DÉCIMALES

On a vu que le calcul des fractions décimales se ramène immédiatement au calcul des nombres entiers, tandis que le calcul des fractions ordinaires est beaucoup plus compliqué. Il est donc utile, lorsqu'une quantité est exprimée par une fraction ordinaire, de savoir l'exprimer en décimales. C'est ce qu'on appelle réduire une fraction ordinaire en fraction décimale.

Puisqu'une fraction ordinaire est égale au quotient de la division de son numérateur par son dénominateur, on effectuera cette division d'après la règle établie pour la division des nombres décimaux. Soit, par exemple, la fraction |.

Le quotient étant exactement 0,375, la fraction ordinaire | est égale à la fraction décimale 0,375.

130. En opérant ainsi, on multiplie le numérateur par une certaine puissance de 10 et l'on divise ensuite par le dénominateur. Supposons que le dénominateur ne renferme que les facteurs premiers 2 et 5 qui composent 10. Une puissance de i0 9 marquée par le plus haut exposant des facteurs 2 et 5 dans le dénominateur, sera évidemment divisible par ce déne-

minateur. Si donc on multiplie le numérateur par cette puissance de 10, on aura un produit divisible par le dénominateur^ et la division se fera exactement. Ainsi, une fraction ordinaire irréductible peut être convertie exactement en décimales, quand le dénominateur ne contient pas d'autres facteurs premiers que 2 et 5.

Dans l'exemple précédent, le dénominateur 8 étant égal à 2*, si l'on multiplie le numérateur par 10 s , on aura un produit divisible par 8, ce qui donne le quotient exact 0,375. On peut remarquer que la fraction décimale contient un nombre de chiffres décimaux égal au plus haut exposant des facteurs 2 et 5 dans le dénominateur.

Quand le dénominateur d'une fraction irréductible contient d'autres facteurs premiers que 2 et 5, la fraction ne peut être convertie exacte' ment en décimales, et le quotient qui se prolonge indéfiniment est périodique.

131. Supposons maintenant que le dénominateur de la fraction ordinaire, qui a été préalablement réduite à sa plus simple expession, renferme des facteurs premiers autres que 2 et 5, par exemple le facteur 7. Puisque la fraction est irréductible, le numérateur ne contient pas ce facteur 7 ; multiplié par une puissance quelconque de 40, ce qui n'introduit que les facteurs 2 et 5, le numérateur ne contiendra pas non plus le facteur 7 ; on n'arrivera donc jamais à un reste nul, et par conséquent il est impossible de convertir la fraction proposée exactement en décimales. Mais dans ce cas, on l'exprime avec une approximation aussi grande qu'on veut; car, si Ton pousse la division assez loin, Terreur, étant moindre qu'une unité de l'ordre auquel on s'arrête, devient aussi petite qu'on veut.

La fraction ordinaire donne ainsi naissance à une fraction décimale qui se prolonge indéfiniment. 11 est aisé de voir qu'elle est périodique^ c'est-à-dire qu'à partir d'un certain rang, elle se compose des mêmes chiffres qui se reproduisent dans le même ordre. En effet, dans les divisions successives, comme tous les restes sont plus petits que le diviseur, après un nombre d'opérations au plus égal au diviseur diminué

d'une unité, on retombera nécessairement sur un reste déjà obtenu, et alors on recommencera dans le même ordre les divisions déjà faites, et les mômes chiffres se reproduiront au quotient.

Je prends pour exemple la fraction £

Puisque les restes sont plus petits que le diviseur 7, il n'y a que six restes différents possibles, savoir les six premiers nombres; or, les cinq premières divisions donnent les six premiers nombres 4, 5, 1, 3, 2, 0 dans un certain ordre; tous les restes possibles sont épuisés; la division suivante ramènera nécessairement un reste déjà obtenu. Ici on obtient le premier reste 4, et Ton recommence les divisions déjà faites, à partir de la première; on trouve ainsi au quotient les mêmes chiffres dans le même ordre. Le nombre 571428, formé par les chiffres qui se reproduisent indéfiniment, constitue ce qu'on appelle la période. Je remarque que la période renferme au plus un nombre de chiffres égal au diviseur diminué d'une unité; mais souvent elle en renferme un nombre moindre. Ainsi la fraction ^ donne naissance à la fraction décimale périodique simple 0,27$727.,..., dont la période n'a que deux chiffres; après deux divisions seulement on retrouve le premier reste 3.

132. On distingue deux sortes de fractions décimales périodiques : les fractions décimales périodiques simples, dont les chiffres périodiques commencent immédiatement après la

■virgule ; et les fractions périodiques mixtes, dont les chiffres périodiques ne commencent qu'à partir d'un certain rang après la virgule. Les deux fractions que nous venons de considérer sont périodiques simples. La fraction j| donne naissance

à une fraction périodiques mixte 0,647727272 ; la période 72

ne commence qu'au quatrième chiffre après la virgule.

ÉTANT DONNÉE UNE FRACTION DÉCIMALE PÉRIODIQUE, SIMPLE OU MIXTE, TROUVER LA FRACTION ORDINAIRE GÉNÉRATRICE.

Occupons-nous maintenant de la question inverse, c'est-àdire de la conversion des fractions décimales en fractions ordinaires.

Lorsque la fraction décimale est limitée, il n'y a pas de difficulté, on sait qu'une pareille fraction est égale à une fraction ordinaire qui a pour dénominateur une puissance de 10. Ainsi

°» 375 =ïS-

Fraction périodique simple.