CHAPITRE I

Mesure des grandeurs.

75. On appelle grandeur tout ce qui est susceptible d'augmentation ou de diminution.

Il faut distinguer deux sortes de grandeurs. Certaines grandeurs, comme une compagnie de soldats, un monceau de pommes, sont des collections d'unités; si Von compte combien de soldats renferme la compagnie, combien de pommes le monceau, on obtient un nombre. C'est là l'origine du nombre, et c'est à ce point de vue que nous l'avons étudié jusqu'à présent.

Il est d'autres grandeurs que l'on nomme continues, parce qu'on peut les augmenter ou les diminuer d'aussi peu qu'on veut, la longueur d'un fil, la capacité d'uu vase, la durée d'nn phénomène, sont des grandeurs continues. Les grandeurs de celte nature ne renferment pas en elles l'idée de nombre; cependant il est possible de les représenter par des nombres, et c'est là une première application très- importante de la science des nombres.

En effet, si l'on veut évaluer les longueurs, par exemple, on choisira l'une d'elles pour servir de terme de comparaison,

et l'on cherchera combien de fois cette longueur est contenue dans chacune des autres. Si elle est contenue 5 fois dans une première, 12 fois dans une seconde, ces longueurs seront représentées, l'une par le nombre 5, l'autre par le nombre 12.

70. On appelle unité la grandeur prise pour servir de terme de comparaison à toutes les grandeurs de même espèce.

Mesurer une grandeur, c'est la comparer à son unité, c'est chercher combien d'unités et de parties d'unité elle renferme.

1° Lorsque l'unité est contenue exactement dans la grandeur, 5 fois par exemple, il n'y a pas de difficulté, la grandeur est exprimée par le nombre 5.

2° Lorsque la grandeur à mesurer est plus petite que l'unité on partage cette dernière en un certain nombres de parties égales, et l'on cherche combien de parties renferme la grandeur. Je suppose que, l'unité ayant été partagée en douze parties égales, la grandeur renferme 7 parties exactement; on dira que la grandeur est les 7 douzièmes de l'unité, ou qu'elle est exprimée par la fraction sept douzièmes.

3« Lorsque la grandeur à mesurer est plus grande que l'unité, et qu'elle ne la contient pas exactement, elle se compose d'un certain nombre d'unités et d'un reste plus petit que l'unité, reste que Ton évalue par une fraction, ainsi qu'il a été expliqué. De celte manière, la grandeur est représentée par un nombre, augmenté d'une fraction.

Par extension d'idée, on appelle nombre, en général, la mesure d'une grandeur au moyen de l'unité; le nombre proprement dit a été distingué par la qualification de nombre entier; la fraction est considérée comme un nombre plus petit que l'unité; enûn un nombre entier, augmenté d'une fraction., constitue un nombre fractionnaire.

Les grandeurs, quand elles sont ainsi mesurées ou représentées par des nombres, portent le nom de quantités.

Je reprends en détail les définitions que je viens de donner.

Définitions.

ff. Lorsqu'on partage f unité en plusieurs parties égales,

et qu'on prend un certain nombre de ces parties, on a ce qu'on appelle une fraction.

Je partage l'unité en cinq parties égales, et je prends trois de ces parties; j'ai la fraction trois cinquièmes.

Le nombre qui indique en combien de parties on a partagé l'unité s'appelle dénominateur ; le nombre qui indique combien on prend de parties s'appelle numérateur. Dans l'exemple précédent, 5 est le dénominateur, 3 le numérateur.

On énonce une fraction en disant d'abord le numérateur,puis le dénominateur, que l'on fait suivre de la terminaison ième.

On écrit une fraction en mettant le dénominateur audessous du numérateur, et séparant les deux nombres par un trait horizontal. Ainsi la fraction trois cinquièmes s'écrit

De même, si l'on partage l'unité en trente-sept parties égales, et si l'on prend vingt-quatre de ces parties, on aura la fraction vingt-quatre trente-septièmes, qui s'écrit :

78. On appelle nombre fractionnaire un nombre entier augmenté d'une fraction. Ainsi 7 + | est un nombre fractionnaire.

Il est aisé de mettre un nombre fractionnaire sous forme de fraction. Je remarque en effet que, puisqu'une unité vaut cinq cinquièmes, sept unités valent sept fois cinq cinquièmes, ou trente-cinq cinquièmes; j'ajoute les trois cinquièmes, j'ai trentehuit cinquièmes. Ainsi :

Règle. Pour mettre un nombre fractionnaire sous la forme d'une fraction ordinaire, on multiplie le nombre entier par le dénominateur de la fraction, et on ajoute au produit le numérateur.

Puisqu'on peut mettre ainsi un nombre entier ou un nombre

fractionnaire sous la forme d'une fraction, ou a étendu la dénomination de fraction aux nombres en général. Lorsque le numérateur de la fraction est plus petit que le dénominateur, la fraction représente une quantité plus petite que l'unité; c'est une fraction proprement dite. Quand le numérateur est plus grand que le dénominateur, la fraction représente une quantité plus grande que l'unité; elle tient la place d'un nombre entier ou d'un nombre fractionnaire. Enfin, quand le numérateur est égal au dénominateur, la fraction désigne l'unité ellemême.

Je considère, par exemple, la fraction ~. Puisque avec cinq cinquièmes on forme une unité, autant de fois 38 cinquièmes contiendront 5 cinquièmes, autant la fraction ~ contiendra d'unités; or 38 contient 5 sept fois, et il reste 3; donc

Règle. Pour extraire les entiers contenus dans une fraction dont le numérateur est plus grand que le dénominateur, on divise le numérateur par le dénominateur.

Une fraction ne change pas de valeur quand on multiplie ou quand on divise ses deux termes par un même nombre.

79. Je remarque d'abord que, lorsqu'on rend le numérateur d'une fraction un certain nombre de fois plus grand ou plus petit, la fraction devient le même nombre de fois plus grande ou plus petite.

Il est évident que si, sans changer le dénominateur, on augmente le numérateur, la fraction augmente; caries parties restent les mêmes, et on en prend un plus grand nombre. Si on rend le numérateur, deux, trois... fois plus grand, on prend un nombre de parties, deux, trois... fois plus grand, ce qui donne une quantité deux, trois... fois plus grande. Ainsi, en

multipliant par trois le numérateur de la fraction on prend un nombre de septièmes trois fois plus grand, ce qui donne une nouvelle fraction 1 7 2 , trois fois plus grande que la première.

DES FRACTIONS ORDINAIRES. Si

De même, en divisant le numérateur de la fraction ^ par 3, on obtient une fraction |, trois fois plus petiu; que la première.

80. Je remarque en outre que, lorsqu'on rend le dénominateur d'une fraction un certain nombre de fois plus grand ou plus petit, la fraction devient le même nombre de fois plus petite ou plus grande.

Si, sans changer le numérateur, on augmente le dénominateur, il est clair que la fraction diminue; car, l'unité étant partagée en un plus grand nombre de parties égales, les parties deviennent plus petites, et, comme on en prend le même nombre, on a une quantité plus petite.

Pour fixer les idées, je suppose que Ton multiplie par 3 le dénominateur de la fraction |, ce qui donne la fraction ^. Pour former la première fraction |, on a partagé l'unité en sept parties égales; je subdivise chacune de ces parties en trois parties égales; l'unité se trouve ainsi divisée en 3 fois 7, ou en 21 parties égales. Avec un seul septième, on a formé par ce moyen trois vingt-et-unièmes; le ving t-et-unième est donc trois fois plus petit que le septième; et, comme on prend le même nombre de parties de part et d'autre, la seconde fraction est trois fois plus petite que la première.

En divisant par 3 le dénominateur de la fraction ^, on obtient de même une fraction |, trois fois plus grande que la

première.

ML Supposons maintenant que Ton multiplie par un même nombre 3 les deux termes de la fraction |. Si l'on multiplie d'abord le numérateur par 3, on obtient une fraction trois fois plus grande que la première; si Ton multiplie ensuite le dénominateur de cette seconde fraction par 3, on obtient une troisième fraction trois fois plus petite que la seconde; donc cette dernière fraction ou |f es t égale à la première |. En un mot, on voit que la fraction, devenant d'abord trois fois plus grande, puis trois fois plus petite, reprend sa valeur primitive. Ainsi, la valeur d'une fraction ne change pas quand on multiplie ses deux termes par un même nombre.

82 LIVRE III. — CBAPltRE I.

82. Supposons actuellement que Ton divise par un même nombre 3 les deux termes d une fraction ||. Si l'on divise d'abord par 3 le numérateur, on obtient une seconde fraction ^, trois fois plus petite que la première; si Ton divise ensuite par 3 le dénominateur de cette seconde fraction , on obtient une troisième fraction *, trois fois plus grande que la seconde; donc cette dernière fraction | est égale à la première En un mol, on voit que la fraction, devenant d'abord trois fois plus petite, puis trois fois plus grande, reprend sa valeur primitive. Ainsi, la valeur d'une fraction ne change pas quand on divise ses deux termes par un même nombre.

Réduction d'une fraction à sa plus simple expression.

83. Plus une fraction est simple, plus l'esprit conçoit aisément la grandeur qu'elle représente; ainsi on se figure parfaitement les quantités §, f, f ; mai?, si la fraction est compliquée, comme j*~ 9 ona plus de peine à concevoir la grandeur qu'elle représente; il importe donc de simplifier les fractions autant que possible. Simplifier une fraction, c'est trouver une fraction égale à la fraction proposée, et composée de termes plus petits. Le principe que nous venons d'établir nous fournit immédiatement un procédé de simplification; toutes les fois que Ton apercevra un diviseur commun aux deux termes d'une fraction, on divisera ces deux termes par le diviseur commun, et Ton obtiendra de la sorte une fraction égale à la proposée et plus simple qu'elle.

Soit la fraction En divisant les deux termes d'abord par 40, puis par 2 et par 9, on forme une série de fractions égales :

mo 162' 8Ï' 9*

Ainsi la fraction proposée est égale à la fraction plus simple L Puisque cette dernière a ses deux termes premiers entre eux, on ne peut plus la simplifier par division ; mais il n'est pas évident qu'on ne puisse le faire par un autre procédé, en retranebant, par exemple, de ses deux termes des nombres

convenables. Il importe donc de rechercher à quel caractère on reconnaît qu'une fraction est irréductible , c'est-à-dire ne peut être exprimée par des termes plus simples.

S4. Je vais démontrer que, lorsque les deux termes d'une fraction sont premiers entre eux, celte fraction est irréductible.

Soit, par exemple, la fraction g, dont les deux termes 4 et 9 sont premiers entre eux. Considérons une fraction quelconque, telle que |f , égale à la première. Je multiplie par 27 les deux termes de la première, par 9 les deux termes de la seconde; les deux fractions ne changent pas de valeur et se mettent sous la forme

Ces fractions, étant égales et ayant même dénominateur, doivent avoir nécessairement leurs numérateurs égaux; on aura done

Le nombre 9, divisant le produit 12x9, doit diviser le produit égal 4x27; mais il est premier avec le facteur 4; donc il divise l'autre facteur 27 (n° 64). Ainsi le dénominateur 27 de la seconde fraction est un multiple du dénominateur 9 de la première; ce multiple est ici 9x3. Si dans l'égalité précédente on remplace 27 par 9x3, il vient

4x9x3 = 12x9, et, en divisant par 9 ces deux produits égaux,

Ainsi le numérateur 12 de la seconde fraction est aussi un multiple du numérateur 4 de la première. De cette manière , les deux termes 27 et 12 de la seconde fraction sont les produits 9x3 et 4x3 des deux termes de la première par un même nombre 3; ce qu'on exprime en disant que 27 et 12 sont des équimultiples de 9 et de 4.

Il résulte de là que, lorsqu'une fraction | a ses deux termes premiers entre eux, toute fraction ^ égale à la première a ses deux termes équimultiples de ceux de la première. Toute fraction égale à la fraction | est donc formée de termes respective -

ment plus grands que ceux de la fraction *; il n'existe donc pas de fraction égale à la fraction * et formée de termes plus simples; en un mot, la fraction | est irréductible. Ainsi, lorsque les deux termes d'une fraction sont premiers entre eux, la fraction est irréductible.

$5. Réduire une fraction à sa plus simple expression, c'est la transformer en une fraction irréductible égale. Nous avons réduit la fraction ^ à sa plus simple expression, en divisant ses deux termes par 40, puis par deux et par 9, ce qui donne la fraction irréductible |; mais on opère tout d'un coup la réduction d'une fraction à sa plus simple expression en divisant ses deux termes par leur plus grand commun diviseur; car la fraction égale que l'on obtient de cette manière a ses deux termes premiers entre eux (n° 63), et par conséquent est irréductible. Ainsi en divisant les deux termes de la fraction ~ par leur plus grand commun diviseur 180, on arrive de suite à la fraction irréductible |, trouvée précédemment par des divisions successives.

Règle. Pour réduire une fraction à sa plus simple expression, on divise ses deux termes par leur plus grand commun dtwseur.

Dans la pratique, au lieu de chercher le plus grand commun diviseur, il est préférable en général de supprimer successivement tous les facteurs communs que l'on aperçoit dans les deux termes de la fraction; quand il n'y a plus de facteur commun, les deux termes sont premiers entre eux, et la fraction est réduite à sa plus simple expression.

Exemples :

On a divisé les deux termes de la première fraction deux fois par 2, ceux de la seconde par 2 et par 3, ceux de la troisième par 2 et par 9, ceux de la quatrième deux fois par 5, puis par 3.

Rédaction des fraction* an même dénominateur.

86. On compare aisément des fractions qui ont même dénominateur, comme ^ et ^. Puisqu'on a des parties égales, des douzièmes , de part et d'autre , il suffit de comparer les numérateurs; dans l'exemple précédent, on voit immédiatement que c est la seconde fraction qui est la plus grande. On comprend par là combien il est utile de savoir réduire les fractions au même dénominateur, c'est-à-dire de savoir trouver des fractions respectivement égales à des fractions données et ayant même dénominateur.

Je considère d'abord deux fractions | et ±. Si l'on multiplie les deux termes de la première par le dénominateur 7 de la seconde, on obtient la fraction égale j^. En multipliant de même les deux termes de la seconde fraction par le dénominateur 5 de la première, on obtient la fraction égale Or les dénominateurs des deux nouvelles fractions sont égaux, comme produits des deux mêmes facteurs. Ainsi les deux fractions | et |, réduites au même dénominateur, deviennent

Règlb. Pour réduire deux fractions au même dénominateur, on multiplie les deux termes de chacune d'elles par le dénominateur de Vautre.

87. Je considère maintenant un nombre quelconque de fractions

Si l'on multiplie les deux termes de chacune d'elles successi

vement par les dénominateurs de toutes les autres, on obtient les fractions

3X6X7X11 5X7X11 4 x5x6x11 10x5x6X7 5X6XÎXH ' 0x5x7xh' 7x5x6x11* 11x5x6x7*

respectivement égales aux proposées et ayant même dénominateur. Ce dénominateur commun est le produit des dénominateurs des fractions proposées.

Règle. Pour réduire plusieurs fractions au même dénominateur, on multiplie les deux termes de chacune d'elle par le produit des dénominateurs de toutes les autres.

Dans l'exemple proposé, le dénominateur commun est 2310, et il faut multiplier les numérateurs respectivement par 462, 385, 330, 210, ce qui donne

Plus petit commun dénominateur.

88. Il est possible ordinairement d'abréger beaucoup les calculs. En effet, puisqu'on transforme chacune des fractions données en multipliant ses deux termes par un certain nombre, le commun dénominateur est un multiple commun de tous les dénominateurs; et réciproquement tout multiple commun peut servir de commun dénominateur. La question revient donc à la détermination d'un multiple commun des dénominateurs des fractions proposées; on prendra de préférence le plus petit multiple (n<> 74). Il en résulte que, pour réduire plusieurs fractions au même dénominateur, il suffit de chercher le plus petit multiple de tous les dénominateurs, et de prendre ce plus petit multiple pour dénominateur commun.

Exemples : I. Soient les fractions

Ici le plus grand dénominateur 36 est divisible exactement par chacun des autres; c'est le plus petit multiple; on le prendra

pour dénominateur commun. Ce nombre 36, divisé par 12 et par 18, donne pour quotient 3 et 2; on multipliera le numérateur de la première fraction par 3, celui de la seconde par 2, et l'on obtiendra les fractions