Soit la fraction périodique simple 0,2727 Je vais

démontrer que celte fraction décimale est égale à une certaine fraction ordinaire avec une approximation aussi grande qu'on veut, et je déterminerai en même temps cette fraction ordinaire. En prenant, par exemple, trois périodes, on a une fraction décimale limitée 0,272727 qui a un sens bien précis; je multiplie celte fraction par 100, ce qui donne le nombre décimal 27,2727 ; de ce nombre décimal je retranche la fraction elkhmême.

Je retranche les deux premières périodes à partir de la virgule, il reste à retrancher la dernière période; la différence égale le nombre entier 27, moins cette dernière période 0,000027. Or, de 100 fois la fraction j'ai retranché une fois la

fraction, la différence égale 99 fois la fraction ; j'obtiendrai la fraction elle-même en divisant cette différence par 99; donc

la fraction décimale 0,272727 égale la fraction ordinaire diminuée de la quantité très-petite -^m^§9' En prenant quatre périodes, on trouverait de même

En général, la fraction décimale égale la fraction ordinaire |?

moins la 99 e partie de la dernière période. Or, si Ton prend un nombre de périodes de plus en plus grand , la valeur de la dernière période diminue de plus en plus, et devient aussi petite que Ton veut; donc la fraction décimale proposée diffère

de la fraction ordinaire § d'une quantité aussi petite qu'on veut. En un mot, la fraction décimale périodique tend vers une limite égale à ^.

Le raisonnement que nous venons de faire s'applique évidemment à une fraction périodique simple quelconque. On transporte la virgule après la première période, en multipliant par une puissance de 10 marquée par le nombre des chiffres de la période; on retranche du produit la fraction elle-même, ce qui donne une différence égale à la fraction multipliée par un nombre formé d'autant de 9 qu'il y a de chiffres à la période. D'autre part, cette différence est exprimée par la période considérée comme un nombre entier, moins la dernière période. Donc la fraction décimale a pour limite une fraction ordinaire ayant pour numérateur la période et pour dénominateur un nombre formé d'autant de 9 qu'il y a de chiffres à la période. Ainsi : Une fraction décimale périodique simple est égale à une fraction ordinaire qui a pour numérateur la période et pour dénominateur un nombre formé d'autant de 9 qu'il y a de chiffres à la période.

Fraction périodique mille.

134 Soit maintenant une fraction périodique mixte 0,385272727 En prenant, par exemple, trois périodes, on a

une fraction décimale limitée 0,385272727. Je transporte successivement la virgule au commencement et à la ûn de la première période, en multipliant par 1000 et par 100000, ce qui donne les nombres décimaux 385,272727 et 38527,2727; puis je retranche le premier du second

J'ai retranché la partie entière et les deux premières périodes, il reste à retrancher la dernière période; la différence égale le nombre entier 38142 , moins la dernière période. Or, de 400000 fois la fraction, j'ai retranché 1000 fois cette fraction, la différence égale 99000 fois la fraction ; j'obtiendrai la fraction elle-même en divisant cette différence par 99000; donc la fraction décimale égale la fraction moins la 99000* partie de la dernière période. Si Ton prend un nombre de périodes de plus en plus grand, la valeur de la dernière période diminue et devient aussi petite qu'on veut; donc la fraction décimale proposée diffère de la fraction ordinaire

§ooo d une q uantité aussi P elite q 11 ' 011 veul - En un raot > ,a fraction décimale tend vers une limite égale à cette fraction

ordinaire. Ainsi : une fraction décimale périodique mixte est égale à une fraction ordinaire qui a pour numérateur la différence des nombres entiers obtenus en transportant la virgule à la fin et au commencement de la première période, et pour dénominateur unnombre formé d'autant de 9 qu'il y a de chiffres à la période, suivis d'autant de zéros qu il y a de chiffres décimaux avant la première période.