IV. De j retrancher
Multiplication.
Cas où le multiplicateur est entier.
IML La définition que nous avons donnée de la multiplication subsiste dans le cas où le multiplicateur est un nombre entier, le multiplicande étant d'ailleurs une quantité quelconque. Multiplier une quantité par un nombre entier, c'est la répéter autant de fois qu'il y a d'unités dans le nombre entier. Multiplier une longueur par 4, c'est la répéter quatre fois, c'est ajouter à la suite les uns des autres quatre longueurs égales à la longueur donnée.
Soit à multiplier par 4 la fraction |. Il s'agit de répéter 4 fois le multiplicande; 4 fois 5 septièmes font 20 septièmes, c'est-à-dire la fraction ^. Ainsi, on multiplie une fraction par un nombre entier en multipliant le numérateur par ce nombre entier.
De même le produit de ^ par 4 est mais on peut simplifier cette fraction en divisant ses deux termes par 4, ce qui donne | pour le produit demandé. On serait arrivé directement à ce résultat en remarquant qu'on rend la fraction ^ quatre fois plus grande en divisant son dénominateur par 4.
Si l'on avait à multiplier un nombre fractionnaire par un
nombre entier, on multiplierait d'abord la fraction , puis l'entier, en ajoutant au produit l'entier fourni par la fraction. Ainsi :
On opère en disant : 4 fois f font ® ou 2 + je pose f et retiens 2 unités; 4 fois 3 font 12 et 2 font 14.
Cas où le multiplicateur est fractionnaire.
92. La définition de la multiplication» dont nous nous sommes servis jusqu'à présent, n'a plus de sens quand le multiplicateur est fractionnaire; il devient nécessaire de donner à celle définition une signification plus étendue. Nous dirons :
Multiplier, c'est répéter plusieurs fois une partie déterminée du multiplicande.
Ainsi, multiplier par |, c'est répéter 3 fois la cinquième partie du multiplicande. Multiplier par |, c'est prendre la cinquième partie du multiplicande.
Cette définition nouvelle ne comporte plus nécessairement l'idée d'augmentation. Si le multiplicateur est plus grand que l'unité, le produit sera en effet plus grand que le multiplicande; mais, si le multiplicateur est plus petit que l'unité, le produit sera plus petit que le multiplicande. La multiplication, ainsi entendue, n'est plus une opération simple, elle contient une double opération : 1° division du multiplicande en parties égales; 2 0 répétition d'une des parties. C'est la combinaison d'une division et d'une multiplication proprement dite.
Expliquons maintenant pourquoi cette double opération a été appelée multiplication. Proposons-nous la question suivante : combien coûte une certaine quantité d'étoffe, connaissant le prix du mètre? Si la quantité d'étoffe est un nombre entier de mètres, 3 mètres, par exemple, il faut répéter le prix du mètre trois fois; c'est là une multiplication dans l'acception ordinaire du mot. Si l'on demande maintenant combien coû-
tent g de mètre, il faudra répéter 3 fois la cinquième partie du prix d'un mètre. L'opération qu'il faut faire dans ce cas, pour trouver le prix de la quantité d'étoffe, a été appelée, par analogie, multiplication. Supposons que le prix du mètre soit 40 francs; le cinquième du mètre coûtera 5 fois moins, soit 2 francs; trois cinquièmes de mètre coûteront 3 fois plus, soit 6 francs.
Supposons maintenant que le prix du mètre soit | de francs. Le cinquième de mètre coûtera 5 fois moins, soit trois cinquièmes de mètre coûteront 3 fois plus, soit i^j.
Reprenons ce raisonnement d'une manière abstraite. Soit à multiplier | par 1. 11 s'agit de répéter (rois fois la cinquième partie du multiplicande. On obtient la cinquième partie du multiplicande en multipliant le dénominateur par 5, ce qui rend la fraction cinq fois plus petite, et donne on répète ensuite trois fois cette partie en multipliant le numérateur par 3. Le produit cherché est donc ~| ou ||. Ainsi :
4 3 Ax3__i2
Règle. Pour multiplier deux fractions, on multiplie numérateur par numérateur, dénominateur par dénominateur.
» Remarques.
93. Tous les cas qui peuvent se présenter se ramènent au précédent.
Si l'on a à multiplier un entier par une fraction, en mettant le nombre entier sous la forme d'une fraction qui a pour dénominateur l'unité, on aura
On serait d'ailleurs arrivé au même résultat en prenant directement les trois cinquièmes du multiplicande.
Si Ton veut multiplier un nombre fractionnaire par une fraction ou par un nombre fractionnaire, on mettra préala-
94 LITfcE III. — CHAPITRE II.
blement les nombres fractionnaires sous la forme de fractions. Ainsi :
/ 4\ 3__60 3 i80 36 1 fo , ^ /, 3\ 60 8 480 96 JO , 5
©4L Les propriétés des produits de plusieurs facteurs, que nous avons démontrées , lorsque les facteurs sont entiers (n 09 31 à 35), subsistent quand les facteurs sont fractionnaires. J'examine d'abord la propriété fondamentale, savoir: le produit ne change pas quand on intervertit Tordre des facteurs. Le produit
3 5 8 7 3X5X8X7 4 X 7 X 9 X i0""4x7x9xl0
est une fraction qui a pour numérateur le produit des numérateurs et pour dénominateur le produit des dénominateurs. Or, si Ton intervertit Tordre des facteurs fractionnaires, on intervertit simplement Tordre des facteurs entiers qui composent les deux termes de la fraction produit, ce qui ne change pas la valeur de ces deux termes.
La propriété fondamentale étant ainsi généralisée, toutes ses conséquences le sont par là même. Ainsi, dans un produit de facteurs quelconques , on peut grouper deux facteurs en un seul, et réciproquement décomposer un facteur en plusieurs autres.
Lorsqu'on aura à calculer un produit de fractions, on aura soin de supprimer les facteurs communs avant de commencer les multiplications. Ainsi, dans le produit précédent, on aperçoit au numérateur et au dénominateur les facteurs communs 7, 4, 3, 40, que Ton supprime; de celte manière on obtient immédiatement le résultat sous la forme la plus simple |.
DiTiaioii.
95. Voici la définition générale de la division: Étant donnés un produit de deux fadeurs et l'un des facteurs ,
DES FRACTIONS ORDINAlHES. 95
trouver l'autre. Le produit donné est le dividende, le facteur donné le diviseur; le facteur cherché s'appelle quotient.
Lorsque nous nous sommes occupés de la division des nombres entiers, nous ayons considéré la division comme ayant pour but de chercher combien de fois le diviseur est contenu dans le dividende. Lorsque le dividende contient exactement le diviseur, il est effectivement égal au produit du diviseur par le quotient; dans ce cas, le quotient est entier.
Mais, quand le diviseur n'est pas contenu exactement dans le dividende, le quotient est fractionnaire. Soit d'abord à diviser 5 par 7; le quotient sera exprimé par la fraction \; car le produit du diviseur 7 par la fraction | est égal à cinq fois la septième partie du diviseur 7, ou à cinq fois Funité, ce qui donne le dividende 5. Ainsi , une fraction exprime le quotient de son numérateur par son dénominateur; c'est pourquoi le signe de la fraction , le trait horizontal, a été adopté pour indiquer la division; on place au-dessus le dividende, au-dessous le diviseur.
Soit encore à diviser 31 par 7 ; le diviseur est contenu quatre fois dans le dividende, et il y a un reste 3. Comme le reste 3, divisé par 7, donne la fraction |, le quotient cherché sera exprimé par le nombre fractionnaire A + |; car si Ton multiplie le diviseur par ce nombre fractionnaire, on a A fois 7, plus trois fois la septième partie de 7, c'est-à-dire plus le reste 3, et Ton reproduit le dividende. Dans la division des nombres entiers, nous nous bornions à chercher la partie entière du quotient; pour compléter le quotient, il suffit d'ajouter une fraction ayant pour numérateur le reste de la division et pour dénominateur le diviseur.
Cas où le diviseur est entier.
96. Soit à diviser la fraction i par 3. Puisque le quotient^ multiplié par le diviseur 3, ou répété 3 fois, doit reproduire le dividende, ce quotient est 3 fois plus petit que le dividende. Or, on sait que Ton rend une fraction trois fois plus petite en
multipliant son dénominateur par 3; le quotient cherché est donc ou ^. Ainsi , on divise une fraction par un nombre entier en multipliant le dénominateur de la fraction par ce nombre entier.
Quand le numérateur de la fraction est divisible par le nombre entier, on effectue la division d'une manière plus prompte, en divisant le numérateur par le nombre entier. Par exemple, le quotient de la fraction f par 3 est la fraction |. Car on sait que l'on rend une fraction trois fois plus petite en divisant son numérateur par 3.
Soit à diviser le nombre fractionnaire 47 + * par 5. Ou dira : le cinquième de 17 est 3 pour 45 et il reste deux unités, qui, converties en septièmes et ajoutées aux quatre septièmes, donnent^; le cinquième de cette fraction est ||. Le quotient cherché est donc 3 + |.
Cas où le diviseur est fractionnaire
07. Proposons-nous d'abord la question suivante ; | de mètre d'éloffe ont coûté 15 francs; trouver le prix du mètre. Puisque 5 huitièmes de mètre ont coûté 15 francs, un seul huitième coûtera 5 fois moins, c'est-à-dire 3 francs, un mètre coûtera 8 fois plus qu'un huitième , c'est-à-dire 3 X 8 ou 24 francs.
Proposons-nous encore celte question : | de mètre d'étoffe ont coûté ^ de franc, trouver le prix du mètre. Puisque 5 huitièmes de mètre ont coûté ^ de franc, un seul huitième
coûtera 5 fois moins, c'est-à-dire un mètre coûtera 8 fois
plus qu'un huitième, c'est-à-dire ^ 8 g. Or cette opération est une division dans laquelle ^ est le dividende, | le diviseur, le prix du mètre le quotient; car le prix du mètre , multiplié par la quantité d'étoffe achetée jj, doit reproduire la somme dépensée ^ de franc.
Reprenons maintenant le raisonnement d'une manière abstraite. Diviser ^ par jj, c'est chercher un quotient qui,
multiplié par le diviseur |, reproduise le dividende L Mais multiplier une quantité par |, c'est en prendre 5 fois la huitième partie; donc les 5 huitièmes du quotient égalent le dividende ^; un seul huitième vaut 5 fois moins, c'est-à-dire -1— : le quotient entier vaut huit fois plus que son huitième, c'està-dire iSh 011 i- Tel esl le quotient demandé; on l'obtient, comme on voit, en multipliant le dividende ^ par le diviseur renversé |. D'où Ton déduit la règle suivante :
Règle. On divise une quantité par une fraction en la multipliant par le diviseur renversé.
Remarques.
98. La règle précédente comprend tous les cas de la division. Lorsque le diviseur est un entier, 5 par exemple, le quotient égale la cinquième partie du dividende, ou le produit du dividende par la fraction J; or cette fraction | peut être considérée comme l'entier j renversé.
De même, diviser par |, c'est la même chose que multiplier par 5.
Si le diviseur et le dividende sont des nombres fractionnaires, on les mettra préalablement sous forme de fractions.
99. De même que, par l exten^h doppée à ^^Ômti( la multiplication ne comporte plus néc^s^^n^M Wdée q d'augmentation, de même la division ne coro^fc^^us l'idée
de diminution. Puisque diviser revient à inm^ier, p#Y diviseur renversé, on voit que, si le diviseur est plus^fti^f que l'unité, le quotient sera plus petit que le dividcn^J^snais
que, si le diviseur est plus petit que l'unité, le quotient sera plus grand que le dividende.
100. On se fera une idée très-nette de la division en remarquant que, dans tous les cas, le quotient exprime combien de fois le dividende contient le diviseur et combien de parties du diviseur. Si le quotient est un nombre entier 5, le dividende, étant égal au produit du diviseur par le quotient 5, ou au diviseur répété 5 fois, contient évidemment 5 fois le diviseur. Si le quotient est une fraction f, le dividende, étant égal au diviseur mulliplié par |, contient trois fois la cinquième partie du diviseur. De même, un quotient fractionnaire 4 -f | indique que le dividende contient quatre fois le diviseur, plus trois fois la cinquième parlie du diviseur. En un mot, le quotient exprime la mesure de la quantité dividende quand on prend la quantité diviseur pour unité.
D'acres cela, il est clair que, si l'on rend le dividende un certain nombre die fois plus grand, le quotient devient le même nombre de fois plus grand , et que, si l'on rend le diviseur un certain nombre de fois plus grand, le quotient devient le même nombre de fois plus petit. 11 en résulte que le quotient ne change pas quand* on multiplie le dividende et le diviseur par un même nombre.
101. Lorsque le diviseur est un nombre entier, on peut considérer la division comme ayant pour but de partager le dividende eu autant de parties égales qu'il y a d'unités au diviseur. Supposons, par exemple, que le diviseur soit le nombre entier 5; le quotient multiplié par le diviseur 5, ou répété 5 fois, reproduit le dividende; donc le dividende se compose de 5 quantités égales au quotient, et, par conséquent, si Ton partage le dividende en 5 parties égales, chacune des parties sera égale* au quotient.
