre 267928 : on dira 8 et 2.... 10, reste 1, et 7.... 8 et 2.... 10, reste 1 ; le nombre n'est pas divisible par 3 et donne pour reste 1.

Preuve de la multiplication.

5 7. Les restes fournis par le diviseur 9 donnent une manière très-simple de vérifier si une multiplication a été bien faite. Je considère le produit de 264 par 47. Le multiplicande 264 étant égal à un multiple de 9 plus 3, le produit contient 47

fois ce multiple, c'est-à-dire un certain nombre de fois 9, plus 47 fois 3 ou 47x3. D'un autre côté, le nombre 47 étant égal à un multiple de 9 plus 2, le produit de 47 par 3 contient 3 fois ce multiple, c'est-à-dire un certain nombre de fois 9, plus 3 fois 2 ou 6. En définitive, le produit de 264 par 47 contient un certain nombre de fois 9, plus le resté 6, et ce reste est égal au produit des restes 3 et 2 fournis par les deux nombres. Pour vérifier la multiplication , on fera la somme des chiffres du produit, et Ton verra si Ton trouve bien le reste 6.

Considérons encore là multiplication suivante :

Le multiplicande et le multiplicateur, par rapport aù diviseur 9, donnent les resles 6 et 8. En Vertu du raisonnement précédent, le produit contient un certain nombre de foisÇl, plus le produit des restes 6x8 ou 48; mais ce nombre 48 égale un multiple de 9 plus 3; donc finalement le produit contiendra un certain nombre de fois 9, plus le reste 3. C'est effectivement ce qu'on trouve en faisant la somme des chiffres du produit.

Ainsi, on vérifie la multiplication en voyant si le produit donne le même reste, par rapport au diviseur 9, que le produit des restes fournis par le multiplicande et le multiplicateur. Cependant, quand cette vérification a lieu, on ne peut affirmer d'une manière absolue que le résultat soit exact. Car, si , dans les calculs, on avait commis une erreur qui fût exactement un multiple de 9, cette erreur n'ayant aucune influence Sur les restes, on ne l'apercevrait pas par ce procédé.