CHAPITRE IV

Comment on obtient un produit et un quotient à une unité près d'un ordre

décimal donné.

Multiplication abrégée.

116. Ordinairement il n'est pas nécessaire de calculer exactement le produit de deux nombres décimaux; il suffit de l'obtenir avec une certaine approximation. On demande, par exemple, à moins d'une unité près, le produit des deux nombres 628,45638 et 32,935724. Si l'on effectuait la multiplication d'après la méthode ordinaire, on aurait le produit avec onze décimales; ces onze décimales, on les négligerait, puisqu'il suffi l d'avoir le produit à moins d'une unité près. Voici un procédé qui simplifie l'opération et qui dispense de calculer la parlie que Ton doit négliger au produit.

Règle. Pour calculer le produit de deux nombres décimaux, à moins d'une unité prés, on écrit au-dessous du multiplicande les chiffres du multiplicateur dans un ordre inverse, en plaçant le chiffre des unités du multiplicateur sous le chiffre des dixièmes du multiplicande ; puis on multiplie par chaque chiffre du multiplicateur la parlie du multiplicande qui, en allant de droite à gauche, commence au chiffre du multiplicande placé au-dessus du chiffre du multiplicateur que Von considère, et Von écrit les produits partiels les uns au-dessous des autres, en

OPÉRATIONS ABRÉ6ÉIS. Ml

mettant Us premiers chiffres de droite dans une même colonne verticale.

20698,6 produit demanié=20699.

On multiplie d'abord la partie 628,45 du multiplicande par le chiffre des dizaines 3 du multiplicateur, puis la partie 628,4 du multiplicande par le chiffre des uni lés 2 du multiplicateur, puis la partie 628 du multiplicande par le chiffre des dixièmes 9 du multiplicateur, etc. On voit que les premiers chiffres des produits partiels ainsi obtenus , exprimant tous les dixièmes, doivent être placés dans une même colonne verticale.

Pour diminuer l'erreur, on tient compte, dans chaque opération partielle, des dixièmes fournis par la partie que Ton néglige à la droite du multiplicande, et Ton prend cette retenue par défaut ou par excès, de manière que l'erreur commise, sur chaque produit partiel soit plus petite que 5 ceniièmes ou que un demi-dixième. Ainsi, en commençant la première opération, je dis: trois fois 6 font 18 centièmes, je retiens 2 dixièmes parce que 18 centièmes sont plus près de 20 que de 10; trois fois 5 font 15, et 2 font 17, je pose 7 et retiens 1, etc. En commençant la seconde opération, je dis : deux fois 5 font 10 centièmes, je reiiens 1 dixième; deux fois 4 font 8 et 1 font 9, je pose 9, etc. Quand j'arrive au chiffre 7 du multiplicateur, je dis : sept fois 6 font 42 centièmes, je pose 4 dixièmes; les chiffres suivants 2 et 4 du multiplicateur ne donnent rien au produit.

L'erreur commise sur chaque produit partiel étant plus petite que un demi-dixième, Terreur commise sur les six produits partiels calculés est moindre que trois dixièmes. Nous avons négligé , en outre , le produit du multiplicande par la

Ht

partie placée à gauche du chiffre 7 dans le multiplicateur; cette partie étant moindre que 3 unités de l'ordre du chiffre 2 placé à gauche du chiffre 7, le produit correspondant est moindre que 2 centièmes; celte nouvelle erreur étant aussi moindre que un demi-dixième, on voit que l'erreur totale commise sur le produit demandé est plus petite que 4 dixièmes, dans un sens ou dans un autre. Si Ton augmente ou si l'on diminue le produit calculé 20698,6 de 4 dixièmes, on voit que le produit exact est plus grand que 20698,2, plus petit que 20699,0; on prendra 20699 unités par excès à moins d'une unité près.

117. On comprendra bien le mécanisme et les avantages de la multiplication abrégée, si Ton effectue la multiplication complète, en commençant par les plus hautes unités du multiplicateur.

20698,6 6587771912 Il y a onze chiffres décimaux au produit. En conservant les dixièmes et négligeant les décimales suivantes, on a la multiplication abrégée :

Je remarque que les erreurs commises sur les divers produits partiels sont, les unes par défaut, les autres par excès, de sorte que, d'ordinaire, ces erreurs, loin de s'ajouter, comme nous l'ayons supposé dans l'évaluation de Terreur totale, se compensent en partie. Dans l'exemple actuel, Terreur totale ne s'élève pas même à un dixième. Mais, comme on ne peut pas compter sur une compensation aussi parfaite, il vaut mieux évaluer Terreur totale en faisant la somme des erreurs partielles.

11§, Soit à calculer, à moins d'un millième près, le produit des deux nombres décimaux 0,7832567328 et 43,856721. Si Ton transporte la virgule après les millièmes dans le multiplicande, la question revient à calculer à moins d'une unité près le produit des nombres 783,2567328 et 43,856721 ; on retournera le multiplicateur, et Ton placera le chiffre des unités sous le chiffre 2 des dixièmes du nouveau multiplicande, c'est-à-dire sous le chiffre des dix-millièmes du multiplicande proposé. En général, on placera le chiffre des unités du multiplicateur un rang après l'unité décimale qui marque l'approximation.

34,351 1 produit denantô =34,351.

L'erreur commise est plus petite que 7 demi-dix-millièmes, ou que 4 dix-millièmes \ le produit demandé est donc 34,351 à moins d'un millième près.

Division abrégée.