CHAPITRE I

Carrés.

154. On appelle puissance d'un nombre le produit de plusieurs facteurs égaux à ce nombre, et, pour simplifier la notation, on indique par un exposant le nombre des facteurs.

La seconde puissance ou le produit de deux facteurs égaux s'appelle carré, parce que le nombre d'unités de surface contenues dans la figure géométrique nommée carré est égal à la seconde puissance du nombre d'unités de longueurs contenues dans le côté de la figure. Je rappelle, en effet, la manière dont j'ai fait voir que le décamètre carré vaut cent mètres carrés (n° 140). Je conçois un carré dont le côté ait 5 mètres de longueur; on peut décomposer ce carré en cinq bandes renfermant chacune cinq petits carrés ou 5 mètres carrés, et la figure entière contient 5 fois 5 ou 5' mètres carrés.

Il est nécessaire de savoir par cœur les carrés des dix premiers nombres :

Le carré de 10 est 100. Le carré de 20 est 400, celui de 30 est 900; en général, le carré d'un certain nombre de dizaines se compose d'un certain nombre de centaines.

Cubes.

155. La troisième puissance ou le produit de trois facteurs égaux s'appelle cube, parce que le nombre d'unités de volume contenues dans la figure géométrique nommée cube est égal à la troisième puissance du nombre d'unités de longueur contenues dans le côté de la figure.

Je rappelle en effet la manière dont j'ai démontré que le décamètre cube renferme mille mètres cubes (n° 143). Je conçois une caisse de forme cubique dont le côté ait 5 mètres de longueur; le fond de la caisse, qui est un carré, renferme 5* ou 25 mètres carrés; si, sur chacun d'eux, on place un mèlre cube, on forme ainsi au fond de la caisse une couche qui a un mètre de hauteur, et qui contient 25 mètres cubes; si Ton forme 5 couches pareilles, la caisse sera remplie; ainsi la caisse cubique contient 25 x 5 ou 5* mètres cubes.

Le cube d'un nombre s'obtient en multipliant le carré du nombre par le nombre lui-même. Voici les cubes des dix premiers nombres :

Le cube de 10 est 1000; le cube de 20 est 8000, celui de 30 est 27000 ; en général, le cube d'un certain nombre de dizaines donne des mille.

Formation du carré et du cube de la somme de deux nombres.

156. Le carré de la somme de deux nombres égale le carré ûu premier nombre, plus deux fois le produit du premier par le second, plus le carré du second.

Soit à élever la somme 7 -f- 5 au carré, il faut multiplier 7 + 5 par 7 + 5. En multipliant d'abord par 7 chacune des parties du multiplicande , j'obtiens le carré de 7 et le produit 7 X 5. En multipliant ensuite le multplicande par 5, j'obtiens le produit 7 x 5 et le carré de R. En définitive, le carré de

7 + 5 égale le carré de 7, plus deux fois le produit de 7 par 5, plus le carré de 5.

157. On eu déduit que la différence entre les carrés de deux nombres entiers consécutifs égale deux fois le plus petit nombre, plus un. Ainsi :

Quand on connaît un carré, il est facile d'après cela de former le carré suivant. Par exemple, pour avoir le carré de 11, il suffit au carré de 10 ou à 100 d'ajouter deux fois 10 plus 1 ou 21, ce qui donne 121.

158. Le cube de la somme de deux nombres renferme quatre parties: 1° le cube du premier nombre, 2" trois fois le carré du premier nombre multiplié par le second, 3° trois fois le premier multiplié par le carré du second, 4° le cube du second.

Soit la somme 7 + 5 à élever au cube ; je forme d'abord le carré que je multiplierai ensuite par 7 + 5.

J'ai multiplié chacune des parties du carré, d'abord par 7, puis par 5, et j'ai additionné les résultats.

Extraction de la racine carrée d'un nombre entier.

150. On appelle racine carrée d'un nombre un nombre qui, élevé au carré, reproduit le nombre proposé. La racine carrée de 64 est 8, puisque le carré de 8 est 64. On désigne la racine carrée par le signe Ainsi / 64=8.

Étant donné un nombre entier, comme ce nombre ne sera pas ordinairement un carré parfait, on se bornera à chercher la racine du plus grand carré qu'il contient. L'excès du nombre proposé sur le plus grand carré qu'il renferme s'appelle reste. '

Si le nombre donné est plus petit que 100, comme on sait par cœur les carrés des neuf premiers nombres, on trouve de suite le résultat. Soit, par exemple, le nombre 45; le plus grand carré contenu dans ce nombre est 36, dont la racine est 6, et Ton a un reste 9.

' Je considère maintenant un nombre plus grand que 400, par exemple 4587 :

Le plus grand carré contenu dans ce nombre étant au moins égal à 100, la racine cherchée est au moins égale à 10; elle se compose donc d'un chiffre des unités et d'un certain nombre de dizaines. Le nombre proposé contient le carré de la racine, plus le reste ; or, le carré de la racine, d'après ce qui a été dit, est formé de trois parties : le carré des dizaines, le double produit des dizaines par les unités, le carré des unités. La première partie, le carré des dizaines, exprimant des centaines, doit être contenue dans les 45 cenlaines du nombre proposé ; je vais démontrer que l'on obtient les dizaines de la racine en extrayant la racine du plus grand carré contenu dans les cenlaines du nombre.

Le nombre 45 est compris entre les deux carrés consécutifs 36 et 49, carrés de 6 et de 7. Le nombre proposé 4587 contient donc 36 centaines ou le carré de 60; il ne contient pas 49 centaines ou le carré de 70. Il en résulte que la racine cherchée est ou 60, ou un nombre plus grand que 60, mais plus petit que 70; en un mot, le chiffre des dizaines de la racine est 6.

On connaît les dizaines de la racine; si du nombre proposé on retranche le carré des dizaines 3600, le reste 987 ne ren-

ferme plus que les deux autres parlics du carré : le double produit des dizaines par les unités, ou le produit de 12 dizaines par le chiffres des unités, et le carré des unités. La première partie, exprimant des dizaines, est contenue dans les 98 dizaines; mais ce produit n'est pas nécessairement le plus grand multiple de 12 contenu dans 98; car 98 contient en outre les dizaines de retenue fournies par le carré des unités et par le reste. En divisant 98 par 12, on trouve 8 pour quotient; le chiffre des unités est donc 8 ou un chiffre plus petit. J'essaye 8; pour cela j'écris 8 à la droite de 12 et je multiplie le nombro 128 ainsi formé par 8 ; le produit 1024 se compose du produit de 12 dizaines par 8, c'est-à-dire du double produit des dizaines par les unités, et en outre du produit de 8 par 8, c'est-à-dire du carré des unités. Or, la somme de ces deux parties doit être contenue dans 987; puisque 1024 est plus grand que 987, on en conclut que le chiffre 8 est trop fort. J'essaye 7 de la même manière, en multipliant 127 par 7; le produit 889 étant contenu dans 987, le chiffre 7 est bon ; c'est bien le chiffre des unités de la racine. Ainsi la racine du plus grand carré contenu dans le nombre 4587 est 67, et il y a un reste 98.

MO. Soit encore à extraire la racine du plus grand carré contenu dans le nombre 458732.

Ce nombre étant plus grand que 100, la racine est égale ou supérieure à 10, et par conséquent se compose d'un chiffre des unités etd'un certain dombre de dizaines* Lecarrédes dizaines, étant des centaines» se trouve compris dans les 4587 centaines du nombre proposé, et Ton obtiendra les dizaines de la racine

en extrayant la racine du plus grand carré contenu dans les 4587 centaines.

11 s'agit donc d'extraire la racine du plus grand carré contenu dans le nombre 4587. Ce nombre étant plus grand que 100, la racine est égale ou supérieure à 10, et par conséquent se compose d'un chiffre des unités et d'un certain nombre de dizaines. On obtiendra les dizaines de la racine en extrayant la racine du plus grand carré contenu dans les 45 centaines. En répétant les raisonnements précédents, on trouve que 67 est la racine du plus grand carré contenu dans le nombre 4587, et qu'il y a un reste 98. Ainsi la racine du nombre 458732 se compose de 67 dizaines et d'un chiffre des unités que je vais déterminer,

Si du nombre proposé on retranche le carré des 67 dizaines, il reste 98 centaines qui, ajoutées aux 32 unités, donnent 9832. Ce nombre renferme le double produit des dizaines par les unités; on divisera 983 par le double de 67 ou par 134, ce qui donne pour quotient 7. Le chiffre des unités est ou 7 ou un chiffre plus petit. On essayera 7, en écrivant 7 à la droite de 134 et multipliant 1347 par 7; le produit 9427 étant plus petit que 9832, le chiffre 7 est bon. Ainsi la racine cherchée est 677, et il y a un reste 403.

De ce qui précède on conclut :

Règle. Pour extraire la racine carrée du plus grand carré contenu dans un nombre entier, on partage ce nombre en tranches de deux chiffres à partir de la droite, la dernière tranche à gauche pouvant d'ailleurs ne renfermer qu'un chiffre. On extrait la racine du plus grand carré contenu dans la première tranche à gauche, ce qui donne le premier chiffre de gauche de la racine cherchée. On retranche ce plus grand carré de la première tranche, et à la droite du reste on abaisse la tranche suivante ; on sépare le premier chiffre de droite, et on divise le nombre ainsi formé par le double du chiffre déjà obtenu à la racine; le quotient est le second chiffre de la racine ou un chiffre trop fort. On essaye ce chiffre en l'écrivant à la droite du double du premier chiffre, multipliant le nombre ainsi formé

par le chiffre que Von essaye, et retranchant ce produit du nombre obtenu par l'abaissement de la seconde tranche. Si la soustraction est possible, le chiffre essayé est bon; si elle n'est pas possible, ce chiffre est trop fort, et alors on essaye le chiffre inférieur d une unité. Quand on a trouvé le second chiffre de la racine, à la droite du reste on abaisse la tranche suivante, on sépare le premier chiffre de droite, et Von divise le nombre ainsi formé par le double de la partie déjà obtenue à la racine» On continue de cette manière jusqu'à ce qu'on ait abaissé toutes les tranches.

Si l'on effectue les soustractions en même temps que les multiplications, l'opération se dispose de cette manière :

J'applique la règle à l'exemple suivant :

On.voit qu'il y a autant de chiffres à la racine qu'il y a de tranches dans le nombre proposé.

Preuve. Si l'on élève au carré la racine trouvée et si l'on ajoute le reste, on doit trouver le nombre donné.

Indication sommaire de la marche à suivre pour l'extraction de la racine

cubique.

161. On appelle racine cubique d'un nombre un nombre qui, élevé au cube, reproduit le nombre proposé. La racine cubique de 343 est 7, puisque le cube de 7 est 343. On désigne

la racine cubique par le signe y/ ; ainsi y/ 343 = 7.

Étant donné un nombre entier, nous nous bornerons à chercher la racine du plus grand cube contenu dans le nombre proposé.

Je considère d'abord un nombre plus petit que 1000 ; à t'aide du tableau des cubes des neuf premiers nombres (n° 155), on voit de suite le résultat. Soit le nombre 642; le plus grand cube contenu dans ce nombre est 512, dont la racine est 8, et Ton a un reste 1 30.

Je considère maintenant un nombre plus grand que 1000, par exemple 98654.

lffi 6

Le plus grand cube contenu dans ce nombre étant supérieur ou égal à 1000, la racine cherchée est supérieure ou égale à 10; elle se composé donc d'un chiffre des unités et d'un certain nombre de dizaines. Le nombre proposé renferme le cube de la racine, plus le reste; or, le cube de la rncine, d'après ce qui a été dit, comprend quatre parties : le cnbe-des dizaines, etc. La première partie, exprimant des mille, ne peut se trouver que dans les 98 mille du nombre proposé, et l'on aura les dizaines de la racine en extrayant la racine du plus grand cube contenu dans les mille du nombre*

Le nombre 98 est compris entre les deux cubes consécutifs 64 et 125, cubes de 4 et de 5. Le nombre proposé 98654 contient donc 64 mille ou le cube de 40; il ne contient pas 125 mille ou le cube de 50; il en résulte que la racine cherche est 40 ou un nombre plus grand que 40, mais plus petit que 50; eto un mot , le chiffre des dizaines de la racine est 4.

On connaît les dizaines de la racine. Si du nombre proposé on retranche le cube des dizaines 64000» le reste 34654 ne renfermera plus que trois parties : trois fois le carré des dizaines

multiplié par les unités, trois fois les dizaines multipliées par le carré des unités, le cube des unités.

La première partie, exprimant des centaines, est contenue dans les 346 centaines; trois fois le carré des dizaines étant 48, le produit de 48 par le chiffre des unités est contenu dans 346; mais ce produit n'est pas nécessairement le plus grand multiple dé 48 contenu dans 346; car 346 contient en outre les centaines de retenue provenant des autres parties. En divisant 346 par 48, on trouve 7 pour quotient; le chiffre des unités est donc ou 7 ou un chiffre plus petit.

J'essaye 7; pour cela je forme les trois autres parties du cube 47 : en multipliant 48 par 7, on obtient la première partie 33600; en multipliant le triple des dizaines ou 12 par le carré des unités 49, on obtient la seconde partie 5880; enfin la troisième partie, le cube des unités, est 343. La somme 398*23 de ces trois parties étant plus grande que 34654, le chiffre 7 est trop fort .

J'essaye 6 de la même manière. La somme des trois parties 33336 étant moindre que 34654, le chiffre 6 est bon. Ainsi la racine du plus grand cube contenu dans le nombre 98654 est 46, et on a un reste 1318.

Pour essayer le chiffre 7, au lieu de calculer les trois parties séparément, il est plus simple de procéder de la manière suivante : à la droite du triple des dizaines 42, j'écris le chiffre 7, je multiplie le nombre 427 ainsi formé par 7, j'ajoute au produit 889 le triple carré des dizaines, c'est-à-dire 4800, ce qui donne le nombre 5689 que je multiplie par 7, j'obtiens ainsi la somme 39823 des trois autres parties du cube. En effet, de cette manière le nombre 7 a été multiplié deux fois successivement par 7, ce qui donne le cube des unités; le triple des dizaines 42 a été aussi multiplie deux fois successivement par 7, ce qui donne trois fois le produit des dizaines par le carré des unités; enfin le triple carré des dizaines 48 a été multiplié par le chiffre des unités 7. Après avoir reconnu que le chiffre 7 est trop fort, on essayera de la même manière le chiffre 6.

169. Soit encore à extraire la racine du plus grand cube contenu dans le nombre 9865*965.

On raisonnera, comme précédemment : ce nombre étant plus grand que 1000, la racine est égale ou supérieure à 10 et par conséquent se compose d'un chiffre des unités et d'un certain nombre de dizaines. On obtiendra les 46 dizaines de la racine en extrayant la racine cubique du plus grand cube contenu dans les 98654 mille.

Si du nombre proposé on retranche le cube des dizaines, il reste 1318 mille qui, ajoutés aux 965 unités, donnent 1318965. Ce nombre renferme les trois autres parties du cube; on divisera donc 13189 par trois fois le carré de 46 ou par 6348, ce qui donne pour quotients. On essayera le chiffre 2 par le procédé indiqué précédemment. Le chiffre 2 est bon. Ainsi la racine cherchée est 462.

De ce qui précède on conclut :

Règle. Pour extraire la racine cubique du plus grand cube contenu dans un nombre entier donné, on partage ce nombre en tranches de trois chiffres à partir de la droite, la dernière tranche à gauche pouvant d'ailleurs ne renfermer que deux chiffres ou un seul. On extrait la racine de la première tranche de gauche, ce qui donne le premier chiffre de gauche de la racine cherchée. On retranche le cube de ce chiffre de la première tranche, et à la droite du reste on abaisse la tranche suivante. On sépare les deux premiers chiffres de droite et on divise le nombre ainsi formé par trois fois le carré du chiffre déjà obtenu à la racine. Le quotient est le second chiffre de la racine ou un chiffre trop fort. On essaye ce chiffre en formant les trois autres parties du cube et retranchant la somme du nombre obtenu par

rabaissement de la seconde tranche* Si la soustraction n'est pas possible, le chiffre essayé est trop fort, et Von essaye le chiffre inférieur d'une unité ; si elle est possible, à la droite du reste on abaisse la tranche suivante. On continue de cette manière jusqu'à ce qu'on soit arrivé à la dernière tranche.

Preuve. En élevant au cube la racine trouvée et ajoutant le reste, on doit reproduire le nombre proposé.

163. On élève au carré une fraction en élevant chacun de ses deux termes au carré. Soit la fraction |; si on la multiplie par elle-même on a :

164. Lorsque les deux termes d'une fraction sont carrés parfaits, on obtient immédiatement sa racine en extrayant la racine de ses deux termes. Ainsi la racine carrée de la fraction Jjj est exactement |, puisqu'en élevant au carré cette dernière fraction on reproduit la fraction proposée.

165. De même on élève au cube une fraction, en élevant chacun de ses deux termes au cube. Soit encore la fraction |; on a

Carré et cube d'une fraction.

ainsi

donc

Racine carrée d'une fraction ordinaire et décimale a une unité près d'un

ordre décimal donné.

flOU. Lorsqu'un nombre entier n'est pas carré parfait, c'est-à-dire n'est pas le carré d'un nombre entier, il n'existe pas de nombre fractionnaire qui, élevé au carré, reproduise exactement le nombre proposé. Soit le nombre 28 : ce nombre est compris entre les deux carrés consécutifs 23 et 36; il n'existe pas de nombre entier qui, élevé au carré, reproduise 28; le nombre 5 donne un carré trop petit, 6 un carré trop grand. Mais n'existe-t-il pas entre 5 et 6 un nombre fractionnaire dont le carré reproduise exactement 38? Je Suppose que le nombre fractionnaire irréductible y ou 5 + | jouisse de cette propriété; le carré de la fraction ^ est la fraction On sait que lorsque deux nombres sont premiers

entre eux, deux puissances quelconques de ces nombres sont aussi premières entre elles (n° 73); la fraction ~ étant irréductible, ce qu'on peut toujours supposer, ses deux termes 39 et 7 sont premiers entre eux ; leurs carrés 39* et 7* sont

aussi premiers entre eux , et par conséquent la fraction ^ est

aussi irréductible. Or, il est impossible que cette fraction irréductible soit égale à un nombre entier 28.

16f . Ainsi, tout nombre entier, non carré parfait, n'a pas de racine exacte; mais on peut trouver deux nombres fractionnaires, qui diffèrent entre eux aussi peu qu'on voudra, et dont les carrés comprennent le nombre donné, c'est-à-dire soient, l'un plus petit, l'autre plus grand que ce nombre. Je veux, par exemple, trouver deux nombres fractionnaires, qui ne diffèrent entre eux que de j^, et dont les carrés comprennent 28. J'écris le nombre 28 sous la forme de fraction,

— — , et j'extrais la racine du plus grand carré contenu dans

le numérateur 280000, ce qui donne 529. Le numérateur 280000 étant compris entre les carrés des deux nombres entiers

consécutifs 529 et 530, la fraction ~ est comprise ellemême entre les carrés des deux fractions et On dira en

conséquence que chacune des deux fractions ^ et f£ est la racine approchée de 28, à moins d'un centième près, la première par défaut, la seconde par excès.

108. Considérons maintenant un nombre décimal tel que 45,8732. Ce nombre décimal est égal à la fraction ordinaire *ioSw 9 ^ ont * e dénominateur est le carré de dOO; en extrayant la racine du plus grand carré contenu dans le nombre entier 458732, on trouve 677 ; le numérateur étant compris entre les carrés de 677 et de 678, la fraction proposée est comprise entre les carrés des deux fractions et et sa racine entre ces

deux fractions elles-mêmes. Ainsi on dira que chacun des deux nombres 6,77 et 6,78 est la racine approchée de 45,8732 à moins d'un centième près.

Pour que ce raisonnement soit possible, il faut que le dénominateur soit un carré parfait, c'est-à-dire que le nombre proposé renferme un nombre pair de chiffres décimaux. Si le nombre des chiffres décimaux était impair, on le rendrait pair en ajoutant un zéro à sa droite. Si Ton demande, par exemple, la racine de 45,873, on ajoutera un zéro et Ton cherchera la racine du nombre égal 45,8730, ce qui donne encore 6,77 à moins d'un centième.

Règle. Pour extraire la racine carrée d'un nombre décimal renfermant un nombre pair de chiffre décimaux, on supprime la virgule et ton extrait, à moins d'une unité, la racine du nombre entier ainsi obtenu; puis on sépare par une virgule sur la droite de la racine un nombre de chiffres décimaux moitié du nombre des chiffres décimaux du nombre proposé , et Von a ainsi la racine avec une erreur moindre qu'une unité du dernier ordre.

160. Ce procédé permet d'exprimer en décimales les racines carrées avec une approximation aussi grande qu'on veut.

Si Ton demande , par exemple , la racine carrée de 45,873 à un millième près, on ajoutera trois zéros à la droite de ce nombre afin d'avoir six chiffres décimaux, et l'on appliquera la règle précédente au nombre décimal 45,873000, ce qui donne la racine 6,773 approchée par excès à moins d'un millième.

On calculera de même la racine carrée du nombre entier 528 à moins d'un millième près en appliquant la règle énoncée au nombre décimal 528,000000. Mais dans la pratique, il est inutile d'écrire d'avance les zéros; on opère d'abord sur le nombre entier proposé, ce qui donne la partie entière de la racine; ajoutant deux zéros à droite du reste, on obtient le chiffre des dixièmes; ajoutant deux nouveaux zéros, on obtient le chiffre des centièmes, et ainsi de suite.

1XO. Lorsqu'une fraction ordinaire irréductible n'a pas ses deux termes carrés parfaits, il n'existe pas de fraction qui, élevée au carré, reproduise exactement la fraction proposée; car le carré d'une fraction ordinaire irréductible est une fraction irréductible ayant ses deux termes carrés parfaits. En d'autres termes, la fraction proposée n'admet pas de racine carrée exacte; mais on peut l'obtenir avec une approximation aussi grande qu'on veut.

Soit, par exemple , la fraction | dont on demande la racine à un centième près. On commencera par convertir en décimale la fraction proposée , et l'on s'arrêtera quand on aura quatre chiffres décimaux; on trouve ainsi que la fraction | égale la fraction décimale 0,71428..., ce qu'on peut écrire de la manière suivante :

On extraira ensuite la racine du numérateur à moins d'une unité près; la racine du plus grand carré contenu dans le nombre entier 7142 étant 84, il est clair que le nombre entier 7142, et par suite le nombre fractionnaire 7142,8..., sont compris entre les carrés des deux nombres entiers consécutifs 84 et 85; donc la fraction proposée elle-même est comprise

EXTRACTION DBS RACINES. 157

entre les carrés des deux fractions ^ et Ainsi la racine demandée est 0,84 ou 0,85 à moins d'un centième près.

De même , si Ton veut trouver la racine du nombre fractionnaire 32 -f | à un millième près, on convertira la fraction | en décimales , et Ton extraira la racine du nombre décimal 32,666666, ce qui donne 5,715.

Remarque..

171. Quand on a extrait la racine carrée du plus grand carré contenu dans un nombre entier, on connaît deux nombres entiers consécutifs, entre lesquels est comprise la racine du nombre proposé. Il est aisé de voir, à l'inspection du reste, duquel de ces deux nombres elle est le plus rapprochée.

Soit, par exemple, le nombre 28, dont la racine est comprise entre 5 et 6; ce nombre contient le carré de 5, plus le reste 3. Formons le carré de 54-1; ce carré , d'après ce qui a été dit, comprend trois parties: le carré de 5 ou 25; le double produit de 5 par |, c'est-à-dire 5; enfin le carré de |, ou J. Ainsi le carré de 5 4- 1 surpasse le carré de 5 de 5 + J. En général , quand on ajoute une demi-unité à un nombre, son carré augmente du nombre lui-même plus un quart. Si donc le reste est égal ou inférieur à la partie entière de la racine, la partie fractionnaire sera moindre qu'une demi-unité. C'est ce qui a lieu dans l'exemple actuel: le reste 3 étant inférieur à 5, la racine est plus petite que 5 4-|; on prendra 5 par défaut, à moins d'une demi-unité près.

Mais si le reste est plus grand que la partie entière de la racine, la partie fractionnaire sera plus grande qu'une demiunité. Par exemple, le nombre 32 contient le carré de 5, plus le reste 7; ce reste étant supérieur à 5, la racine est plus grande que 5 4-|; elle est comprise entre 5 4- 1 et 6; on prendra 6 par excès, à moins d une demi-unité.

Ainsi, dans l'extraction des racines carrées, on aura soin de forcer le dernier chiffre quand le reste sera plus grand que la racine trouvée.

Racine carrée d'an nombre approché.

On a vu que Terreur relative d'un produit de facteurs approchés est sensiblement égale à la somme des erreurs relatives des fadeurs; le carré étant le produit de deux facteurs égaux, Terreur relative du carré d'un nombre approché est sensiblement égale au double de Terreur relative du nombre lui-même; il en résulte que l'erreur relative de la racine carrée d'un nombre approché est sensiblement égale à la moitié de Verreur relative du nombre.

A Taide de ce principe, il est aisé de voir que la racine carrée a toujours au moins autant de chiffres exacts que le nombre lui-même, moins un.

Soit te nombre 42,456 approché à moins d'un millième.

L'erreur relative de ce nombre est moindre que A, celle de la racine moindre que ^jf> on pourra donc compter sur quatre chiffres exacts à la racine , autant qu'il y en a dans le nombre supposé, moins un. Cette racine est 3,529 à moins d'un millième près.

Souvent on peut compter sur autant de chiffres exacts à la racine qu'il y en a dans le nombre proposé. Soit le nombre 8,756 approché à moins d'un millième. L'erreur relative de ce nombre est moindre que j^-r, celle de la racine moindre

que 16 ^ 10 »'> ou plus simplement moindre que jjjr. On peut donc

compter sur quatre chiffres exacts à la racine, autant qu'il y en a dans le nombre proposé. Cette racine est 2,959 à moins d'un millième près.

Mais, dans la pratique, pour aller plus vite et éviter toute discussion, nous ne prendrons la racine qu'avec un chiffre de moins.

Exemples.

1° Calculer [/ /Ï32 à moins d'un millième d'unité. Il s'agit d'extraire deux racines carrées successivement. La première n'ayant que deux chiffres à sa partie entière, la

seconde n'en aura qu'un; comme on veut avoir trois chiffres décimaux, on demande le résultat avec quatre chiffres exacts* ilsufflra évidemment de calculer la première racine avec un chiffre de plus, c'est-à-dire avec cinq chiffres exacts. La racine de 132 est M,489; en extrayant la racine carrée de ce nombre, on trouve 3,390.

*> Calculer [/ / 2~~ avec une erreur relative moindre que

Si Ton obtient la première racine avec une erreur relative moindre que^, on aura la seconde avec une erreur relative deux fois plus petite; ilsufflra donc de calculer la première avec quatre chiffres exacts. La racine carrée de 2 est 1,414 ; en extrayant la racine carrée de ce nombre, on trouve 1,189.

3o Calculer V(i + / T) x (/T— 2) avec une erreur relative moindre que ^ ou que ^.

Il s'agit cVeffectuer le produit des deux facteurs approchés 1 -f / 2 et /S*— 2 et d'extraire la racine carrée de ce produit. Si l'on calcule chaque facteur avec une erreur relative moindre que jjr, l'erreur relative du produit sera moindre que A; cellede la racine deux fois plus petite, soit A. Il suffit

donc de calculer chaque facteur avec cinq chiffres exacts. /T= 1,4142 1 + / 2"= 2,4142

4o Calculer ^)*P- ^)x(^-S~*)

avec une erreur relative moindre que ~r.

Il entre dans le calcul cinq facteurs approchés, et l'on sait que l'erreur relative du résultat, dans le cas le plus défavorable, celui où toutes les erreurs s'ajoutent, est sensiblement

égal à la somme des cinq erreurs relatives. Si Ton obtient chaque facteur avec une erreur relative moindre que j^i, on

aura le résultat avec une erreur relative moindre que A, et

par conséquent moindre que ^î. On calculera donc chaque facteur avec quatre chiffres exacts.

1/5"= 1,73 15— lT= 13,27

Opération abrégée.

If S. Quand on veut extraire, à moins d'une unité, la racine carrée d'un nombre entier très-grand, il est possible d'abréger un peu l'opération. Lorsqu'on a trouvé plus de la moitié des chiffres delà racine par le procédé habituel, on obtient immédiatement tous les autres en divisant le reste par le double de la partie déjà trouvée à la racine. Soit le nombre 2558966348260..

EXTRACTION DES RACINES. jCr\

Il y a sept chiffres à la racine ; je calcule les quatre premiers 1599 par le procédé habituel; puis je divise le reste 2165348260 par le double 3198000 de la partie déjà trouvée à la racine; plus simplement, je divise 2165348 par 3198. Le quotient par défaut 677 me donne les trois derniers chiffres de la racine.

En effet, si nous considérons la racine comme formée de deux parties, la partie déjà trouvée 1599000 et la partie encore inconnue, le reste 2165348260 doit contenir le double produit de la première partie par la seconde, plus le carré de la seconde. En divisant ce reste par le double 3198000 de la première partie, nous avons trouvé 677; si le reste de la division contient le carré de 677, le nombre proposé contient le carré de 1599677, et Ton a la racine par défaut à moins d'une unité. Mais si le reste de la division ne contient pas le carré de 677, ce qui a lieu dans l'exemple actuel, concevons que l'on augmente le nombre proposé d'une quantité telle qu'il admette pour racine 1599677; cette quantité additionnelle est évidemment moindre que le carré de 677, et par conséquent moindre que le carré de 1000, ou que 10 e ; on ne modifierait de la sorte que les six derniers chiffres du nombre proposé ; les sept premiers restent exacts. La racine a aussi sept chiffres exacts; car, l'erreur absolue commise sur le nombre proposé étant moindre que 10 8 , et ce nombre étant lui-même plus grand que 2x10", Terreur relative commise sur ce nombre est moindre

que ^~ïï ou que l'erreur relative de la racine est donc moindre que la racine étant inférieure à 2x10 e , l'erreur

absolue commise sur la racine est moindre que 2 -^- e ou que |.

Ainsi on a la racine 1599677 par excès à moins d'une unité près.