CHAPITRE III

Définitions.

102. Lorsqu'on partage l'unité en parties égales de dix en dix fois plus petites, et qu'on prend un certain nombre de ces parties, on a ce qu'on appelle une fraction décimale.

Un nombre entier, augmenté d'une fraction décimale, porte le nom de nombre décimai.

On partage d'abord l'unité en dix parties égales, appelées dixièmes; on partage ensuite le dixième en dix parties égales, appelées centièmes, parce que l'unité en contient cent; puis le centième en dix millièmes, le millième en dix dix-millièmes, le dix-millième en dix cent-millièmes, le cent-millième en dix millionièmes, etc.

Cela posé, pour mesurer une grandeur plus petite que l'unité , on cherche combien elle contient de dixièmes; elle en contient 7, par exemple, et il y a un reste. On cherche combien ce reste contient de centièmes; il en contient 3, et il y a un nouveau reste. On cherche combien ce nouveau reste contient de millièmes; il en contient 8. On continue de la sorte jusqu'à ce qu'on n'ait plus de reste, ou jusqu'à ce qu'on arrive à un reste assez petit pour qu'on puisse, sans inconvénient, le négliger.

On obtient de la sorte une fraction décimale : sept dixièmes trois centièmes, huit millièmes.

Lorsque la grandeur à mesurer est plus grande que l'unité, on cherche d'abord combien d'unités elle contient; puis on mesure le reste au moyen d'une fraction décimale, ainsi que je l'ai expliqué. De cette manière, la grandeur est représentée

par un nombre entier, augmenté d'une fraction décimale , c'est-à-dire par un nombre décimai.

Numération des nombres décimaux.

1 ©3. Dans la numération des nombres entiers, on a formé des unités de dix en dix fois plus grandes, et maintenant on forme des unités de dix en dix fois plus petites. Le tableau complet des ordres d'unités

Mille, Centaine , Dizaine,

Unité fondamentale, Dixième y Centième, Millième ,

se compose, en partant de l'unité fondamentale, de deux séries indéfinies, l une ascendante, l'autre descendante. On peut d'ailleurs considérer ces deux séries comme n'en formant qu'une , indéfinie dans l'un et dans l'autre sens. Chaque unité est dix fois plus grande que celle qui est placée audessous d'elle, et dix fois plus petite que celle qui est placée au-dessus.

104. La propriété fondamentale des nombres décimaux, c'est qu'on peut les écrire sous la même forme que les nombres entiers. Rappelons en effet la convention sur laquelle repose la numération écrite: un chiffre placé à la gauche d'un autre représente des unités dix fois plus grandes. Réciproquement, un chiffre placé à la droite d'un autre représente des unités dix fois plus petites. D'après cela, un chiffre placé à la droite du chiffre des unités représentera des dixièmes; un chiffre placé à la droite du chiffre des dixièmes représentera des

unités dix fois plus petites que ies dixièmes, c'est-à-dire des centièmes; un chiffre placé à la droite du chiffre des centièmes représentera des unités dix fois plus petites que les centièmes, c'est-à-dire des millièmes, etc.. Le nombre décimal 425 unités, 7 dixièmes, 3 centièmes, 8 millièmes, s'écrira donc

On met une virgule après le chiffre 5 pour indiquer que ce chiffre désigne les unités principales. Si l'on ne mettait pas de virgule, le chiffre 5, quand on écrit 7 à sa droite, exprimerait des dizaines.

Ainsi la numération écrite des nombres décimaux repose sur cette convention générale, que le rang de chaque chiffre, à partir de la virgule, soit vers la gauche, soit vers la droite, indique l'ordre des unités, ordre ascendant ou descendant.

La fraction décimale 7 dixièmes, 3 centièmes, 8 millièmes s'écrit

Le chiffre 0 tient la place des unités principales.

Il est inutile de distinguer les fractions décimales des nombres décimaux ; on considère une fraction décimale comme un nombre décimal qui a zéro pour partie entière.

Énoncer un nombre décimal écrit.

105. Soit le nombre 0,738. Il serait trop long de dire 7 dixièmes, 3 centièmes, 8 millièmes. Je remarque que le centième vaut dix millièmes, que le dixième vaut cent millièmes; en rapportant tout au millième, on dira donc 738 millièmes.

De même, le nombre 425,738 s'énoncera 425 unités, 738 millièmes.

Règle. Pour énoncer un nombre décimal, on énonce d'abord le nombre entier placé à gauche de la virgule, puis le nombre placé à droite, en le faisant suivre du nom des dernières unités.

Ainsi les nombres

s'énoncent Six centièmes,

Quarante-sept dix-millièmes.

Deux unités, dix mille cinq cent-millièmes.

Suxante-dix unités, quatre millièmes.

100. Un nombre décimal ne change pas quand on place des zéros, soit à gauche de la partie entière, soit à droite de la partie décimale; car les zéros ainsi placés n'ont aucune influence sur les autres chiffres. Ainsi, au lieu de 12,457, on peut écrire 012,45700.

107. D'après leur définition , les fractions décimales ne sont qu'une espèce particulière de fractions ordinaires. En effet, la fraction décimale 0,437, s'énonçant 437 millièmes, peut s'écrire Le nombre décimal 25,437 s'écrira d'abord sous forme de nombre fractionnaire 25 + d'autre part, comme on peut l'énoncer 25437 millièmes, on l'écrira aussi sons forme de fraction ordinaire ^ 0 '. Ainsi , une fraction décimale est égale à une fraction ordinaire qui a pour numérateur le nombre obtenu en supprimant la virgule, et pour dénominateur l'unité suivie d'autant de zéros qu'il y a de chiffres décimaux.

Déplacement de la virgule.

108. Si dans le nombre 12,457 on déplace la virgule d'un rang vers la droite, on obtient un nombre 124,57 dix fois plus grand que le précédent. Car le chiffre 7, qui auparavant exprimait des millièmes, exprime maintenant des centièmes, unités dix fois plus grandes; le chiffre 5, qui exprimait des centièmes, exprime maintenant des dixièmes, unités dix fois plus grandes, et ainsi de suite; en un mot, l'ordre de chaque chiffre s'est élevé d'un rang dans le tableau des unités, sa

valeur, et par conséquent celle du nombre lui-même, est devenue dix fois plus grande .

Si dans le nombre 12,457 on déplace la virgule de deux rangs vers la droite, on obtient un nombre 1245,7 cent fois plus grand que le précédent. Car, Tordre de chaque chiffre s'étant élevé de 4eux rangs, sa valeur, et par suite celle du nombre lui-même, est devenue cent fois plus grande.

Réciproquement, si dans le nombre 12,457 on déplace ia virgule d'un rang vers la gauche, on obtient un nombre 1 ,2457 dix fois plus petit que le précédent, etc.

En résumé, si dans un nombre décimal on déplace la virgule de un, deux, trois... rangs vers la droite ou vers la gauche , le nombre devient dix, cent, mille... fois plus grand ou plus petit.

Les zéros que Ton peut ajouter à la droite et à la gauche d'un nombre décimal permettent de déplacer la virgule d'autant de rangs qu'on voudra d'un côté ou de l'autre. Ainsi dans le nombre 12,457, si on déplace la virgule de quatre rangs , on obtient deux nombres, Tun 124570 dix mille fois plus grand, l'autre 0,001257 dix mille fois plus petit.

Addition.

109. Puisque les nombres décimaux sont composés, comme les nombres entiers, d'unités de dix en dix fois plus grandes, et s'écrivent sous la même forme , les opérations que l'on a appris à effectuer sur les nombres entiers s'exécutent de la même manière sur les nombres décimaux.

L'addition des nombres décimaux s'effectue comme celle des nombres entiers. On écrit les nombres décimaux les uns au-dessous des autres, de manière que les unités de même ordre soient dans une même colonne verticale, et, par conséquent, que les virgules se correspondent; puis on additionne les chiffres contenus dans les colonnes successives , en commençant par la droite. Ainsi, soit à additionner les nom-

bres 27,658—8,49-0,067; on les dispose comme il suit :

Additionnant d'abord les millièmes, on dira : 8 et 7 font 15 millièmes, je pose 5 millièmes au-dessous de la colonne des millièmes, et je reporte 4 centième à la colonne suivante. La colonne suivante donne 21 centièmes, je pose 1 centième et je reporte 2 dixièmes; et ainsi de suite.

Soustraction.

HO. La soustraction des nombres décimaux s'effectue comme celle des nombres entiers. On écrit le plus petit nombre au-dessous du plus grand, de manière que les Tirgules se correspondent; puis on retranche chaque chiffre inférieur du chiffre supérieur correspondant.

De 25,895 retrancher 12,463. On écrira

De 5 millièmes j'ôte 3 millièmes, il reste 2 millièmes que j'écris au-dessous de la colonne des millièmes; de 9 centièmes j'ôte 6 centièmes, il resle 3 centièmes que j'écris, etc.

Lorsqu'un chiffre inférieur est plus grand que le chiffre supérieur correspondant, on lève la difficulté comme pour les nombres entiers.

De 20,805 retrancher 9,728.

De 5 millièmes on ne peut ôler 8 millièmes; j'ajoute au nombre supérieur 10 millièmes, ce qui fait 15 millièmes, dont on peut retrancher 8. Afin que la différence ne change pas,

j'ajoute la même quantité ou 1 centième au nombre inférieur, de sorte que par la pensée je remplace 2 par 3, etc. De 10,5 retrancher 9,783.

On imaginera, mais sans les écrire, deux zéros à la droite du 5.

Multiplication.

Nous examinerons successivement le cas où le multiplicateur est un nombre entier, et celui où il est un nombre décimal.

Cas où le multiplicateur est entier.

111. Soit à multiplier 6,4S par 27. Il s'agit de répéter 27 fois le multiplicande, qui est égal à 6tô centièmes. Si l'on multiplie le nombre entier 645 par 27, on trouve 17415, puisque 27 fois 645 unités font 17405 unités, il est clair que 27 fois 645 centièmes feront 17415 centièmes, c'est-à-dire le nombre décimal 174,15. Ainsi le produit d'un nombre décimal par un nombre entier renferme autant de chiffres décimaux que le multiplicande.

Cas où le multiplicateur est décimal.

112. Je suppose maintenant que l'on ait à multiplier un nombre décimal 4,576 par un nombre décimal 2,38. Puisque le multiplicateur est égal à 238 centièmes, la question revient à répéter 238 fois la centième partie du multiplicande; or on obtient la centième partie du multiplicande en reculant la virgule de deux rangs vers la gauche, ce qui donne 0,04576 ou 4576 cent-millièmes; pour répéter cette quantité 238 fois, il suffit de multiplier le nombre entier 4576 par 238, ce qui donne 1089088 cenUmillièmes, c'est-à-dire le nombre décimal 10,89088. .

Le produit renferme autant de chiffres décimaux que le

nouveau multiplicande 0,04576; or on forme ce dernier en reculant la virgule, dans le multiplicande proposé, d'autant de rangs vers la gauche qu'il y a de chiffres décimaux dans le multiplicateur; donc le nouveau multiplicande, et par conséquent le produit, renferment autant de chiffres décimaux qu'il y en a dans le multiplicande et dans le multiplicateur proposés. On en conclut :

Règle. Pour multiplier deux nombres décimaux l'un par Vautre, on effectue la multiplication comme s'il n'y avait pas de virgule, puis on sépare par une virgule sur la droite du produit autant de chiffres décimaux qu'il y en a dans le multiplicande et dans le multiplicateur proposés.

On dispose l'opération de la manière suivante :

On serait arrivé immédiatement à cette règle générale, en mettant les nombres décimaux sous la forme de fractions ordinaires, et en leur appliquant la règle démontrée pour la multiplication des fractions ordinaires. Ainsi

A va v 9 qft- 4576 v ^38 4576X238 4,o76 X 2,38-— X i00 000 *

On voit qu'il faut faire le produit des deux nombres entiers obtenus en effaçant la virgule, puis diviser le résultat par 400000. Or cette division s'effectue en séparant par vjne virgule sur la droite du résultat autant de chiffres décimaux qu'il y a de zéros, c'est-à-dire autant qu'il y a de chiffres décimaux dans le multiplicande et dans le multiplicateur.

Division.

Nous examinerons successivement le cas où le diviseur est entier et celui où il est fractionnaire.

Cas où le diviseur est entier.

113. Soii à diviser 481,78 par 26. Le dividende se compose de 48178 centièmes. Si Ton divise le nombre entier 48178 par 26, on obtient pour quotient 1853. Puisque 26 fois 1853 unités font 48178 unités, 26 fois 1853 centièmes feront 48178 centièmes, c'est-à-dire le dividende proposé; donc le quotient cherché est 1853 centièmes, ou 18,53.

Règle. Pour diviser un nombre décimal par un nombre entier, on effectue la division comme si le dividende était un nombre entier, en ayant soin, quand on a abaissé le chiffre des unités^ du dividende, de mettre une virgule à la droite <fy chiffre correspondant du quotient.

On dispose l'opération de la manière suivante :

En mettant la virgule comme nous l'avons dit, le quotient a autant de chiffres décimaux que le dividende, ce qui doit être, puisqu'ils expriment l'un et l'autre des unités de même ordre.

ftfl4. Soit encore à diviser 2,645 par 47. La division du nombre entier 2645 par 47 donne pour quotient 56 -f- Si Ton répète 47 fois 56 unités plus la fraction Jf d'unité, on obtient 2645 unités; donc, en répétant 47 fois 56 millièmes plus la fraction $ de millième, on obtiendra 2645 millièmes, c'est-à-dire le dividende proposé. Ainsi le quotient demandé égale 56 millièmes, plus une fraction || de millième ; en négligeant celte fraction de millième, on commet une erreur plus petite qu'un millième. Donc le quotient est 0,056 à moins d'un millième près.

Le quotient est compris entre 0,056 et 0,057; il est facile de voir, à l'inspection du reste , duquel do ces deux nombres il

est le plus rapproché. Le reste 13 étant plus petit que la moitié du diviseur, la fraction complémentaire J| de millième est plus petite qu'un demi-millième; donc le quotient est plus rapproché de 0,036 que de 0,057. On prendra 0,056 par défaut à moins d'un demi-millième près.

Mais dans l'exemple suivant

le reste étant plus grand que la moitié du diviseur, la fraction complémentaire ^ de millième est plus grande qu'un demimillième, et le quotient est plus rapproché de 0,057 que de 0,056. On prendra 0,057 par excès à moins d'un demi-millième près.

Ainsi : lorsque le reste est plus petit que la moitié du diviseur, on conserve le dernier chiffre tel qu'on l'a obtenu ; lorsque le reste est plus grand que la moitié du diviseur, on augmente ce dernier chiffre d'une unité. De cette manière, l'erreur sera toujours moindre qu'une demi-unité de l'ordre auquel on s'arrête.

Si l'on veut une approximation plus grande, si l'on demande, par exemple, le quotient à moins d'un millionième près, on mettra le dividende sous la forme 2,645000 par l'addition d'un nombre convenable de zéros. La division donne

pour quotient 0,056276, plus la fraction |® de millionième; en négligeant cette fraction, on commet une erreur moindre qu'un millionième.

Mais, dans la pratique, il est inutile d'écrire les zéros à la droite du dividende : quand on aura abaissé tous les chiffres du dividende proposé, on formera le dividende partiel suivant, en mettant à la droite du reste un zéro , et on continuera de cette manière jusqu'à ce qu'on ait obtenu le quotient avec une approximation suffisante. L'erreur, étant toujours moindre

qu'une unité de Tordre auquel on s'arrête, deviendra aussi petite qu'on voudra. On dispose ainsi l'opération :

Cas où le diviseur est décimal.

lift. Soit à diviser 4,576 par 2,38. On a vu (n-> 100) que, si Ton multiplie par un même nombre le dividende et le diviseur, le quotient ne change pas; je multiplie par 100 les deux nombres proposés, la question revient à diviser le nombre décimal 457,6 par le nombre entier 238, ce qui rentre dans le cas précédent. Le quotient est 1,923 par excès à moins d'un demi-millième près. Ainsi :

Règle. Lorsque le diviseur est un nombre décimal, on supprime la virgule au diviseur, en ayant soin de la déplacer dans le dividende d'autant de rangs vers la droite qu'il y a de chiffres décimaux au diviseur ; et Von a à diviser un nombre décimal par un nombre entier.

On demande, par exemple, le quotient de 2 par 0,059 à moins d'un centième près. On divisera 2000 par 59, et Ton trouvera pour le quotient cherché 33,90 par excès à moins d'un demi-centième près.