On peut abréger la division comme la multiplication

Règle. Pour calculer le quotient de deux nombres entiers, à moins d'une unité près, on supprime sur la droite du dividende autant de chiffres qu'il y en a au diviseur moins deux ; on divise la partie restante par le diviseur, comme à l'ordinaire; ensuite, au lieu d'abaisser à la droite du reste le chiffre suivant du dividende, on barre le premier chiffre de droite du diviseur, et fon divise le reste par le diviseur ainsi simplifié; on barre un second chiffre à la droite du diviseur, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on ail barré tous les chiffres du diviseur moins deux»

Je prends pour exemple la division suivante :

3 9 3 5 0 5 2, 5 quotient demandé =3935052

Je supprime cinq chiffres à la droite du dividende. En divisant le dividende ainsi modifié 49753937 par le diviseur, comme à l'ordinaire, j'obtiens le quotient 39 et un reste 443195. Au lieu d'abaisser à la droite du reste le chiffre suivant 4 du dividende, pour former un nouveau dividende partiel, je barre le premier chiffre 8 à la droite du diviseur, et je divise le reste 443195 par 426437, ce qui me donne le quotient 3 et un reste 63882. Barrant un second chiffre 7 à la droite du diviseur, je divise le reste 63882 par 42643, ce qui donne le quotient 5 et un reste 663. Je continue de celte manière jusqu'à ce que j'aie barré le chiffre 6 du diviseur; alors je trouve le chiffre des unités 2 du quotient. Si, barrant le chiffre

OPÉRATIONS ABRÉGÉES. 4i5

2 du diviseur, j'effectue encore une division, je trouve 5 dixièmes.

On voit qu'en opérant de cette manière on néglige les unités des cinq premiers ordres dans les différents produits partiels que l'on a à retrancher. Pour diminuer l'erreur dans chaque multiplication, on tient compte de la retenue fournie par les chiffres barrés à la droite du diviseur, et l'on prend cette retenue par défaut ou par excès, de manière que Terreur commise sur chaque produit partiel soit plus petite que cinq unités du cinquième ordre, ou qu'une demi-unité du sixième ordre. L'erreur commise sur chaque produit partiel altère d'autant le reste de la division ; d'ailleurs l'erreur commise primitivement sur le dividende, quand on en a supprimé les cinq premiers chiffres, est elle-même plus petite qu'une demiunité du sixième ordre. Comme on a calculé cinq chiffres du quotient par abréviation, l'erreur totale commise sur le reste est plus petite que six fois une demi-unité du sixième ordre ou que trois unités de cet ordre. Mais l'erreur commise sur le quotient est égale à l'erreur commise sur le reste divisée par le diviseur; puisque le diviseur est plus grand qu'une unité du septième ordre, il en résulte que l'erreur commise sur le quotient est plus petite que , ou plus petite que 0,3. Ainsi, le quotient cherché est égal à 393505*2 à moins d'une unité près.

Comme dans la multiplication, il arrive ordinairement que les erreurs se compensent en grande partie. Dans l'exemple actuel, le quotient exact est 3935052,447...; l'erreur commise par la méthode abrégée est moindre qu'un dixième.

1 20. Soit encore la division suivante :

On a supprimé six chiffres à la droite du dividende; puis, afin de pouvoir diviser la partie restante, on a barré immédiatement deux chiffres à la droite du diviseur.

Si Ton voulait calculer à un millième près le quotient d'un nombre décimal par un nombre entier, on transporterait la ' virgule de trois rangs vers la droite dans le dividende, puis, négligeant la partie décimale, on opérerait comme précédemment.

Calcul* d'approximation.

\%%. Il arrive souvent que Ton a à effectuer des calculs sur des nombres approchés. Il est des grandeurs qui ne peuvent être mesurées exactement. D'ailleurs, les instruments dont on se sert dans la mesure des grandeurs ne sont susceptibles que d'un certain degré de précision, et les nombres obtenus doivent être regardés, non pas comme les mesures exactes des grandeurs , mais comme des évaluations plus ou moins approchées, suivant la perfeclion de l'instrument. Ces nombres approchés étant introduits dans les calculs, on arrive à un résultat approché. 11 se présente ici deux questions : 4° Connaissant l'approximation des nombres sur lesquels on opère, quelle est l'approximation du résultat? — 2° Avec quelle approximation faut-il avoir les nombres sur lesquels on opère, pour obtenir le résultat avec une approximation donnée?

Je dirai que le nombre est approché par défaut s'il est plus petit que la quantité, par excès s'il est plus grand.

Addition.

M9. Si toutes les erreurs ont lieu dans le même sens, l'erreur commise sur la somme est égale à la somme des erreurs. Mais, en général, les nombres que l'on ajoute sont approchés, les uns par excès, les autres par défaut; les erreurs se compensent en partie, et l'erreur commise sur la somme est plus petite que la somme des erreurs.

Exemple. Additionner les nombres

approchés chacun à moins d'un millième. L'erreur commise sur la somme est plus petite que 4 millièmes : la somme est donc comprise entre 24,261 et 24,269. Le chiffre des millièmes étant inexact, on le négligera et Ton prendra 24,26 par défaut à moins d'un centième près.

423. L'erreur commise sur la différence égale la différence ou la somme des erreurs commises sur les deux nombres proposés, suivant que ces deux nombres sont approchés dans le même sens ou en sens contraire.

Exemple. Du nombre 28,74 approché à moins d'un centième retrancher le nombre 16,58 approché aussi à moins d'un centième.

L'erreur commise étant plus petite que 2 centièmes, la vraie différence est comprise entre 12,14 et 12,18; on prendra 12,2 par excès, à moins d'un dixième près.

Erreurs relatives.

124. L'erreur absolue commise sur un nombre est ce qu'il faudrait y ajouter ou en retrancher pour avoir le nombre exact.

L'erreur relative est l'erreur absolue divisée par le nombre lui-même.

Supposons, par exemple, que, sur une longueur de 1000 mètres, on commette une erreur de 1 mètre ; en imaginant cette erreur de 1 mètre répartie uniformément sur les 1000 mètres, c'est un millimètre par mètre, ce qu'on exprime en disant que l'erreur relative est

Supposons maintenant que, sur une longueur de 2000 mètres, on commette ,une erreur de 2 mètres; l'erreur, répartie uniformément, ne sera encore que de 1 millimètre par mètre, ce qui constitue la même erreur relative Sur une longueur double on a commis une erreur absolue double; mais Terreur relative n'a «pas changé. De même, si, sur une longueur triple, on commet une erreur absolue trois fois plus grande, l'erreur relative reste encore la même.

C'est par Terreur relative qu'il faut juger du degré d'exactitude avec lequel on mesure les grandeurs. Il est clair en effet qu'une erreur de 1 décimètre sur une grande lougueur comme la distance de deux villes, est tout à fait négligeable, tandis qu'elle est très-sensible sur une petite longueur, comme celle d'une table. Si, par exemple, on a commis une erreur de 1 mètre sur une longueur de 100 mètres, et une erreur de \0 mètres sur une longueur de 10000 mètres, on doit regarder la seconde mesure comme plus exacte que la première, quoique l'erreur absolue soit plus grande. Car, dans le premier cas, Terreur est de 1 centimètre par mètre, tandis que, dans le second cas, elle n'est que de 1 millimètre par mètre.

12$. Il existe une relation très-simple entre Terreur relative d'un nombre approché et le nombre des chiffres exacts qui le composent. Soit le nombre 62,85 approché à moins d'un centième et par conséquent formé de quatre chiffres exacts. Si nous déplaçons la virgule de manière à n'avoir qu'un chiffre à la partie entière, nous aurons le nombre 6,285 approché à moins d'un millième. L'erreur absolue est ici moindre que J~ .

cette erreur, répartie sur 6 unités, donnera sur chaque unité une erreur six fois plus petite, c'est-à-dire moindre que a £-.

telle est 1 erreur relative. On dira plus simplement que l'erreur relative est moindre que ' on , c'est-à-dire qu'une unité déci-

maie du troisième ordre. Ainsi, l'erreur relative est toujours moindre qu'une unité décimale âé V ordre marqué par le nombre des chiffres exacts moins un.

De môme, soit le nombre 0,367435 approché à moins d'un millionième et par conséquent formé de six chiffres exacts. En déplaçant la virgule, on a le nombre 2,67135 approché à moins d'un cent-millième* L'erreur absolue, qui est ici moindre que j-p produit sur chaque unité une erreur moindre

que g w et par conséquent moindre que j^. L erreur relative est moindre qu'une unité décimale du cinquième ordre,

426. Réciproquement, si l'on sait que l'erreur relative est moindre qu'une unité décimale d'un certain ordre, on pourra compter sur autant de chiffres exacts dans le nombre approché. Imaginons, comme précédemment, que la virgule ait été déplacée de manière que le nombre n'ait qu'un chiffre à sa partie entière, et supposons que l'erreur relative soit moindre qu'une unité décimale du troisième ordre, c'est-à-dire moindre que Le nombre est plus petit que 10 unités; l'erreur commise sur chaque unité étant moindre que Terreur totale ou absolue commise sur le nombre sera moindre que dix fois l'erreur relative, c'est-à-dire moindre que ~, ou ^ Ainsi on pourra compter sur les deux premiers chiffres décimaux, ce qui, avec le chiffre des unités, fait trois chiffres exacts.

11 arrive souvent que Ton peut compter sur un chiffre de

plus. Par exemple, Terreur relative est moindre que y xi0 » '

et Ton sait que le chiffre des unités du nombre est plus petit que 7 . Puisque le nombre est plus petit que 7, Terreur absolue

est moindre que j—- ou que - - ; on aura donc cinq déci-

maies exactes, ce qui, avec le chiffre desunités, fait ste chiffres exacts.

Multiplication.

1*7. Supposons d'abord que l'on multiplie un nombre approché par un nombre exact, par exemple, 45; Terreur absolue commise sur le multiplicande devient 45 fois plus grande; mais, comme le produit est lui-même 45 fois plus grand que le multiplicande, Terreur relative reste la même.

Considérons maintenant le produit de deux facteurs approchés, et pour fixer les idées, supposons-les approchés tous deux par défaut. Imaginons d'abord que, sans changer le multiplicateur, on augmente le multiplicande de manière à lui donner sa valeur exacte ; si, par exemple, on ajoute au multiplicande la ^ partie de sa valeur, le produit éprouvera aussi une augmentalion égale à la ^ partie de sa valeur. Imaginons ensuite que, sans changer le multiplicande, on augmente le multiplicateur de manière à lui donner sa valeur exacte. Si, par exemple, on ajoute au multiplicateur la ^ partie de sa valeur, le nouveau produit éprouvera une seconde augmentation égale à la ^ partie de sa valeur. Ainsi, pour acquérir sa valeur exacte, le produit approché a éprouvé deux augmentations, Tune égale à la r J o6 partie de sa valeur primitive, l'autre égale à la partie de sa valeur après la première augmentation; comme cette seconde valeur du produit diffère peu de la valeur primitive, la ^ partie de cette

seconde valeur ne diffère pas sensiblement de la ~ partie de la valeur primitive. On voit par là que Terreur commise sur le produit approché est à très-peu près égale à la ^ partie, plus la partie de ce produit approché. On en conclut que Verreur relative d'un produit de facteurs approchés est sensiblement égale à la somme des erreurs relatives des facteurs.

Si les deux facteurs étaient approchés, Tun par défaut, Tautre par excès, les deux causes d'erreur agiraient en sens contraire, et Terreur relative du produit serait sensiblement égale à la différence des erreurs relatives des facteurs.

Le même principe s'étend évidemment au produit d'un nombre quelconque de facteurs; car, en multipliant par un

nouveau facteur, on ajoute Terreur relative de ce nouveau facteur, s'il est approché dans le même sens.

Exemple I. Multiplier le nombre 25,678 approché à moins d'un millième par le nombre exact 43,867.

Le multiplicateur est plus petit que 50 : donc l'erreur commise sur le produit est plus petite que 50 fois Terreur commise sur le multiplicande, et par conséquent plus petite que 50 millièmes, ou que 5 centièmes. En faisant la multiplication abrégée, on trouve 1126,41. Le produit cherché est donc 1126,4 à moins d'un dixième près.

Exemple IL Calculer le produit des deux nombres 34,258 et 21,674, approchés chacun à moins d'un millième. L'erreur relative du multiplicande est moindre que

- — — -, celle du multiplicateur moindre que s — — L . Dans le 3x10* n 2x10*

cas le plus défavorable, celui où les erreurs s'ajoutent, Terreur relative du produit sera sensiblement égale à la somme des erreurs précédentes. Sans effectuer l'addition, on voit

qu'elle est moindre que-^rr. On pourra donc compter sur

lu

quatre chiffres exacts, et comme il y a trois chiffres à la partie

entière, on aura le produit à moins d'un dixième. En faisant

la multiplication par la méthode abrégée, on trouve 742,51.

L'erreur relative étant moindre que — » Terreur absolue

lu

commise sur le produit est moindre que 0,08; le produit cherché est donc 742,5 à moins d'un dixième près.

Exemple III. Calculer la troisième puissance du nombre

0,615837 approché à moins d'un millionième.

L'erreur relative du nombre proposé est moindre que

- — — -. La troisième puissance étant le produit de trois fac- ©X 10°

teurs égaux, Terreur relative de la puissance sera à peu près

trois fois plus grande, soit 6xiQ 5 OU 2xiQ » ^ on aura donc le résultat avec cinq chiffres exacts.

0,23355olT

On a multiplié le nombre proposé une première fois par lui-même, puis une seconde fois. L'erreur relative étant

a * » Terreur absolue commise sur le résultat est plus petite 2x40

que Sxi06 » soit plus petite que 0,000002. Le résultat demandé est donc 0,23356 à moins d'un demi-cent-millième près.

Division.

Si Ton considère le dividende comme le produit du diviseur par le quotient, on voit que Terreur relative du dividende est sensiblement égale à Terreur relative du diviseur augmentée ou diminuée de celle du quotient. II en résulte que Terreur relative du quotient est sensiblement égale à Terreur relative du dividende, diminuée ou augmentée de celle du diviseur, suivant que les deux nombres sont approchés dans le même sens ou en sens contraire.

On sait que le quotient augmente quand on augmente le

dividende, et qu'il diminue, au contraire, quand on augmente le diviseur. Donc, si le dividende et le diviseur sont approchés tous deux par excès, ou tous deux par défaut, les deux causes d'erreur agissent en sens contraire, et les erreurs relatives se retranchent. Mais, si l'un des nombres est approché par excès, l'autre par défaut, les deux causés d'erreur agissent dans le même sens, et les erreurs relatives s'ajoutent.

Ën sé plaçant dans le cas le plus défavorable, on évaluera Terreur relative du quotient en prenant la somme des erreurs relatives du dividende et du diviseur.

Exemple I. Diviser le nombre 3254,6 approché à moins d'un dixième, par le nombre exact 235.

L'erreur commise sur le quotient étant plus petite que

Zoo

soit en décimales plus petite 0,0005, on aura le quotient avec trois décimales exactes. Ce quotient est 13,849.

Exbmple II. Diviser le nombre exact 16,854 par le nombre 5,3672 approché à moins d'un dix-millième.

L'erreur relative du quotient est ici égale à celle du diviseur, c'est-à-dire à Le premier chiffre du quotient

étant plus petit que 4, l'erreur absolue commise sur le quo-

tient est moindre que 5xi0 , ' c'est-à-dire moindre que 0,00008.

Le quotient cherché est 3,1402 à moins d'un dix-millième près.

Exemple III. Diviser le nombre 2,734 approché à un millième, par le nombre 3,1416 approché à un dix-millième.

L'erreur relative du dividende est , celle du divi-

2xl0 3

sour

----- - celte dernière, étant beaucoup plus petite que

la première, peut être négligée; on prendra — - — p 0ur

erreur relative du quotient 0,870, que I on obtiendra ainsi avec trois chiffre» exacts.